一、选择题：本大题共12小题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 。

1设全集 ，且 ，则满足条件的集合 的个数是( )

A.3 B.4 C.7 D.8

2已知i是虚数单位， R，且 是纯虚数，则 等于( )

A.1 B.-1 C.i D.-i

3 已知函数 在 上是减函数，则 的取值范围是( )

A B C D

4如图，一个几何体的正视图和 侧视图是腰长为1的等腰三角形，俯视图是一个圆及其圆心，当这个几何体的体积最大时圆的半径是 ( )

A. B. C. D.

5.如图所示的程序框图，若输入的n是100，则输出的变量S和T的值依次是 ( )

A.2500,2500 B.2550,2550 C.2500,2550 D.2550,2500

6若数列 满足 ，则称数列 为调和数列。已知数列 为调和数列，且 ，则 ( )

A10 B20 C30 D40

7设二元一次不等式组 所表示的平面区域为 ，使函数 的图象过区域 的 的取值范围是( )

A. B. C. D.

8.

9 的外接圆的圆 心为 ，半径为 ， 且 ，则向量 在 方向上的投影为 ( )

A B C D)

10已知曲线 与函数 及函数 的图像分别交于 ，则 的值为

A.16 B.8 C.4 D.2

11.数列 满足 ， ，记数列 前n项的和为Sn，若 对任意的 恒成立，则正整数 的最小值为 ( )

A.10 B.9 C.8 D.7

12设函数 ,若 ,则点 所形成的区域的面积为 ( )

A. B. C. D.

二、填空题：本大题共 4小题，每小题5分，共20分。

13 、已知集 , ,则集合 所表示图形的面积是

14.“无字证明”(pro ofs without words)，就是将数学命题用简单、有创意而且易于理解的几何图形来呈现.请利用图甲、图乙中阴影部分的面积关系，写出该图所验证的一个三角恒等变换公式： .

15.过抛物线 的焦点F的直线l交抛物线于A,B,两点，交准线于点C 若 ，则直线AB的斜率为________________

16设 ，若仅有一个常数c使得对于任意的 ，都有 满足方程 ，这时， 的取值的集合为 。

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(本小题满分12分)已知 分别在射线 (不含端点 )上运动， ，在 中，角 、 、 所对的边分别是 、 、 .

(Ⅰ)若 、 、 依次成等差 数列，且公差为2.求 的值;

(Ⅱ)若 ， ，试用 表示 的周长，

并求周 长的最大值.

18.(本小题满分12分)为增强市民的节能环保意识，某市面向全市征召义务宣传志愿者，从符合条件的500名志愿者中随机抽样100名志原者的年龄情况如下表所示.

(Ⅰ)频率分布表中的①、②位置应填什么数据?并在答题卡中补全频率分布直方图(如图)再根据频率分布直方图估计这500名志愿者中年龄在 [30，35)岁的人数;

分组(单位：岁) 频数 频率

[20，25] 5 0.05

[25，30] ① 0.20

[30，35] 35 ②

[35，40] 30 0.30

[40，45] 10 0.10

合计 100 1.00

(Ⅱ)在抽出的100名志原者中按年龄再采用分层抽样法抽取20人参加中心广场的宣传活动，从这20人中选取2名志愿者担任主要负责人，记这2名志愿者中“年龄低于30岁”的人数为 X，求X的分布列及数学 期望

19已知梯形 中， ∥ ， ， ， 、 分别是 、 上的点， ∥ ， ， 是 的中点.沿 将梯形 翻折，使平面 ⊥平面 (如图) . (Ⅰ) 当 时，求证： ⊥ ;

(Ⅱ) 若以 、 、 、 为顶点的三棱锥的体积记为 ，求 的最大 值;

(Ⅲ)当 取得最大值时，求二面角 的余弦值.

20已知直线 相交于A、B两点.

(1)若椭圆的离心率为 ，焦距为2，求线段AB的长;

(2)(2)若向量 互相垂直(其中O为坐标原点)，当椭圆的离心率 时，求椭圆的长轴长的最大值.

21.设函数f(x)=ex+sinx,g(x)=ax,F(x)=f(x)-g(x).

(Ⅰ)若x=0是F(x)的极值点,求a的值;

(Ⅱ)当 a =1时,设P(x1,f(x1)), Q(x2, g(x 2))(x1>0,x2>0), 且PQ//x轴,求P、Q两点间的最短距离;

(Ⅲ):若x≥0 时,函数y=F(x)的图象恒在y=F(-x)的图象上方,求实数a的取值范围.

请考生在第(22)、(23)、(24)三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分。

做答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑。

22 如图，已知 是⊙O的切线， 为切点， 是⊙O的割线，与⊙O交于 两点，圆心 在 的内部，点 是 的中点.

(Ⅰ)证明 四点共圆;

(Ⅱ)求 的大小.

23在极坐标系中，从极点O作直线与另一直线 相交于点M，在OM上取一点P，使 .

(1)求点P的轨迹方程;(2)设R为 上任意一点，试求RP的最小值.

24 已知|x-4|+|3-x|

(1)若不等式的解集为空集，求a的范围

( 2)若不等式有解，求a的范围

北大附中河南分校高三五月冲刺训练(十二)

数学试题(理科)参考答案

1---6 DAACDB 7---12 CBACAD

13 14. 15 16

17. 解(Ⅰ) 、 、 成等差，且公差为2，

、 . 又 ， ，

， ，

恒等变形得 ， 解得 或 .又 ， .

(Ⅱ)在 中， ， ， ， .

的周长

，又 ， , 当 即 时， 取得最大值 .

：18x kb 1 解：(I)0.2×100=20， ，

∴①处是20，②处是0.35，

∵由频率分步直方图中，[30，35)的人数是0.35×500=175

在频率分步直方图知，在[25，30)这段数据上对应的 频率是0.2，

∵组距是5，

∴小正方形的高是 ，

在频率分步直方图中补出高是0.04的一个小正方形.

(II)用分层抽样方法抽20人，

则年龄低于30岁的有5人，年龄不低于30岁的有15人，

故X的可能取值是0，1，2，

P(X=0)= ，P(X=1)= ，P(X=2)=

∴X的分布列是

∴X的期望值是EX=

19解:(Ⅰ)作 于 ，连 ，

由平面 平面 知 平面

而 平面 ，故 又四边形

为正方形 ∴

又 ，故 平面

而 平面 ∴　 .

(Ⅱ) ∵　 ，面 面 ∴ 面

又由(Ⅰ) 平面 ∴

所以 =

即 时 有最大值为 .

(Ⅲ)设平面 的法向量为

∵ , ， ， ∴

则 即 取 则 ∴ 面 的一个法向量为 则 < >

由于所求二面角 的平面角为钝角

所以，此二面角的余弦值为- .

20(1) ，xk|b|1

，

联立

则

，

(2)设 ，

由 ，

，

由此得 故长轴长的最大值为

21解：(Ⅰ)F(x)= ex+sinx-ax, .

因为x=0是F(x)的极值点,所以 .

又当a=2时,若x<0, ;若 x>0, .

∴x=0是F(x)的极小值点, ∴a=2符合题意.

所以函数S(x)在 上单调递增,

∴S(x)≥S(0)=0当x∈[0,+∞ 时恒成立;

因此函数 在 上单调递增, 当x∈[0,+∞ 时恒成立.

当a≤2时, , 在[0,+∞ 单调递增,即 .

故a≤2时F(x)≥F(-x)恒成立.

23解：(1)设 ， ，因为 在直线OM上, ,所以

(2): 设y=|x-4|+|x-3|，(|x-3|=|3-x|)

等价于:

其图象为:

由图象知: 当a≤1时,|x-4|+|3-x|

当1