2014高考数学考前押题：双曲线

用双曲线的定义解决相关问题

1.已知F1、F2为双曲线C:x2-y2=2的左、右焦点,点P在C上,|PF1|=2|PF2|,则cos∠F1PF2=(　　)

(A) (B) (C) (D)

解析:由x2-y2=2知,a2=2,b2=2,c2=a2+b2=4,

∴a=,c=2.

又∵|PF1|-|PF2|=2a,|PF1|=2|PF2|,

∴|PF1|=4,|PF2|=2.

又∵|F1F2|=2c=4,

∴由余弦定理得cos∠F1PF2==.

故选C.

答案:C

2.已知F1、F2为双曲线C:x2-y2=1的左、右焦点,点P在C上,∠F1PF2=60°,则P到x轴的距离为(　　)

(A) (B) (C) (D)

解析:由双曲线方程可知,a=1,b=1,c=,|F1F2|=2.

由双曲线定义有||PF1|-|PF2||=2a=2,①

在△F1PF2中,由余弦定理有:

8=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cos 60°②

联立①②解得|PF1||PF2|=4,设点P(x,y),

则=|PF1||PF2|sin 60°=|F1F2||y|,

解得|y|=.故选B.

答案:B

3.已知F1、F2为双曲线C:x2-y2=1的左、右焦点,点P在C上,∠F1PF2=60°,则|PF1|·|PF2|=(　　)

(A)2 (B)4 (C)6 (D)8

解析:如图,

设|PF1|=m,

|PF2|=n.

则

∴

∴mn=4.

∴|PF1|·|PF2|=4.故选B.

答案:B

4.已知F为双曲线C: -=1的左焦点,P,Q为C上的点.若PQ的长等于虚轴长的2倍,点A(5,0)在线段PQ上,则△PQF的周长为　　　　.

解析:由题知,双曲线中a=3,b=4,c=5,

则|PQ|=16,

又因为|PF|-|PA|=6,

|QF|-|QA|=6,

所以|PF|+|QF|-|PQ|=12,

|PF|+|QF|=28,

则△PQF的周长为44.

答案:44

5.已知双曲线x2-y2=1,点F1、F2为其两个焦点,点P为双曲线上一点,若PF1⊥PF2,则|PF1|+|PF2|的值为　　　　.

解析:设P在双曲线右支上,|PF2|=x(x>0),

则|PF1|=2+x.

∵PF1⊥PF2,

∴(x+2)2+x2=(2c)2=8,

即:x2+2x-2=0,

解得:x=-1,x+2=+1.

∴|PF1|+|PF2|=2.

答案:2

6.点A(x0,y0)在双曲线-=1的右支上,若点A到右焦点的距离等于2x0,则x0=　　　　.

解析:由-=1可知,a2=4,b2=32,

∴c2=36,c=6, 右焦点F(6,0),

由题意可得

解方程组可得x0=或x0=2.

∵点A在双曲线右支上,

∴x0≥2,∴x0=2.

答案:2

7.已知F是双曲线-=1的左焦点,A(1,4),P是双曲线右支上的动点,则|PF|+|PA|的最小值为　　　　.

解析:由-=1知c2=4+12=16,

c=4.

∴左焦点F(-4,0),设双曲线右焦点为F′(4,0),

∵点P在双曲线右支上,

∴|PF|-|PF′|=2a=4,

∴|PF|=4+|PF′|,

∴|PF|+|PA|=4+|PF′|+|PA|.

由图可知,当A、P、F′三点共线时,|PF′|+|PA|最小,此时,

(|PF|+|PA|)min =4+(|PF′|+|PA|)min

=4+|AF′|

=4+

=4+5

=9.

答案:9

双曲线标准方程的求法

1.已知双曲线C: -=1的焦距为10,点P(2,1)在C的渐近线上,则C的方程

为(　　)

(A) -=1 (B) -=1

(C) -=1 (D) -=1

解析: -=1的焦距为10,

∴c=5=.①

又双曲线渐近线方程为y=±x,且P(2,1)在渐近线上,

∴=1,即a=2b.②

由①②解得a=2,b=,故选A.

答案:A

2.已知双曲线-=1(a>0,b>0)的两条渐近线均和圆C:x2+y2-6x+5=0相切,且双曲线的右焦点为圆C的圆心,则该双曲线的方程为(　　)

(A) -=1 (B) -=1

(C) -=1 (D) -=1

解析:∵双曲线-=1的渐近线方程为y=±x,

圆C的标准方程为(x-3)2+y2=4,

∴圆心为C(3,0).

又渐近线方程与圆C相切,即直线bx-ay=0与圆C相切,

∴=2,

∴5b2=4a2.①

又∵-=1的右焦点F2(,0)为圆心C(3,0),

∴a2+b2=9.②

由①②得a2=5,b2=4.

∴双曲线的标准方程为-=1.故选A.

答案:A

3.已知双曲线E的中心为原点,F(3,0)是E的焦点,过F的直线l与E相交于A、B两点,且AB的中点为N(-12,-15),则E的方程为(　　)

(A)-=1 (B) -=1

(C)-=1 (D) -=1

解析:∵kAB==1,

∴直线AB的方程为y=x-3.

由于双曲线的焦点为F(3,0),

∴c=3,c2=9.

设双曲线的标准方程为-=1(a>0,b>0),

则-=1.整理,得

(b2-a2)x2+6a2x-9a2-a2b2=0.

设A(x1,y1),B(x2,y2),

则x1+x2==2×(-12),

∴a2=-4a2+4b2,∴5a2=4b2.

又a2+b2=9,

∴a2=4,b2=5.

∴双曲线E的方程为-=1.故选B.

答案:B

4.已知双曲线C1: -=1(a>0,b>0)与双曲线C2: -=1有相同的渐近线,且C1的右焦点为F(,0),则a=　　　　,b=　　　　.

解析:与双曲线-=1有共同渐近线的双曲线的方程可设为-=λ,即-=1.

由题意知c=,则4λ+16λ=5⇒λ=,

则a2=1,b2=4,又a>0,b>0.

故a=1,b=2.

答案:1　2

双曲线离心率的求法

1.设双曲线C的中心为点O,若有且只有一对相交于点O,所成的角为60°的直线A1B1和A2B2,使=,其中A1,B1和A2,B2分别是这对直线与双曲线C的交点,则该双曲线的离心率的取值范围是(　　)

(A) (B)

(C) (D)

解析:设双曲线的焦点在x轴上,则双曲线的一条渐近线的斜率k=,由题意知满足0,b>0)的两个焦点,若F1、F2、P(0,2b)是正三角形的三个顶点,则双曲线的离心率为(　　)

(A) (B)2 (C) (D)3

解析:由=,令b=,则c=2,

∴a=1,∴e==2.故选B.

答案:B

6.双曲线-=1的离心率为　 .

解析:由a2=16,b2=9,得c2=a2+b2=25.

离心率e==.

答案:

7.设F1,F2是双曲线C, -=1(a>0,b>0)的两个焦点.若在C上存在一点P,使PF1⊥PF2,且∠PF1F2=30°,则C的离心率为　　　　.

解析:设点P在双曲线右支上,

由题意,在Rt△F1PF2中,

|F1F2|=2c,∠PF1F2=30°,

得|PF2|=c,|PF1|=c,

根据双曲线的定义:|PF1|-|PF2|=2a,( -1)c=2a,

e===+1.

答案: +1

8.设P为直线y=x与双曲线-=1(a>0,b>0)左支的交点,F1是左焦点,PF1垂直于x轴,则双曲线的离心率e=　　　　.

解析:由消去y,得x=±a.

又PF1⊥x轴,∴a=c,∴e==.

答案:

9.过双曲线C: -=1(a>0,b>0)的一个焦点作圆x2+y2=a2的两条切线,切点分别为A、B.若∠AOB=120°(O是坐标原点),则双曲线C的离心率为　　　　.

解析:如图,由题知

OA⊥AF,OB⊥BF

且∠AOB=120°,

∴∠AOF=60°.

又OA=a,OF=c,

∴==cos 60°=,

∴=2.

答案:2

与渐近线有关问题的解法

1.已知双曲线C: -=1(a>0,b>0)的离心率为,则C的渐近线方程为(　　)

(A)y=±x (B)y=±x

(C)y=±x (D)y=±x

解析:离心率e=====,

所以=.

又双曲线C: -=1的渐近线方程为

y=±x=±x.故选C.

答案:C

2.双曲线x2-y2=1的顶点到其渐近线的距离等于(　　)

(A) (B) (C)1 (D)

解析:双曲线x2-y2=1的渐近线方程为x±y=0,双曲线x2-y2=1的顶点坐标为(±1,0),顶点到渐近线的距离为.故选B.

答案:B

3.设双曲线-=1(a>0)的渐近线方程为3x±2y=0,则a的值为(　　)

(A)4 (B)3 (C)2 (D)1

解析:由渐近线方程3x±2y=0,得y=±x,

又由双曲线-=1得渐近线方程y=±x,

∴a=2.故选C.

答案:C

4.设双曲线-=1(a>0,b>0)的虚轴长为2,焦距为2,则双曲线的渐近线方程为(　　)

(A)y=±x (B)y=±2x (C)y=±x (D)y=±x

解析:由题意知2b=2,2c=2,

∴b=1,c=,a2=c2-b2=2,a=,

∴渐近线方程为y=±x=±x=±x.故选C.

答案:C

5.双曲线-=1的渐近线与圆(x-3)2+y2=r2(r>0)相切,则r=(　　)

(A) (B)2 (C)3 (D)6

解析:∵双曲线-=1的渐近线方程为y=±x,

则圆心(3,0)到y+x=0的距离为r,

∴r==.故选A.

答案:A

6.双曲线-=1的两条渐近线的方程为　　　　.

解析:令-=0,

解得y=±x.

答案:y=±x

7.已知双曲线x2-=1(b>0)的一条渐近线的方程为y=2x,则b=　　　　.

解析:由x2-=1知a=1,又一条渐近线的方程为y=x=2x,

∴b=2.

答案: 2

8.已知双曲线-=1的离心率为2,焦点与椭圆+=1的焦点相同,那么双曲线的焦点坐标为　　　　;渐近线方程为　　　　.

解析:∵双曲线的焦点与椭圆的焦点相同,

∴c=4.∵e==2,

∴a=2,∴b2=12,∴b=2.

∵焦点在x轴上,

∴焦点坐标为(±4,0),

渐近线方程为y=±x,

即y=±x,化为一般式为x±y=0.

答案:(±4,0)　x±y=0

双曲线几何性质的简单应用

1.已知0<θ<,则双曲线C1: -=1与C2: -=1

的(　　)

(A)实轴长相等 (B)虚轴长相等

(C)离心率相等 (D)焦距相等

解析:双曲线C1的半焦距c1==1,双曲线C2的半焦距c2==1,故选D.

答案:D

2.双曲线2x2-y2=8的实轴长是(　　)

(A)2 (B)2 (C)4 (D)4

解析:双曲线标准方程为-=1,

∴a2=4,a=2,实轴长2a=4.故选C.

答案:C

3.在平面直角坐标系xOy中,若双曲线-=1的离心率为,则m的值为　　　　.

解析:由c2=m+m2+4,e2===5得m2-4m+4=0,解得m=2,经检验符合题意.

答案:2

直线与双曲线位置关系的判定及应用

已知双曲线C的方程为-=1(a>0,b>0),离心率e=,顶点到渐近线的距离为.

(1)求双曲线C的方程;

(2)如图,P是双曲线C上一点,A、B两点在双曲线C的两条渐近线上,且分别位于第一、二象限.

若=λ,λ∈.求△AOB的面积的取值范围.

解:(1)由题意知,双曲线C的顶点(0,a)到渐近线ax-by=0的距离为,

∴=,即=.

由　得

∴双曲线C的方程为-x2=1.

(2)由(1)知双曲线C的两条渐近线方程为y=±2x,

设A(m,2m),B(-n,2n),m>0,n>0.

由=λ得P点坐标为,

将P点坐标代入-x2=1,化简得mn=.

设∠AOB=2θ,∵tan(-θ)2.

∴tan θ=,sin 2θ=.

又|OA|=m,|OB|=n,

∴S△AOB=|OA|·|OB|·sin 2θ

=2mn

=+1,

记S(λ)= +1,λ∈.

则S′(λ)= .

由S′(λ)=0得λ=1.

又S(1)=2,S=,S(2)= ,

∴当λ=1时,△AOB的面积取得最小值2,当λ=时,

△AOB的面积取得最大值.

∴△AOB面积的取值范围是.

用双曲线的定义解决相关问题

1.设双曲线-=1的左、右焦点分别为F1,F2,过F1的直线l交双曲线左支于A、B两点,则|BF2|+|AF2|的最小值为(　　)

(A) (B)11 (C)12 (D)16

解析:由-=1知a2=4,b2=3,

∴c2=7,c=,∴F1(-,0),F2(,0),

又点A、B在双曲线左支上,

∴|AF2|-|AF1|=4,|BF2|-|BF1|=4,

∴|AF2|=4+|AF1|,|BF2|=4+|BF1|,

∴|AF2|+|BF2|=8+|AF1|+|BF1|.

要求|AF2|+|BF2|的最小值,只要求|AF1|+|BF1|的最小值,而|AF1|+|BF1|最小为2×=3.

∴(|AF2|+|BF2|)min=8+3=11.故选B.

答案:B

2.已知F1、F2为双曲线C: -y2=1的左、右焦点,点P在C上,∠F1PF2=60°,则P到x轴的距离为(　　)

(A) (B) (C) (D)

解析:由双曲线的方程可知a=2,b=1,c=,

在△F1PF2中,根据余弦定理可得

(2c)2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|cos 60°,

即4c2=(|PF1|-|PF2|)2+|PF1|·|PF2|,

所以4c2=4a2+|PF1|·|PF2|,

所以|PF1|·|PF2|=4c2-4a2=20-16=4,

所以△F1PF2的面积为S=|PF1|·|PF2|sin 60°

=×4×=,

设△F1PF2边F1F2上的高为h,

则S=×2chh=,所以高h==,

即点P到x轴的距离为.故选B.

答案:B

双曲线标准方程的求法

1.已知中心在原点,焦点在x轴上的双曲线的离心率为,实轴长为4,则双曲线的方程为　　　　.

解析:由2a=4得a=2,

由e==,得c=3,∴b2=c2-a2=5,

又双曲线焦点在x轴上,

∴双曲线标准方程为-=1.

答案: -=1

2.已知双曲线-=1的一个焦点与圆x2+y2-10x=0的圆心重合,且双曲线的离心率等于,则该双曲线的标准方程为　　　　.

解析:圆x2+y2-10x=0的圆心坐标为(5,0),

∴c=5,

又e==,

∴a=,b2=c2-a2=20,

∴双曲线标准方程为-=1.

答案: - =1

双曲线离心率的求法

1.已知双曲线-=1(a>0,b>0),过其右焦点F且垂直于实轴的直线与双曲线交于M,N两点,O为坐标原点.若OM⊥ON,则双曲线的离心率为(　　)

(A) (B)

(C) (D)

解析:由题意知三角形OMN为等腰直角三角形,

所以|MF|=|OF|=c,所以点M(c,c),

当x=c时, -=1,得|y|=,

所以由|y|==c得b2=ac,

即c2-a2=ac,c2-ac-a2=0,

所以e2-e-1=0,

解得离心率e=.故选D.

答案:D

2.已知F是双曲线C: -=1(a>0,b>0)的左焦点,B1B2是双曲线的虚轴,M是OB1的中点,过F、M的直线与双曲线C的一个交点为A,且=2,则双曲线C离心率是　　　　.

解析:由题意可知F(-c,0),不妨取M,设A(x,y),

则由=2得=2,

解得x=,y=b,即A,

因为点A在双曲线上,所以-=1,即-=1,

所以=,即=,即e2=,所以e=.

答案:

考点四 双曲线渐近线方程的求法

1.已知双曲线-=1(a>0,b>0)的离心率为,则双曲线的渐近线方程

为(　　)

(A)y=±x (B)y=±x

(C)y=±2x (D)y=±x

解析:由e=得e2===1+=3,

∴=2,∴=,双曲线渐近线方程为y=±x,即y=±x.故选A.

答案:A

2.双曲线的焦点在x轴上,实轴长为4,离心率为3,则该双曲线的标准方程为　　　　,渐近线方程为　　　　.

解析:由题意,2a=4,∴a=2,由e==3,∴c=6,

∴b2=c2-a2=32,

∴双曲线标准方程为-=1.

渐近线方程为y=±2x.

答案: -=1　y=±2x

双曲线几何性质的简单应用

1.双曲线的中心在坐标原点O,A、C分别是双曲线虚轴的上、下顶点,B是双曲线的左顶点,F是双曲线的左焦点,直线AB与FC相交于点D,若双曲线的离心率为2,则∠BDF的余弦值是(　　)

(A) (B) (C) (D)

解析:设双曲线方程-=1(a>0,b>0),

则A(0,b),C(0,-b),B(-a,0),F(-c,0),

由e==2得c=2a,b==a,

∴ 直线AB方程为y=x+a,

直线FC方程为y=-x-a.

法一　由　得D(-a,-a).

∴|DF|=a,|DB|=a,

又|BF|=a.

在△BDF中,由余弦定理得

cos∠BDF==.

故选C.

法二　tan∠FBD=,tan∠DFB=,

∴tan∠BDF=tan[180°-(∠FBD+∠DFB)]

=-tan(∠FBD+∠DFB)

=-

=3.

∴cos∠BDF===.故选C.

答案:C

2.若点P是以A(-,0),B(,0)为焦点,实轴长为2的双曲线与圆x2+y2=10的一个交点,则|PA|+|PB|的值为(　　)

(A)2 (B)4 (C)4 (D)6

解析:如图,点A、B在圆x2+y2=10上,P为一个交点,

∴PA⊥PB,

∴|PA|2+|PB|2=(2c)2=40,①

又|PA|-|PB|=2a=2,②

联立①②解得|PA|=4,|PB|=2.

∴|PA|+|PB|=6.故选D.

答案:D

直线与双曲线位置关系的判定及应用

已知双曲线-=1(b∈N*)的左、右两个焦点为F1、F2,P是双曲线上的一点,且满足|PF1||PF2|=|F1F2|2,|PF2|<4.

(1)求b的值;

(2)抛物线y2=2px(p>0)的焦点与该双曲线的右顶点重合,斜率为1的直线经过右顶点,与该抛物线交于A、B两点,求弦长|AB|.

解:(1)根据题意a2=4,a=2,又a2+b2=c2,

||PF1|-|PF2||=2a=4,

|PF1|·|PF2|=|F1F2|2=4c2,|PF2|<4,

得|PF2|2+4|PF2|-4c2=0在区间(0,4)上有解,

所以c2<8,因此b2<4,

又b∈N*,所以b=1.

(2)双曲线方程为-y2=1,右顶点坐标为(2,0),

所以抛物线方程为y2=8x,①

直线方程为y=x-2,②

由①②两式联立,解得

和

所以弦长|AB|==16.

综合检测

1.已知F1,F2为双曲线Ax2-By2=1的焦点,其顶点是线段F1F2的三等分点,则其渐近线的方程为(　　)

(A)y=±2x (B)y=±x

(C)y=±x (D)y=±2x或y=±x

解析:由题意c=3a,∴c2=9a2,

又 c2=a2+b2,

∴=8, =2,=,

∴双曲线渐近线方程为y=±2x或y=±x.故选D.

答案:D

2.设过双曲线x2-y2=9左焦点F1的直线交双曲线的左支于点P,Q,F2为双曲线的右焦点.若|PQ|=7,则△F2PQ的周长为(　　)

(A)19 (B)26 (C)43 (D)50

解析:如图,由双曲线的定义可得:

两式相加得|PF2|+|QF2|-|PQ|=4a,

∴△F2PQ的周长为|PF2|+|QF2|+|PQ|=4a+|PQ|+|PQ|=4×3+2×7=26.

故选B.

答案:B

3.已知双曲线的中心在原点,一个焦点为F1(-,0),点P在双曲线上,且线段PF1的中点坐标为(0,2),则此双曲线的方程是(　　)

(A) -y2=1 (B)x2-=1

(C) -=1 (D) -=1

解析:由双曲线的焦点可知c=,线段PF1的中点坐标为(0,2),所以设右焦点为F2,则有PF2⊥x轴,且|PF2|=4,点P在双曲线右支上.所以|PF1|===6,所以|PF1|-|PF2|=6-4=2=2a,所以a=1,b2=c2-a2=4,所以双曲线的方程为x2-=1.故选B.

答案:B

4.设圆锥曲线C的两个焦点分别为F1、F2,若曲线C上存在点P满足|PF1|∶|F1F2|∶|PF2|=4∶3∶2,则曲线C的离心率等于(　　)

(A)或 (B)或2

(C)或2 (D)或

解析:因为|PF1|∶|F1F2|∶|PF2|=4∶3∶2,

所以设|PF1|=4x,|F1F2|=3x,|PF2|=2x,x>0.

因为|F1F2|=3x=2c,

所以x=c.

若曲线为椭圆,则有2a=|PF1|+|PF2|=6x,即a=3x,

所以离心率e====.

若曲线为双曲线,则有2a=|PF1|-|PF2|=2x,即a=x,

所以离心率e====.故选D.

答案:D

5.已知△ABC外接圆半径R=,且∠ABC=120°,BC=10,边BC在x轴上且y轴垂直平分BC边,则过点A且以B,C为焦点的双曲线方程为(　　)

(A) -=1 (B) -=1

(C) - =1 (D) -=1

解析:由正弦定理知sin ∠BAC==,

∴cos ∠BAC=,

|AC|=2Rsin ∠ABC=2××=14,

sin ∠ACB=sin(60°-∠BAC)

=sin 60°cos ∠BAC-cos 60°sin ∠BAC

=×-×

=,

∴|AB|=2Rsin ∠ACB=2××=6,

∴2a=||AC|-|AB||=14-6=8,∴a=4,

又c=5,∴b2=c2-a2=25-16=9,

∴所求双曲线方程为-=1.故选D.

答案:D

6.已知△ABC的三边长|AB|=,|BC|=4,|AC|=1,动点M满足=λ+μ,且λμ=.

(1)求||最小值,并指出此时与,的夹角;

(2)是否存在两定点F1,F2使|||-|||恒为常数k?若存在,指出常数k的值,若不存在,说明理由.

解:(1)由余弦定理知:

cos∠ACB==⇒∠ACB=.

因为||2 ==(λ+μ)2

=λ2+16μ2+2λμ·

=λ2+16μ2+1≥3.

所以||≥,当且仅当λ=±1时,“=”成立.

故||的最小值是,

此时 <,>=<,>=或.

(2)以C为坐标原点,∠ACB的平分线所在直线为x轴建立直角坐标系(如图),则A,B(2,-2),

设动点M(x,y),

因为=λ+μ,

所以⇒

再由λμ=知-y2=1,

所以,动点M的轨迹是以F1(-2,0),F2(2,0)为焦点,实轴长为2的双曲线,

即存在两定点F1(-2,0),F2(2,0)使|||-|||恒为常数2,即k=2.

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