2014高考数学考前押题：椭　圆

椭圆的定义及应用

1椭圆+=1的焦点为F1、F2,点P在椭圆上.若|PF1|=4,则|PF2|=　　　,∠F1PF2的大小为　　　　.

解析:由椭圆方程+=1可知a2=9,b2=2,

∴c2=7,c=,a=3.

由椭圆定义知|PF1|+|PF2|=6,

由|PF1|=4,得|PF2|=2.

在△PF1F2中,由余弦定理的推论有

cos∠F1PF2=

=

=-.

∴∠F1PF2=120°.

答案:2　120°

2.已知F1、F2是椭圆C: +=1(a>b>0)的两个焦点,P为椭圆C上一点,且⊥,若△PF1F2的面积为9,则b=　　　　.

解析:由题意可知, ||=9, ①

||2+||2=||2=(2c)2, ②

由椭圆定义可知,|PF1|+|PF2|=2a, ③

联立①②③解得a2-c2=9,

即b2=9,∴b=3.

答案:3

考点二 椭圆的方程及其简单性质应用

1已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1,0),离心率等于,则C的方程是(　　)

(A) + =1 (B) +=1

(C) +=1 (D) +=1

解析:因椭圆中心在原点,右焦点为(1,0),所以其方程应为+=1,且a2-b2=c2=1.又离心率=,∴a=2,b2=a2-c2=3.故选D.

答案:D

2.(2013年大纲全国卷,文8)已知F1(-1,0),F2(1,0)是椭圆C的两个焦点,过F2且垂直于x轴的直线交C于A、B两点,且=3,则C的方程为(　　)

(A)+y2=1 (B)+=1

(C)+ =1 (D)+=1

解析:依题意设椭圆C的方程为+=1(a>b>0),由条件可得A(1,),B(1,-),因|AB|=-(-)==3,即2b2=3a,所以解得所以椭圆C的方程为+=1.故选C.

答案:C

3.若点O和点F分别为椭圆+=1的中心和左焦点,点P为椭圆上的任意一点,则·的最大值为(　　)

(A)2 (B)3 (C)6 (D)8

解析:由椭圆方程+=1可知a2=4,b2=3,

∴c2=1,

∴F(-1,0).

设P(x0,y0),

则+=1.

且=(x0,y0), =(x0+1,y0),

∴·=x0(x0+1)+

=+x0+3(1-)

=+x0+3

=(x0+2)2+2

∵-2≤x0≤2,

∴当x0=2时,·取到最大值×16+2=6.

答案:C

椭圆离心率的求法

1.已知椭圆C: +=1(a>b>0)的左焦点为F,C与过原点的直线相交于A,B两点,连接AF,BF.若|AB|=10,|BF|=8,cos∠ABF=,则C的离心率为(　　)

(A) (B) (C) (D)

解析:|AF|2=|AB|2+|BF|2-2|AB|·|BF|cos∠ABF=100+64-2×10×8×=36,

则|AF|=6,∠AFB=90°,

半焦距c=|FO|=|AB|

=5,

设椭圆右焦点F2,

连结AF2,

由对称性知|AF2|=|FB|=8,

2a=|AF2|+|AF|=6+8=14,

即a=7,

则e==.故选B.

答案:B

2.设椭圆C: +=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,P是C上的点,PF2⊥F1F2,∠PF1F2=30°,则C的离心率为(　　)

(A) (B) (C) (D)

解析:Rt△PF1F2中,|F1F2|=2c(c为半焦距),

因为∠PF1F2=30°,

所以|PF2|=,|PF1|=,

由椭圆的定义知2a=|PF1|+|PF2|=,

所以e==.

故选D.

答案:D

3.从椭圆+=1(a>b>0)上一点P向x轴作垂线,垂足恰为左焦点F1,A是椭圆与x轴正半轴的交点,B是椭圆与y轴正半轴的交点,且AB∥OP(O是坐标原点),则该椭圆的离心率是(　　)

(A) (B) (C) (D)

解析:由题意点P(-c,y)(y>0)在椭圆上,

则+=1,

解得y=,则kOP=.

又由A(a,0),B(0,b),得kAB=-,

所以=,

即b=c,∴a=c,

所以e=.故选C.

答案:C

4.设F1,F2是椭圆E: +=1(a>b>0)的左、右焦点,P为直线x=上一点,△F2PF1是底角为30°的等腰三角形,则E的离心率为(　　)

(A) (B) (C) (D)

解析:如图所示,设直线x=a与x轴的交点为Q,

由题意可知,

∠F2F1P=∠F1PF2=30°,

|PF2|=|F1F2|=2c,

∴∠PF2Q=60°,∠F2PQ=30°.

∴|F2Q|=|PF2|.

即a-c=·2c,

∴e==.

答案:C

5.椭圆+=1(a>b>0)的左、右顶点分别是A、B,左、右焦点分别是F1、F2,若|AF1|,|F1F2|,|F1B|成等比数列,则此椭圆的离心率为(　　)

(A) (B) (C) (D) -2

解析:由题意知,|AF1|=a-c,|F1F2|=2c,|F1B|=a+c.

由|AF1|、|F1F2|、|F1B|成等比数列可得:

(2c)2=(a-c)(a+c).

整理得a2=5c2,

∴e====.

答案:B

6.椭圆+=1的离心率为(　　)

(A) (B) (C) (D)

解析:由椭圆方程+=1可知a2=16,b2=8,

∴c2=a2-b2=8,

∴e=====.

答案:D

7.若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列,则该椭圆的离心率是(　　)

(A) (B) (C) (D)

解析:由题意可知,2a,2b,2c成等差数列,

∴4b=2a+2c,即a+c=2b,

又a2-c2=b2,∴=a2-c2,

即5c2+2ac-3a2=0,

∴5e2+2e-3=0,

解得e=或e=-1(舍去).

答案:B

8.椭圆Γ: +=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,焦距为2c.若直线y=(x+c)与椭圆Γ的一个交点满足∠MF1F2=2∠MF2F1,则该椭圆的离心率等于　　　　.

解析:直线y=(x+c)过点F1(-c,0)且倾斜角为60°,

所以∠MF1F2=60°,∠MF2F1=30°,

所以∠F1MF2=90°,

所以F1M⊥F2M,

在Rt△F1MF2中,

|MF1|=c,|MF2|=c,

所以e=====-1.

答案: -1

直线与椭圆的位置关系

1.已知动点M(x,y)到直线l:x=4的距离是它到点N(1,0)的距离的2倍.

(1)求动点M的轨迹C的方程;

(2)过点P(0,3)的直线m与轨迹C交于A,B两点,若A是PB的中点,求直线m的斜率.

解:(1)设M到直线l的距离为d,

根据题意,d=2|MN|.

由此得|4-x|=2,

化简得+=1,

所以,动点M的轨迹方程为+=1.

(2)法一　由题意,设直线m的方程为y=kx+3,A(x1,y1),B(x2,y2).

将y=kx+3代入+=1中,

有(3+4k2)x2+24kx+24=0,

其中,Δ=(24k)2-4×24(3+4k2)=96(2k2-3)>0,

由求根公式得,

x1+x2=-, ①

x1x2=. ②

又因A是PB的中点,

故x2=2x1,③

将③代入①,②,得

x1=-,

=,

可得=,

且k2>,

解得k=-或k=,

所以,直线m的斜率为-或.

法二　由题意,设直线m的方程为y=kx+3,

A(x1,y1),B(x2,y2).

∵A是PB的中点,

∴x1=,①

y1=.②

又+=1,③

+=1.④

联立①,②,③,④解得或

即点B的坐标为(2,0)或(-2,0),

所以,直线m的斜率为-或.

2.椭圆C: +=1(a>b>0)的离心率e=,a+b=3.

(1)求椭圆C的方程;

(2)如图,A,B,D是椭圆C的顶点,P是椭圆C上除顶点外的任意一点,直线DP交x轴于点N,直线AD交BP于点M,设BP的斜率为k,MN的斜率为m.证明2m-k为定值.

(1)解:因为e==,

所以a=c,b=c.

代入a+b=3,

得c=,a=2,b=1.

故椭圆C的方程为+y2=1.

(2)证明:因为B(2,0),P不为椭圆顶点,

则直线BP的方程为y=k(x-2)(k≠0,k≠±), ①

把①代入+y2=1,

解得P.

直线AD的方程为y=x+1.②

①与②联立解得M.

由D(0,1),P，N(x,0)三点共线知

=,

解得N.

所以MN的斜率为m=

=

=,

则2m-k=-k=(定值).

3.已知椭圆C: +=1(a>b>0)的焦距为4,且过点P(,).

(1)求椭圆C的方程;

(2)设Q(x0,y0)(x0y0≠0)为椭圆C上一点.过点Q作x轴的垂线,垂足为E.取点A(0,2),连接AE,过点A作AE的垂线交x轴于点D.点G是点D关于y轴的对称点,作直线QG,问这样作出的直线QG是否与椭圆C一定有唯一的公共点?并说明理由.

解:(1)因为焦距为4,

所以a2-b2=4.

又因为椭圆C过点P(,),

所以+=1,

故a2=8,b2=4,

从而椭圆C的方程为+=1.

(2)一定有唯一的公共点.

由题意,E点坐标为(x0,0).

设D(xD,0),则=(x0,-2),=(xD,-2).

再由AD⊥AE知,·=0,

即xDx0+8=0.

由于x0y0≠0,故xD=-.

因为点G是点D关于y轴的对称点,所以点G(,0).

故直线QG的斜率kQG==.

又因Q(x0,y0)在椭圆C上,

所以+2=8.①

从而kQG=-.

故直线QG的方程为

y=-(x-).②

将②代入椭圆C方程,得

(+2)x2-16x0x+64-16=0.③

再将①代入③,化简得

x2-2x0x+=0.

解得x=x0,y=y0,

即直线QG与椭圆C一定有唯一的公共点.

4.设椭圆+=1(a>b>0)的左焦点为F,离心率为,过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为.

(1)求椭圆的方程;

(2)设A,B分别为椭圆的左、右顶点,过点F且斜率为k的直线与椭圆交于C,D两点.若·+·=8,求k的值.

解:(1)设F(-c,0),由=,知a=c.

过点F且与x轴垂直的直线为x=-c,

代入椭圆方程有+=1,

解得y=±,

于是=,解得b=,

又a2-c2=b2,从而a=,c=1,

所以椭圆的方程为+=1.

(2)设点C(x1,y1),D(x2,y2),

由F(-1,0)得直线CD的方程为y=k(x+1).

由方程组消去y,整理得(2+3k2)x2+6k2x+3k2-6=0,

则x1+x2=-,x1x2=.

因为A(-,0),B(,0),

所以·+·=(x1+,y1)·(-x2,-y2)+(x2+,y2)·(-x1,-y1)=6-2x1x2-2y1y2=6-2x1x2-2k2(x1+1)(x2+1)

=6-(2+2k2)x1x2-2k2(x1+x2)-2k2=6+.

由已知得6+=8,解得k=±.

5.已知椭圆C: +=1(a>b>0)的一个顶点为A(2,0),离心率为.直线y=k(x-1)与椭圆C交于不同的两点M,N.

(1)求椭圆C的方程;

(2)当△AMN的面积为时,求k的值.

解:(1)由题设知,椭圆焦点在x轴上,

∴a=2.

由e==得c=,

∴b2=a2-c2=2.

∴椭圆C的方程为+=1.

(2)由消去y,

整理得(1+2k2)x2-4k2x+2k2-4=0.

设M(x1,y1),N(x2,y2).

则Δ=(-4k2)2-4(1+2k2)(2k2-4)>0(※)

且x1+x2=,x1·x2=,

∴|MN|=

=

=

=

=

设点A(2,0)到直线y=k(x-1)的距离为d,

则d=.

∴S△AMN=|MN|·d==,

解得k=±1,

代入(※)式成立,∴k=±1.

6.已知椭圆+=1(a>b>0),点P(a,a)在椭圆上.

(1)求椭圆的离心率;

(2)设A为椭圆的左顶点,O为坐标原点,若点Q在椭圆上且满足|AQ|=|AO|,求直线OQ的斜率的值.

解:(1)∵点P(a,a)在椭圆上,

∴+=1整理得=.

∴e==

=

==

=.

(2)由题意可知,点A坐标为(-a,0),|AO|=a.

设直线OQ的斜率为k,

则其方程为y=kx,

设点Q坐标为(x0,y0).

则

消去y0,整理得=①

由|AQ|=|AO|得(x0+a)2+k2=a2.

整理得(1+k22ax0=0.

由于x0≠0,

得x0=-.②

把②代入①得=,

整理得(1+k2)2=4k2·+4.

由(1)知=,

故(1+k2)2=k2+4,

即5k4-22k2-15=0,

解得k2=5.

∴直线OQ的斜率k=±.

7.设椭圆+=1(a>b>0)的左,右焦点分别为F1,F2,点P(a,b)满足|PF2|=|F1F2|.

(1)求椭圆的离心率e;

(2)设直线PF2与椭圆相交于A,B两点.若直线PF2与圆(x+1)2+(y-)2=16相交于M,N两点,且|MN|=|AB|,求椭圆的方程.

解:(1)设F1(-c,0),F2(c,0)(c>0),

因为|PF2|=|F1F2|,

所以=2c,

整理得2()2+-1=0,

得=-1(舍去),或=,

所以e=.

(2)由(1)知a=2c,b=c,

可得椭圆方程为3x2+4y2=12c2,

直线PF2的方程为y=(x-c).

A、B两点的坐标满足方程组

消去y并整理,得5x2-8cx=0,

解得x1=0,x2=c.

得方程组的解

不妨设A(c,c),B(0,-c),

所以|AB|==c.

于是|MN|=|AB|=2c.

圆心(-1, )到直线PF2的距离

d==.

因为d2+=42,

所以(2+c)2+c2=16.

整理得7c2+12c-52=0,

解得c=-(舍去)或c=2.

所以椭圆方程为+=1.

8.设椭圆C: +=1(a>b>0)过点(0,4),离心率为.

(1)求C的方程;

(2)求过点(3,0)且斜率为的直线被C所截线段的中点坐标.

解:(1)将(0,4)代入C的方程得=1,

∴b=4,

又由e==,得=,

即1-=,

∴a=5,

∴C的方程为+=1.

(2)过点(3,0)且斜率为的直线方程为y=(x-3).

设直线与C的交点为A(x1,y1),B(x2,y2),

将直线方程y=(x-3)代入C的方程,

得+=1,

即x2-3x-8=0,

∴x1+x2=3.

设线段AB的中点坐标为(x′,y′),

则x′==,

y′==(x1+x2-6)=- ,

即中点坐标为(,-).

9.如图所示,设椭圆的中心为原点O,长轴在x轴上,上顶点为A,左、右焦点分别为F1、F2,线段OF1、OF2的中点分别为B1、B2,且△AB1B2是面积为4的直角三角形.

(1)求该椭圆的离心率和标准方程;

(2)过B1作直线交椭圆于P、Q两点,使PB2⊥QB2,求△PB2Q的面积.

解:(1)设椭圆的标准方程为+=1(a>b>0),焦距为2c,则A(0,b),|OB1|=|OB2|=.

由=4得·c·b=4,

即bc=8.①

又△AB1B2是直角三角形,

且|OB1|=|OB2|,∴b=.②

由①②可得b=2,c=4.

∴a2=20.

∴椭圆的标准方程为+=1,离心率e==.

(2)由(1)知B1(-2,0),B2(2,0).

由题意知,直线PQ的倾斜角不为0,

故可设直线PQ的方程为x=my-2.

代入椭圆方程得(m2+5)y2-4my-16=0.(*)

设P1(x1,y1),P2(x2,y2),

则y1,y2是方程(*)的两根.

∴y1+y2=,y1·y2=-.

又=(x1-2,y1), =(x2-2,y2).

∴·=(x1-2)(x2-2)+y1y2

=(my1-4)(my2-4)+y1y2

=(m2+1)y1y2-4m(y1+y2)+16

=--+16

=-.

由PB2⊥B2Q知·=0,

即-=0,

16m2-64=0,解得m=±2.

当m=2时,y1+y2=,y1y2=-,

|y1-y2|==.

=|B1B2|·|y1-y2|=.

当m=-2时,由椭圆的对称性可得=.

综上所述,△PB2Q的面积为.

应用椭圆的定义解决椭圆上的点到焦点的距离问题

1.已知椭圆+=1的两个焦点是F1、F2,点P在该椭圆上,若|PF1|-|PF2|=2,则△PF1F2的面积是　　　　.

解析:由椭圆方程+=1可知c=,a=2,

∴|PF1|+|PF2|=4.

又|PF1|-|PF2|=2,

∴|PF1|=3,|PF2|=1.

又|F1F2|=2,

∴|PF1|2=|PF2|2+|F1F2|2,

∴PF2⊥F1F2,

∴=|PF2||F1F2|

=×1×2

=.

答案:

2.已知点F1、F2分别是椭圆x2+2y2=2的左、右焦点,点P是该椭圆上的一个动点,则的最小值是　　　　.

解析:设P(x,y),则x2+2y2=2,

由椭圆方程+y2=1可知,a=,b=1,c=1,

∴F1(-1,0),F2(1,0).

∴=(-1-x,-y),

=(1-x,-y),

∴+=(-2x,-2y).

∴|+|=

=2

=2

=2 .

∵y2≤1,

∴|+|的最小值是2.

答案:2

椭圆的方程及其简单性质应用

1.定义:关于x的不等式|x-A|b>0)的左、右顶点,C(0,b),直线l:x=2a与x轴交于点D,与直线AC交于点P,若∠DBP=,则此椭圆的离心率为(　　)

(A) (B) (C) (D)

解析:如图所示,

由已知得A(-a,0),B(a,0),C(0,b),D(2a,0).

设P(2a,y0),

∵A、C、P共线,

∴kAC=kAP,

即=,

∴y0=3b,

∴P(2a,3b).

又∵∠DBP=,且tan∠DBP=,

∴=,

∴=,

∴e====.

答案:D

2.已知F是椭圆C: +=1(a>b>0)的右焦点,点P在椭圆C上,线段PF与圆(x-)2+y2=相切于点Q,且=2,则椭圆C的离心率等于(　　)

(A) (B) (C) (D)

解析:记椭圆的左焦点为F′,

圆(x-)2+y2=的圆心为E,

连接PF′、QE.

∵|EF|=|OF|-|OE|=c-=,=2,

∴==,

∴PF′∥QE,

∴=,且PF′⊥PF.

又∵|QE|=(圆的半径长),

∴|PF′|=b.

据椭圆的定义知:|PF′|+|PF|=2a,

∴|PF|=2a-b.

∵PF′⊥PF,

∴|PF′|2+|PF|2=|F′F|2,

∴b2+(2a-b)2=(2c)2,

∴2(a2-c2)+b2=2ab,

∴3b2=2ab,

∴b=,c==a, = ,

∴椭圆的离心率为.

答案:A

考点四 直线与椭圆的位置关系的解法

1.椭圆E: +=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,焦距为2,过F1作垂直于椭圆长轴的弦PQ,|PQ|为3.

(1)求椭圆E的方程;

(2)若过F1的直线l交椭圆于A,B两点,判断是否存在直线l使得∠AF2B为钝角,若存在,求出l的斜率k的取值范围.

解:(1)依题意

解得a2=4,b2=3,

∴椭圆的方程为+=1.

(2)①当过F1的直线AB的斜率不存在时,

不妨取A(-1,),B(-1,-)

则·=,显然∠AF2B不为钝角.

②直线l的斜率为k,l方程为y=k(x+1),

由

消去y,整理得(3+4k2)x2+8k2x+4k2-12=0.

∵直线l与椭圆交于两点,

∴Δ=(8k2)2-4(3+4k2)(4k2-12)=4×36(k2+1)>0.

设A(x1,y1),B(x2,y2),

则x1+x2=-,x1·x2=.

=(x1-1,y1), =(x2-1,y2).

∵∠AF2B为钝角,

∴·<0.

即(x1-1)(x2-1)+y1y2<0,

整理得(k2+1)x1x2+(k2-1)(x1+x2)+k2+1<0.

即(k2+1)·-(k2-1)·+k2+1<0,

整理得7k2<9,

解得-b>0)的右顶点和上顶点,直线l∥AB,l与x轴、y轴分别交于C,D两点,直线CE,DF为椭圆的切线,则CE与DF的斜率之积kCE·kDF等于(　　)

(A)± (B)±

(C)± (D)±

解析:由+=1(a>b>0)可知A(a,0),B(0,b),

∴kAB=.

设l方程为y=-x+m,

则C,D(0,m).

DF方程为y=kDFx+m,

由

得(b2+a2)x2+2a2mkDFx+a2m2-a2b2=0,

∵DF与椭圆相切,

∴Δ=(2a2mkDF)2-4(b2+a2)·(a2m2-a2b2)=0,

得=.

直线CE的方程为y=kCE(x-),

由

得(b2+a2)x2-x+-a2b2=0.

∵CE与椭圆相切,

∴Δ=(-)2-4(b2+a2)·(-a2b2)=0.

化简得=.

∴·=·

=,

∴kDF·kCE=±.

答案:C

4.椭圆mx2+y2=1的焦点在y轴上,长轴长是短轴长的3倍,则m=　　　　.

解析:椭圆标准方程为+y2=1,

由题意知3=1,

∴m=9.

答案:9

5.已知椭圆C: +=1(a>0,b>0)的右焦点为F(3,0),且点(-3, )在椭圆C上,则椭圆C的标准方程为　　　　.

解析:左焦点为(-3,0),

∴2a=+

=6,

∴a=3,b2=18-9=9.

∴椭圆标准方程为+=1.

答案: +=1

6.已知椭圆C: +=1(a>b>0)的离心率为,以原点为圆心,椭圆的短半轴为半径的圆与直线x-y+=0相切,过点P(4,0)且不垂直于x轴直线l与椭圆C相交于A、B两点.

(1)求椭圆C的方程;

(2)求·的取值范围;

(3)若B点关于x轴的对称点是E,证明:直线AE与x轴相交于定点.

(1)解:由题意知e==,

∴e2===,

即a2=b2.

又b==,

∴b2=3,a2=4,

故椭圆的方程为+=1.

(2)解:由题意知直线l的斜率存在,

设直线l的方程为y=k(x-4).

由

得(4k2+3)x2-32k2x+64k2-12=0.

由Δ=(-32k2)2-4(4k2+3)(64k2-12)>0,

得k2<.

设A(x1,y1),B(x2,y2),

则 (*)

∴y1y2=k2(x1-4)(x2-4)=k2x1x2-4k2(x1+x2)+16k2,

∴·=x1x2+y1y2

=(1+k2)·-4k2·+16k2

=25-

∵0≤k2<,

∴-≤-<-,

∴·∈.

∴·的取值范围是.

(3)证明:∵B、E两点关于x轴对称,

∴E(x2,-y2).

直线AE的方程为y-y1=(x-x1),

令y=0得x=x1-,

又y1=k(x1-4),y2=k(x2-4),

∴x=.

将(*)式代入得,x=1,

∴直线AE与x轴交于定点(1,0).

7.已知椭圆C: +=1(a>b>0),左、右两个焦点分别为F1,F2,上顶点A(0,b),△AF1F2为正三角形且周长为6.

(1)求椭圆C的标准方程及离心率;

(2)O为坐标原点,P是直线F1A上的一个动点,求|PF2|+|PO|的最小值,并求出此时点P的坐标.

解:(1)由题设得

解得a=2,b=,c=1.

故C的方程为+=1,离心率e=.

(2)直线F1A的方程为y=(x+1),

设点O关于直线F1A对称的点为M(x0,y0),

则⇒

所以点M的坐标为(-,).

∵|PO|=|PM|,|PF2|+|PO|=|PF2|+|PM|≥|MF2|,

|PF2|+|PO|的最小值为

|MF2|==.

直线MF2的方程为y=(x-1),

即y=-(x-1).

由⇒

所以此时点P的坐标为(,).

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