2014兰州高考冲刺数学试题2

第Ⅰ卷 (选择题 共60分)

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的序号填入括号内.

1.已知集合 ，则 ( )

A. B. C. D.

2.已知i是虚数单位，则 ( )

A. B. C. D. 3+i

3.如图所示某程序框图，则输出的n ( )

A. 13 B.15 C. 16 D.14

4.已知命题 ，则 的( )

A.充分不必要条件 B.既不充分也不必要条件

C.充要条件 D.必要不充分条件

5. 用a，b，c表示三条不同的直线， 表示平面，给出下列命题：

①若 ②若 ;

③若 ; ④若

其中真命题的序号是( )

A. ①③ B. ①④ C. ②③ D. ②④

6.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积(单位：cm3)为( )

A. B.

C. D.

7.已知向量a=(cos α，-2)，b=(sin α，1)，且a∥b，则tanα-π4等于( )

A.3 B.13 C.-3 D.-13

8.在平面直角坐标系xOy中，M为不等式组2x-y-2≥0，x+2y-1≥0，3x+y-8≤0所表示的区域上一动点，则直线OM斜率的最小值为( )

A.2 B.1 C.-13 D.-12

9.设定义在 上的函数y=2sinx的图象分别与y= cosx,y=tanx的图象交于点 ，则 ( )

A. B. C. D.

10.在 中，角A ,B ,C的对边分别为a ,b ,c，若 ，则角B的值为( )

A. B. C. D.

11.已知 是奇函数，则 ( )

A..14 B. 12 C. 10 D.-8

12.已知P是双曲线 上一点，F1、F2是左右焦点，△PF1F2的三边长成等差数列，且∠F1PF2=120°，则双曲线 的离心率等于( )

A. B. C. D.

第II卷(非选择题 共90分)

二、 填空题：本大题共4小题, 每小题5分, 共20分.

13.某公益社团有中学生36 人，大学生24 人，研究生16 人，现用分层抽样的方法从中抽取容量为19的样本，则抽取的中学生的人数是 .

14.已知函数 = .

15.设函数f(x)=cos ωx (ω>0)，将y=f(x)的图象向右平移π3个单位长度后，所得的图象与原图象重合，则ω的最小值等于________.

16.已知方程9x-2•3x+(3k-1)=0有两个实根，则实数k的取值范围为___________.

三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.(本小题满分12分) 为调查某市学生百米运动成绩，从该市学生中按照男女生比例随机抽取50名学生进行百米测试，测试成绩全部都介于13秒到18秒之间，将测试结果按如下方式分成五组，第一组[13,14)，第二组[14,15)，…，第五组[17,18]，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图.

(1)设m，n表示样本中两个学生的百米测试成绩，已知m，n∈[13,14)∪[17,18]，求事件“|m-n|>2”的概率;

(2)根据有关规定，成绩小于16秒为达标.

如果男女生使用相同的达标标准，则男女生达标情况如附表：

性别

是否达标 男 女 合计

达标 a=24 b=______

不达标 c=______ d=12

合计 n=50

根据上表数据，能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“体育达标与性别有关”?若有，你能否提出一个更好的解决方法来?

附：

P(K2≥k) 0.050 0.010 0.001

k 3.841 6.635 10.828

18.(本小题满分12分)已知公差不为0的等差数列{an}的首项a1=2，且1a1，1a2，1a4成等比数列.

(1)求数列{an}的通项公式;

(2)若数列{bn}满足b1+2b2+22b3+…+2n-1bn=an，求数列{nbn}的前n项和Tn..

19.(本小题满分12分)如图，在四棱锥P-ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD=2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD.E和F分别为CD、PC的中点.求证：

(1)PA⊥底面ABCD;

(2)BE∥平面PAD;

(3)平面BEF⊥平面PCD.

20.(本小题满分12分)已知抛物线C的顶点为原点，其焦点F(0，c)(c>0)到直线l：x-y-2=0的距离为322.设P为直线l上的点，过点P作抛物线C的两条切线PA，PB，其中A，B为切点.

(1)求抛物线C的方程;

(2)当点P(x0，y0)为直线l上的定点时，求直线AB的方程;

(3)当点P在直线l上移动时，求|AF|•|BF|的最小值.

21.(本小题满分12分)已知函数f(x)=12x2+ln x.

(1)求函数f(x)在区间[1，e]上的最大值、最小值;

(2)求证：在区间(1，+∞)上，函数f(x)的图象在函数g(x)=23x3的图象的下方.

请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分。做答时请写清题号.

22.(本小题满分10分)(选修4-1几何证明选讲)

如图，已知 切⊙ 于点 ，割线 交⊙ 于 两点，∠ 的平分线和 分别交于点 . 求证：(Ⅰ) ; (Ⅱ)

23. (本小题满分10分)(选修4-4 参数方程与极坐标)

在极坐标系中,过曲线 外的一点 (其中 为锐角)作平行 于 的 直线与曲线分别交于 .

(Ⅰ) 写出曲线 和直线的普通方程(以极点 为原点,极轴为 轴的正半轴建系);

(Ⅱ)若 成等比数列,求 的值.

24. (本小题满分10分)(选修4—5 不等式证明选讲)

已知正实数 、 、 满足条件 ，

(Ⅰ) 求证： ;

(Ⅱ)若 ，求 的最大值.

第Ⅰ卷 (选择题 共60分)

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的序号填入括号内.

C. D.

7.已知向量a=(cos α，-2)，b=(sin α，1)，且a∥b，则tanα-π4等于 (　D　)

A.3 B.13 C.-3 D.-13

8.在平面直角坐标系xOy中，M为不等式组2x-y-2≥0，x+2y-1≥0，3x+y-8≤0所表示的区域上一动点，则直线OM斜率的最小值为 (　C　)

A.2 B.1 C.-13 D.-12

9.设定义在 上的函数y=2sinx的图象分别与y=cosx,y=tanx的图象交于点 ，则 ( D )

A. B. C. D.

10.在 中，角A, B, C的对边分别为a, b, c，若 ，则角B的值为( C )

A. B. C. D.

11.已知 是奇函数，则 ( A )

A. 14 B. 12 C.10 D.-8

12.已知P是双曲线 上一点，F1、F2是左右焦点，△PF1F2的三边长成等差数列，且∠F1PF2=120°，则双曲线 的离心率等于( D )

A B C D

第II卷(非选择题 共90分)

二、 填空题: 本大题共4小题, 每小题5分, 共20分。

13.某公益社团有中学生36 人，大学生24 人，研究生16 人，现用分层抽样的方法从中抽取容量为19 的样本，则抽取的中学生的人数是 .

答案9

14.已知函数 =

答案.5

15.设函数f(x)=cos ωx (ω>0)，将y=f(x)的图象向右平移π3个单位长度后，所得的图象与原图象重合，则ω的最小值等于________

答案.6

16.已知方程9x-2•3x+(3k-1)=0有两个实根，则实数k的取值范围为___________

答案13

三、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

所以P(|m-n|>2)=610=35. 6分

(2)依题意得到相应的2×2列联表如下：

性别

是否达标　　　 男 女 合计

达标 a=24 b=6 30

不达标 c=8 d=12 20

合计 32 18 n=50

K2=50×24×12-6×8232×18×30×20≈8.333.

由于8.333>6.635，故在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“体育达标与性别有关”.

故可以根据男女生性别划分达标的标准.12分

18.(本小题满分12分)已知公差不为0的等差数列{an}的首项a1=2，且1a1，1a2，1a4成等比数列.

(1)求数列{an}的通项公式;

(2)若数列{bn}满足b1+2b2+22b3+…+2n-1bn=an，求数列{nbn}的前n项和Tn.

解　(1)设等差数列{an}的公差为d，

由1a22=1a1•1a4，得(a1+d)2=a1(a1+3d).

因为d≠0，所以d=a1=2，

所以an=2n. 4分

(2)b1+2b2+4b3+…+2n-1bn=an ①

b1+2b2+4b3+…+2n-1bn+2nbn+1=an+1 ②

②-①得：2n•bn+1=2.

∴bn+1=21-n.

当n=1时，b1=a1=2， ∴bn=22-n. 8分

Tn=12-1+220+321+…+n2n-2，

12Tn=120+221+322+…+n2n-1，上两式相减得

12Tn=2+120+121+…+12n-2-n2n-1=2+21-12n-1-n2n-1，

∴Tn=8-n+22n-2. 12分

20.(本小题满分12分)已知抛物线C的顶点为原点，其焦点F(0，c)(c>0)到直线l：x-y-2=0的距离为322.设P为直线l上的点，过点P作抛物线C的两条切线PA，PB，其中A，B为切点.

(1)求抛物线C的方程;

(2)当点P(x0，y0)为直线l上的定点时，求直线AB的方程;

(3)当点P在直线l上移动时，求|AF|•|BF|的最小值.

解:　(1)依题意知|c+2|2=322，c>0，解得c=1.

所以抛物线C的方程为x2=4y. 2分

(2)由y=14x2得y′=12x，

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则切线PA，P B的斜率分别为12x1，12x2，所以切线PA的方程为y-y1=x12(x-x1)，即y=x12x-x212 +y1，即x1x-2y- 2y1=0.

同理可得切线PB的方程为x2x-2y-2y2=0，

又点P(x0，y0)在切线PA和PB上，

所以x1x0-2y0-2y1=0，x2x0-2y0-2y2=0，

所以(x1，y1)，(x2，y2)为方程x0x-2y0-2y=0 的两组解，

所以直线AB的方程为x0x-2y-2y0=0. 6分

(3)由抛物线定义知|AF|=y1+1，|BF|=y2+1，

所以|AF|•|BF|=(y1+1)(y2+1)=y1y2+(y1+y2)+1，

联立方程x0x-2y-2y0=0，x2=4y，

消去x整理得y2+(2y0-x20)y+y20=0，

∴y1+y2=x20-2y0，y1y2=y20，

∴|AF|•|BF|=y1y2+(y1+y2)+1=y20+x20-2y0+1

=y20+(y0+2)2-2y0+1=2y20+2y0+5

=2y0+122+92，

∴当y0=-12时，|AF|•|B F|取得最小值，且最小值为92. 12分

21.(本小题满分12分)已知函数f(x)=12x2+ln x.

(1)求函数f(x)在区间[1，e]上的最大值、最小值;

(2)求证：在区间(1，+∞)上，函数f(x)的图象在函数g(x)=23x3的图象的下方.

解　(1)当x∈[1，e]时，f′(x)=x+1x>0，

所以f(x)在区间[1，e]上为增函数. 2分

所以当x=1时，f(x)取得最小值12;

当x=e时，f(x)取得最大值12e2+1. 5分

(2)证明　设h(x)=g(x)-f(x)=23x3-12x2-ln x，x∈(1，+∞)，

则h′(x)=2x2-x-1x=2x3-x2-1x =

当x∈(1，+∞)时，h′(x)>0，h(x)在区间[1，+∞)上为增函数，所以h(x)> h(1)=16>0.

所以对于x∈(1，+∞) ，g(x)>f(x)成立，即f(x)的图象在g(x)的图象的下方. 12分

请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分。做答时请写清题号。

同理 ∽ ， ------8分

------9分

------10分

23. (本小题满分10分)(选修4-4 参数方程与极坐标)

在极坐标系中,过曲线 外的一点 (其中 为锐角)作平行于 的直线与曲线分别交于 .

(Ⅰ) 写出曲线 和直线的普通方程(以极点为原点,极轴为 轴的正半轴建系);

(Ⅱ)若 成等比数列,求 的值.

24. (本小题满分10分)(选修4—5 不等式证明选讲)

已知正实数 、 、 满足条件 ，

(Ⅰ) 求证： ;

(Ⅱ)若 ，求 的最大值.

证：(Ⅰ)∵

代入已知 a+b+c=3

当且仅当 a=b=c=1，取等 号。————5分

(Ⅱ)由 得 ，若 ，则 ， ，

所以 ， ，当且仅当 a=b= 1时， 有最大值1。————10分

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