2014年兰州一中高考冲刺数学试题1

第Ⅰ卷 (选择题 共60分)

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的序号填入括号内.

1.已知集合 ，则 ( )

A. B. C. D.

2.已知i是虚数单位，则 的值为( )

A. B. C. D. 3+i

3.已知 ， ，则 的值为( )

A. B. C. D.

4.已知命题 ，则 的( )

A.充分不必要条件 B.既不充分也不必要条件

C. 充要条件 D.必要不充分条件

5. 用a，b，c表示三条不同的直线， 表示平面，给出下列命题：

①若 ②若 ;

③若 ; ④若

其中真命题的序号是( )

A. ①③ B. ①④ C. ②③ D. ②④

6.如图所示是用模拟方法估计圆周率π值的程序框图，P表示估计结果，则图中空白框内应填入( 　　)

A.P=N1 000　　 B.P=4N1 000

C.P=M1 000 D.P=4M1 000

7.若实数 x,y满足不等式组

则 的最大值是( )

A.10 B. 11 C.15 D. 14

8.已知六个相同的盒子里各放了一本书，其中三本是语文书，三本是数学书，现在一次打开一个盒子，直到弄清哪三个盒子里放了语文书， 则打开的盒子为4个的概率为

( )

A.0.15 B.0.4 C.0.3 D.0.6

9.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积(单位：cm3)为( )

A. B.

C. D.

10.已知函数f(x)满足f(x+1)=32+f(x) (x∈R)，且f(1)=52，则数列{f(n)} (n∈N*)前20项的和为 (　 　)

A.305 B.315 C.325 D.335

11.已知P是双曲线 上一点，F1、F2是左右焦点，△PF1F2的三边长成等差数列，且∠F1PF2=120°，则双曲线 的离心率等于( )

A . B. C . D .

12.如图，直角梯形ABCD中，AD⊥AB, AB//DC , AB=4,AD=DC=2,设点N是DC边的中点，点 是梯形 内或边界上的一个动点，则 的最大值是( )

A.4 B. 6 C. 8 D.10

第II卷(非选择题 共90分)

二、 填空题: 本大题共4小题, 每小题5分, 共20分.

13. 展开式中 项系数为 .

14.过点M12，1的直线l与圆C：(x-1)2+y2=4交于A、B两点，C为圆心，当∠ACB最小时，直线l的方程为______________.

15.已知函数 有三个不同零点，则实数 的取值范围为___.

16.已知向量 ， 、 满足 ， 所成的角为 ，则当 ， 的取值范围是 .

三、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.(本小题满分12分) 已知函数f(x)=12sin2xsinφ+cos2xcosφ-12sinπ2+φ(0<φ<π)，其图象过点π6，12.

(1)求φ的值;

(2)将函数y=f(x )的图象上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，得到函数y=g(x)的图象，求函数g(x)在0，π4上的最大值和最小值.

18.(本小题满分12分)如图，四棱锥 中， 平面 ， 与底面所成的角为 ，底面 为直角梯形， ，

(1)求证：平面 平面 ;

(2)在线段 上是否存在点 ，使 与平面 所成的角为 ?若存在，确定点 的位 置;若不存在，说明理由.

19.(本小题满分12分)随机变量X的分布列如下表如示，若数列 是以 为首项，以 为公比的等比数列，则称随机变量X服从等比分布，记为Q( , ).现随机变量X～Q( ,2). … n

(1)求n 的值并求随机变量X的数学期望EX;

(2)一个盒子里装有标号为1，2，…，n且质地相同的标签若干张，从中任取1张标签所得的标号为随机变量X.现有放回的从中每次抽取一张，共抽取三次，求恰好2次取得标签的标号不大于3的概率.

20.(本小题满分12分)已知抛物线 ： 和点 ，若抛物线 上存在不同两点 、 满足 .

( 1)求实数 的取值范围;

(2)当 时，抛物线 上是否存在异于 、 的点 ，使得经过 、 、 三点的圆和抛物线 在点 处有相同的切线，若存 在，求出点 的坐标，若不存在，请说明理由.

21.(本小题满分12分)已知函数 ( ).

(1)若 为 的极值点，求实数 的值;

(2)若 在 上不是单调函数，求实数 的取值范围;

(3)当 时，方程 有实根，求实数 的最大值.

请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分。做答时请写清题号.

22.(本小题满分10分)(选修4—1几何证明选讲)

如图，已知 切⊙ 于点 ，割线 交⊙ 于 两点，∠ 的平分线和 分别交于点 .

求证：(Ⅰ) ;

(Ⅱ)

23. (本小题满分10分)(选修4—4 参数方程与极坐标)

在极坐标系中,过曲线

外的一点 (其中 为锐角)作平行于 的直线与曲线分别交于 .

(Ⅰ) 写出曲线 和直线的普通方程(以极点为原点,极轴为 轴的正半轴建系);

(Ⅱ)若 成等比数列,求 的值.

24. (本小题满分10分)(选修4—5 不等式证明选讲)

已知正实数 、 、 满足条件 ，

(Ⅰ) 求证： ;

(Ⅱ)若 ，求 的最大值.

第Ⅰ卷 (选择题 共60分)

5. 用a，b，c表示三条不同的直线， 表示平面，给出下列命题：

①若 ②若 ;

③若 ; ④若

其中真命题的序号是( )

A. ①③ B. ①④ C. ②③ D. ②④

答案 B 解析： ①平行具有传递性，故正确;

②垂直不具有传递性，a与c的方向任意，故错误;

③平行于同一平面的直线位置也任意，故错误;

④垂直与同一平面的两条直线平行，故正确。命题意图：考查学生的空间想象能力及对空间位置的判断能力。

解析　因为f(1)=52，f(2)=32+52，

f(3)=32+32+52，…，f(n)=32+f(n-1)，

所以{f(n)}是以52为首项，32为公差 的等差数列.

所以S20=20×52+2020-12×32=335.

11.已知P是双曲线 上一点，F1、F2是左右焦点，△PF1F2的三边长成等差数列，且∠F1PF2=120°，则双曲线 的离心率等于( )

A B C D

答案D

三、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.(本小题满分12分) 已知函数f(x)=12sin2xsinφ+cos2xcosφ-12sinπ2+φ(0<φ<π)，其图象过点π6，12.

(1)求φ的值;

(2)将函数y=f(x)的图象上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，得到函数y=g(x)的图象，求函数g(x)在0，π4上的最大值和最小值.

解:　(1)f(x)=12sin 2xsin φ+cos 2x+12cos φ-12cos φ

=12(sin 2xsin φ+cos 2xcos φ)

=12cos (2x-φ). 3分

又∵f(x)过点π6，12，∴12=12cosπ3-φ，cos(π3-φ)=1.

由0<φ<π知φ=π3. 5分

设平面 的法向量 ，则

10分

与平面 所成的角为 ， 平面 的法向量 成 。

得 ，即点 的位置为点 12分

19.(本小题满分12分)随机变量X的分布列如下表如示，若数列 是以 为首项，以 为公比的等比数列，则称随机变量X服从等比分布，记为Q( , ).现随机变量X～Q( ,2).

X 1 2 … n

…

(1)求n 的值并求随机变量X的数学期望EX;

(2) 一个盒子里装有标号为1，2，…，n且质地相同的标签若干张，从中任取1张标签所得的标号为随机变量X.现有放回的从中每次抽取一张，共抽取三次，求恰好2次取得标签的标号不大于3的概率.

解：(1)依题意得，数列 是以 为首项，以2为公比的等比数列，

所以 =1 1分

解得n=6。 3分

EX

4分

2EX 5分

两式相减得EX= 6分

X 1 2 3 4 5 6

7分

(2)由(1)知随机变量X的分布列为

所以随机抽取一次取得标签的标号不大于3的概率为

+ + 10分

所以恰好2次取得标签的标号小于3的概率为

= 12分

20.(本小题满分12分)已知抛物线 ： 和点 ，若抛物线 上存在不同两点 、 满足 .

(1)求实数 的取值范围;

(2)当 时，抛物线 上是否存在异于 、 的点 ，使得经过 、 、 三点的圆和抛物线 在点 处有相同的切线，若存 在，求出点 的坐标，若不存在，请说明理由.

解法1：(1)不妨设A ，B ，且 ，

∵ ，∴ .

∴ ， . 2分

∵ ( )，即 ，

∴ ，即 的取值范围为 4分

(2)当 时，由(1)求得 . 的坐标分别为 . .

假设抛物线 上存在点 ( 且 ) 6分

使得经过 . . 三点的圆和抛物线 在点 处有相同的切线.

设经过 . . 三点的圆的方程为 ，

则

整理得 . ① 8分

∵函数 的导数为 ，

∴抛物线 在点 处的切线的斜率为 ，

∴经过 . . 三点的圆 在点 处的切线

斜率为 . ∵ ，∴直线 的斜率存在.

∵圆心 的坐标为 ， ∴ ，

即 . ② 10分

∵ ，由①.②消去 ，得 .

即 .∵ ，∴ .

故满足题设的点 存在，其坐标为 . 12分

∴ 即

解得

∵抛物线 在点 处切线的斜率为 ，

而 ，且该切线与 垂直，∴ .

即 . 10分

将 ， 代入上式，

得 . 即 .∵ 且 ，∴ .

故满足题设的点 存在，其坐标为 . 12分

21.(本小题满分12分)已知函数 ( ).

(1)若 为 的极值点，求实数 的值;

(2)若 在 上不是单调函数，求实数 的取值范围;

(3)当 时，方程 有实根，求实数 的最大值.

解：(1) .

因为 为 的极值点，所以 .

即 ，解得 . 又当 时， ，

从而 的极值点成立. 4分

( 2)由函数 的定义域可知，必须有 对 恒成立，故只能 ，

由于 ，

所以令

则 在区间 上都有解

由 知 >0一定有解，又 对称轴为 <1，

因此只要 即可，

由 可得

∵ ∴综上所述， 的取值范围为. 8分

9分

10分

23. (本小题满分10分)(选修4—4 参数方程与极坐标)

在极坐标系中,过曲线 外的一点 (其中 为锐角)作平行于 的直线与曲线分别交于 .

(Ⅰ) 写出曲线 和直线的普通方程(以极点为原点,极轴为 轴的正半轴建系);

(Ⅱ)若 成等比数列,求 的值.

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