数学理

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

1.复数 ( 为虚数单位)的虚部是(　　)

A. B. C. D.

2.设 的值(　　)

A. B. C. D.

3.下列有关命题的说法正确的是(　　)

A.命题“若 ，则 ”的否命题为：“若 ，则 ”.

B.“ ”是“ ”的必要不充分条件.

C.命题“存在 ，使得 ”的否定是：“对任意 ，均有 ”.

D.命题“若 ，则 ”的逆否命题为真命题.

4.某圆柱被一平面所截得到的几何体如图(1)所示，若该几何体的正视图是等腰直角三角形，俯视图是圆(如右图)，则它的侧视图是(　　)

5.右面是“二分法”求方程 在区间 上的近似解

的流程图.在图中①~④处应填写的内容分别是(　　)

A. ;是;否

B. ;是;否

C. ;是;否

D. ;否;是

6.已知数列 的通项公式是 ，其前 项和是 ，对任意的 且 ，则 的最大值是( )

A. B. C. D.

7.已知双曲线 的离心率 为2，则椭圆 的离心率为(　　)

A. B. C. D.

8.函数 在坐标原点附近的图象可能是(　　)

9.如右 图，给定两个平面向量 和 ，它们的夹角为 ，点 在以 为圆心的圆弧 上，且 (其中 )，则满足 的概率为(　　)

A. B. C. D.

10.已知函数 是定义在实数集R上的奇函数，且当 时， 成立(其中 的导函数)，若 ， ，则 的大小关系是(　　)

A. B. C. D.

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填写在答题卡上

11.若二项式 的展开式中的常数项为 ,则 = 　　 .

12.如果函数 在区间 上有且仅有一条平行于 轴的对称轴，则 的取值范围是　　　　　　.

13.已知实数 满足 ，若不等式 恒成立，则实数 的最大值是________________.

14.已知三棱锥 ， 两两垂直且长度均为6，长为2的线段 的一个端点 在棱 上运动，另一个端点 在 内运动(含边界)，则 的中点 的轨迹与三棱锥的面 围成的几何体的体积为 .

选做题(本大题共两小题，任选一题作答，若两题都做，则按所做的第①题给分，共5分)

15.①(极坐标与参数方程选讲选做题)已知点 ，参数 ，点Q在曲线C： 上，则点 与点 之间距离的最小值为 .

②(不等式选讲选做题)若存在实数 满足 ,则实数 的取值范围是___.

2012年江西省高考压轴卷 数学理答 题卡

一、选择题

题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

答

二、非选择题

11、 12、 13、 14、

15、① ②

三、解答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

16.(12分)已知函数 ，

(1)求函数 的最大值和最小正周期;

(2)设 的内角 的对边分别 且 , ，若 ，求 的值.

17.(12分)目前南昌市正在进行师大地铁站点围挡建设，为缓解北京西路交通压力，计划将该路段实施“交通限行”.在该路段随机抽查了50人，了解公众对“该路段限行”的态度，将调查情况进行整理，制成下表：

(1)完成被调查人员年龄的频率分布直方图;

(2)若从年龄在 的被调查者中各随机选取两人进行追踪调查，记选中的4人中不赞成“交通限行”的人数为 ，求随机变量 的分布列和数学期望.

18.(12分)如图，在边长为4的菱形 中， .点 分别在边 上，点 与点 不重合， .沿 将 翻折到 的位置，使平面 平面 .

(1)求证： 平面 ;

(2)设点 满足 ，试探究：当 取得最小值时，直线 与平面 所成角的大小是否一定大于 ?并说明理由.

19.(12分)设数列 的前 项和为 ，且满足

(1)求数列 的通项 公式;

(2)在数列 的每两项之间都按照如下规则插入一些数后，构成新数列 ，在 两项之间插 入 个数，使这 个数构成等差数列，求 的值;

(3)对于(2)中的数列 ，若 ，并求 (用 表示).

20.(13分)设椭圆 的左、右焦点分别为 ，上顶点为 ，离心率为 ，在 轴负半轴上有一点 ，且

(1)若过 三点的圆恰好与直线 相切，求椭圆C的方程;

(2)在(1)的条件下，过右焦点 作斜率为 的直线 与椭圆C交于 两点，在 轴上是否存在点 ，使得以 为邻边的平行四边形是菱形，如果存在，求出 的取值范围;如果不存在，说明理由.

2012年江西省高考压轴卷

数学理试卷参考答案

1—5 BADDC 6—10 DCABA

11. 12. 13. 14. 15.①4 -1　②

16.解析：(1) …………….3分

则 的最大值为0， 最小正周期是 ……6分

(2) 则

由正弦定理得 ①………………………………9分

由余弦定理得 即 ②

由①②解得 ………………………………………12分

17.解：(1)

(2) 所有可能取值有 0，1，2，3，

，

………………………………………………10分

所以 的分布列是

0 1 2 3

所以 的期值是 ……………………………………12分

18.解：(1)证明：∵　菱形 的对角线互相垂直，∴ ，∴ ，

∵ ，∴ . ∵　平面 ⊥平面 ，平面 平面 ，且 平面 ， ∴　 平面 , ∵ 平面 ，∴　 . ∵ ，∴　 平面 .……………………… ……… 4分

(2)如图，以 为原点，建立空间直角坐标系 .设 因为 ，所以 为等边三角形，故 ， .又设 ，则 ， .所以 ， ， ，故 ，

所以 ，

当 时， .此时 ，……6分

设点 的坐标为 ，由(1)知， ，则 ， ， ， .所以 ， ，∵ ，　∴ ∴ ，∴ . 10分

设平面 的法向量为 ，则 .

∵ ， ，∴

取 ，解得： ， 所以 .……………………………… 8分

设直线 与平面 所成的角 ，

∴

.又∵ ∴ . ∵ ，∴ .

因此直线 与平面 所成的角大于 ，即结论成立.……………………………12分

19.解：(1)当 时，由 .又 与 相减得：

，故数列 是首项为1，公比为2的等比数列，所以 ;…………4分 (2)设 和 两项之间插入 个数后，这 个数构成的等差数列的公差为 ，则

，又 ，故 ……………………………… 8分

(3)依题意，

，考虑到 ，

令 ，则

，

所以 …………………… …… 12分

20.解：(1)由题意 ， 得 ，所以 又

由于 ，所以 为 的中点，所以

所以 的外接圆圆心为 ，半径 …………………3分

又过 三点的圆与直线 相切，所以

解得 ， 所求椭圆方程为 6分

(2)有(1)知 ,设 的方程为：

将直线方程与椭圆方程联立 ,整理得

设交点为 ，因为

则 ……………………………………8分

若存在点 ，使得以 为邻边的平行四边形是菱形，

由于菱形对角 线垂直 ，所以

又

又 的方向向量是 ，故 ，则

，即

由已知条件知 ………………………11分

，故存在满足题意的点 且 的取值范围是 ………………13分

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