高考数学冲刺正解与错解导数与不等式

下面帮助考生就一些重要考点整理出一些易错的问题。

一、函数部分

1.若函数f(x)=在定义域上是奇函数，则k= 。

【错解】因为f(x)是奇函数，则f=0，即f===0，于是k=1。

【评析及正解】这里的问题是没有考虑0是否在定义域上，若0在定义域上，则f=0;

若0不在定义域上，则f没有定义。

本题没有明确0是否在定义域上，因此不能用f=0求k的值。

正确的解法是

因为f(x)是奇函数，则f(-x)=-f(x)，于是有

=-，

k-k-2-x+k2·2x=-k-k2·2-x+2x+k，

k2(2x+2-x)=2x+2-x，

k2=1，k=±1 。

事实上，当k=1时，函数为f(x)=，其定义域是(-，+);

当k=-1时，函数f(x)=。其定义域是(-，0)(0，+)。

2.已知y=loga(2-ax)在[0，1]上是x的减函数，则a的取值范围是

【错解】因为y=loga(2-ax)是由y=logau和u=2-ax复合而成，又a>

0。

所以u=2-ax在[0，1]上是x的减函数，由复合函数关系知y=logau应为增函数，所以a>1。

【评析及正解】解题中虽然考虑了对数函数与一次函数复合关系，却忽视了函数的定义域的限制，单调区间应是定义域的某个子区间，即函数应在[0，1]上有意义。

正确的解法是

因为y=loga(2-ax)是由y=logau和u=2-ax复合而成，又a>

0， 所以u=2-ax在[0，1]上是x的减函数，由复合函数关系知y=logau应为增函数，所以a>1;

又由于x在[0，1]上时y=loga(2-ax)有意义，则u=2-ax>0在[0，1]上恒成立，需要umin=(2-ax)min>0，

又因为u=2-ax是减函数，所以x=1时，u=2-ax取最小值是umin=2-a>

0即a

综上可知所求a的取值范围是1

3.已知函数f(x)=log3x+2，x[，9]，f(x)=[f(x)]2-f(x2)的值域为( )。

A.[2，5] B.[1，5]

C.[1，10] D.[2，10]

【错解】由已知f(x)=log3x+2 x[，9]

设log3x=t则t[-2，2]，

F(x)=g(t)=(t+2)2-2t-2=t2+2t+2，

对F(x)=g(t)=t2+2t+2，

当t=-1时有Fmin(x)=gmin (t)=g(-1)=1

当t=2时有Fmax(x)=gmax(t)=g=10，

因此，F(x)=[f(x)]2-f(x2)的值域为[1，10],而选C。

【评析及正解】解答错在F(x)=[f(x)]2-f(x2)的定义域。

事实上，由f(x)的定义域是x[，9],求F(x)的定义域时，应为

从而t[-1，1]。

所以，当t=1时有Fmax(x)=gmax(t)=g=5

因此，F(x)=[f(x)]2-f(x2)的值域为[1，5],而选B。

二、不等式部分

4.已知a2+b2=1，c2+d2=4，求ac+bd的最大值。

【错解】 ac+bd+==。

所以ac+bd的最大值为。

【评析及正解】若ac+bd的最大值为 ，则必须a=c且b=d同时成立，但这是不可能的。所以不是ac+bd的最大值。

正确的解法是

2(ac+bd)+===4，ac+bd2，当且仅当2a=c=且 2b=d=时，等号成立。

5.解不等式(x+2)2(x+3)(x-2)0。

【错解】因为(x+2)20

所以原不等式可化为(x+3)(x-2)0，

因此原不等式的解集为{x|x-3或x2}

【评析及正解】错因在于忽视了“”的含义，机械地将等式的运算性质套用到不等式运算中。

正确的解法是原不等式可化为：

(x+2)2(x+3)(x-2)=0

或(x+2)2(x+3)(x-2)>0

解得：x=-3或x=-2 或x=2;

解得：x2。

所以原不等式的解集为{x|x-3或x2或x=-2}。

6.已知关于x的不等式

【错解】由3M且5M，得

解得1a

因此实数a的取值范围是[1，)(9，25)。

【评析及正解】如何理解5M，5M是指5不满足不等式

正确的解法是 因为5M，

则5不满足不等式

若5M，则25，因此1a25时，5M。

又3M，则9。

于是实数a的取值范围满足a9且1a25，即[1，)(9，25]。

三、导数部分

7.已知函数f(x)=x3+ax2+bx+a2,在x=1时有极值10,求a，b的值。

【错解】f