也许同学们正迷茫于该怎样复习，精品学习网小编为大家整理分享了数学等差数列知识点，希望同学们认真阅读复习!

定义式

通项公式

等差数列通项公式通过定义式叠加而来

如果一个等差数列的首项为a1，公差为d，那么该等差数列第n项的表达式为：

即

补充：

新:等差数列遵守

的形式,

可规定b为数列的0项,记为a0,k为数列的公差,记为d,y为通项公式,记为an

则

对应的求和数列

其中

正整数

求和公式

若一个等差数列的首项为a1，末项为an那么该等差数列和表达式为：

S=(a1+an)n÷2

即(首项+末项)×项数÷2

前n项和公式

注意：n是正整数(相当于n个等差中项之和)

等差数列前N项求和，实际就是梯形公式的妙用：

上底为：a1首项，下底为a1+(n-1)d，高为n。

即[a1+a1+(n-1)d]* n/2={a1 n+ n (n-1)d} /2。

推论

一。从通项公式可以看出，a(n)是n的一次函数(d≠0)或常数函数(d=0)，(n，an)排在一条直线上，由前n项和公式知，S(n)是n的二次函数(d≠0)或一次函数(d=0，a1≠0)，且常数项为0。

二。 从等差数列的定义、通项公式，前n项和公式还可推出：a(1)+a(n)=a(2)+a(n-1)=a(3)+a(n-2)=…

=a(k)+a(n-k+1)，(类似：p(1)+p(n)=p(2)+p(n-1)=p(3)+p(n-2)=。。。=p(k)+p(n-k+1))，k∈{1,2,…,n}

三。若m，n，p，q∈N*，且m+n=p+q，则有a(m)+a(n)=a(p)+a(q)，S(2n-1)=(2n-1)*a(n)，S(2n+1)=

(2n+1)*a(n+1)，S(k)，S(2k)-S(k)，S(3k)-S(2k)，…，S(n)*k-S(n-1)*k…成等差数列，等等。

若m+n=2p,则a(m)+a(n)=2*a(p)

(对3的证明：p(m)+p(n)=b(0)+b(1)*m+b(0)+b(1)*n=2*b(0)+b(1)*(m+n)

p(p)+p(q)=b(0)+b(1)*p+b(0)+b(1)*q=2*b(0)+b(1)*(p+q);因为m+n=p+q，所以p(m)+p(n)=p(p)+p

(q))

其他推论

① 和=(首项+末项)×项数÷2

(证明：s(n)=[n,n^2]*[1,1/2;0,1/2]*[b(0);b(1)]=n*b0+1/2*b1*n+1/2*b1*n^2

(p(1)+p(n))*n/2=(b(0)+b(1)+b(0)+b(1)*n)*n/2=n*b0+1/2*b1*n+1/2*b1*n^2=s(n))

证明原理见高斯算法

项数=(末项-首项)÷公差+1

(证明：(p(n)-p(1))/b(1)+1=(b(0)+b(1)*n-(b(0)+b(1)))/b(1)+1=(b(1)*(n-1))/b(1)+1=n-1+1=n)

② 首项=2x和÷项数-末项或末项-公差×(项数-1)

③ 末项=2x和÷项数-首项

(以上2项为第一个推论的转换)

④ 末项=首项+(项数-1)×公差

(上一项为第二个推论的转换)

推论3证明

若m，n，p，q∈N*，且m+n=p+q，则有a(m)+a(n)=a(p)

+a(q)

如a(m)+a(n)=a(1)+(m-1)*d+a(1)+(n-1)*d

=2*a(1)+(m+n-2)*d

同理得，

a(p)+a(q)=2*a(1)+(p+q-2)*d

又因为

m+n=p+q ;

a(1),d均为常数

所以

若m，n，p，q∈N*，且m+n=p+q，则有a(m)+a(n)=a(p)+a(q)

若m，n，p∈N*，且m+n=2p，则有a(m)+a(n)=2a(p)

注：1。常数列不一定成立

2。m,p,q,n属于自然数

⑤2(前2n项和-前n项和)=前n项和+前3n项和-前2n项和

等差中项

等差中项即等差数列头尾两项的和的一半。但求等差中项不一定要知道头尾两项。

等差数列中，等差中项一般设为A(r)。当A(m),A(r),A(n)成等差数列时。

A(m)+A(n)=2×A(r),所以A(r)为A(m)，A(n)的等差中项，且

为数列的平均数。并且可以推知n+m=2×r。

且任意两项a(m)，a(n)的关系为：a(n)=a(m)+(n-m)*d，(类似p(n)=p(m)+(n-m)*b(1)，相当容易证明

它可以看作等差数列广义的通项公式。

等差数列的应用日常生活中，人们常常用到等差数列如：在给各种产品的尺寸划分级别

时，当其中的最大尺寸与最小尺寸相差不大时，常按等差数列进行分级。

若为等差数列，且有a(n)=m,a(m)=n。则a(m+n)=0。

其实，中国古代南北朝的张丘建早已在《张丘建算经》提到等差数列了：

今有女子不善织布，逐日所织的布以同数递减，初日织五尺，末一日织一尺，计织三十日，问共织几何?

书中的解法是：并初、末日织布数，半之，余以乘织讫日数，即得。

这相当于给出了S(n)=(a(1)+a(n))/2*n的求和公式。

基本性质

⑴数列为等差数列的重要条件是：数列的前n项和S 可以写成S =

+

的形式(其中a、b为常数).

⑵在等差数列中，当项数为2n (n∈ N+)时，S偶-S奇 = nd，S奇÷S偶=

;当项数为(2n-1)(n∈ N+)时，S奇—S偶=a(中)，S奇-S偶=

(中) ，S奇÷S偶 =n÷(n-1).

⑶若数列为等差数列，则

，

，

，…仍然成等差数列，公差为

.

(4)若数列{an}与{bn}均为等差数列，且前n项和分别是Sn和Tn，则

=

。

⑸在等差数列中，S = a，S = b (n>m)，则S = (a-b).

⑹等差数列中， 是n的一次函数，且点(n， )均在直线y = x + (a - )上.

⑺记等差数列的前n项和为S .①若a >0，公差d<0，则当a ≥0且an+1≤0时，S 最大;②若a <0 ，公差d>0，则当a ≤0且an+1≥0时，S 最小.

[8)若等差数列S(p)=q,S(q)=p,则S(p+q)=-(p+q)

r次等差数列

为什么等差数列的学习中，对公差和首项特别的关注，因为公差和首项可以作为等差数列一切变化的切入点。当我们有更好的切入点后，我们可以毫不犹豫的抛弃公差和首项。

假设一个基En(x)=

，转换矩阵A为k+1阶方阵，b=[b0,b1,b2,。。。,bk]。b同En的长度一样(k+1)。b'表示b的转置。当k=1时，我们可以称为一次数列。k=r时，我们可以称为r次数列。(x,k只能取自然数)

p(x)=En(x)*b'

s(x)=x*En(x)*A*b'

m+n=p+q(m、n、p、q∈N*)则am+an=ap+aq

一次数列的性质

1.p1(x),p2(x)均为一次数列，则p1(x)±p2(x)与c*p1(x)±p2(x)(c为非零常数)也是一次数列。p(x)是一次函数，(n,p(x))构成直线。

2.p(m)-p(n)=En(m)*b'-En(n)*b'=(En(m)-En(n))*b'=[0,m-n]*b'

3.m+n=p+q -> p(p)+p(q)=p(m)+p(n)

(证明:m+n=p+q -> En(m)+En(n)=En(p)+En(q)

p(m)+p(n)=En(m)*b'+En(n)*b'=(En(m)+En(n))*b'

p(p)+p(q)=(En(p)+En(q))*b'=(En(m)+En(n))*b'=p(m)+p(n)

4.从p(x)=En(x)*b'中取出等距离的项，构成一个新数列，此数列仍是一次数列，其一次项系数为k*b(1)( k为取出项数之差)，常项系数未知。

5.在一次数列中，从第二项起，每一项(有穷数列末项除外)都是它前后两项的平均数.

6.

当一次项系数b(1)>0时，数列中的数随项数的增大而增大;当b(1)<0时，数列中的数随项数的减少而减小;b(1)=0时，数列中的数等于一个常数。

等差数列的判定

1、a(n+1)--a(n)=d (d为常数、n ∈N*)[或a(n)--a(n-1)=d，n ∈N*，n ≥2,d是常数]等价于{a(n)}成等差数列。

2、2a(n+1)=a(n)+a(n+2) [n∈N*] 等价于{a(n)}成等差数列。

3、a(n)=kn+b [k、b为常数,n∈N*] 等价于{a(n)}成等差数列。

4、S(n)=A(n)^2 +B(n) [A、B为常数，A不为0，n ∈N* ]等价于{a(n)}为等差数列。

等差数列前n项和公式S 的基本性质

⑴数列为等差数列的重要条件是：数列的前n项和S 可以写成S = an^2 + bn的形式(其中a、b为常数).

⑵在等差数列中，当项数为2n (n∈ N+)时，S偶-S奇 = nd， S奇÷S偶=an÷a(n+1) ;当项数为(2n-1)(n∈ N+)时，S奇—S偶=a中 ，S奇÷S偶 =n÷(n-1) .

⑶若数列为等差数列，则S n，S2n -Sn ，S3n -S 2n，…仍然成等差数列，公差为k^2d .

⑷若两个等差数列的前n项和分别是S 、T (n为奇数)，则 = .

⑸在等差数列中，S = a，S = b (n>m)，则S = (a-b).

⑹等差数列中， 是n的一次函数，且点(n， )均在直线y = x + (a - )上.

(7)记等差数列{an}的前n项和为Sn：①若a1>0，公差d<0，则当an≥0且an+1≤0时，S最大;②若a1<0，公差d>0，则当an≤0且an+1≥0时，S最小。

(8)若等差数列S(p)=q,S(q)=p,则S(p+q)=-(p+q)

特殊性质

在有穷等差数列中，与首末两项距离相等的两项和相等。并且等于首末两项之和;特别的，若项数为奇数，还等于中间项的2倍,

即，a(1)+a(n)=a(2)+a(n-1)=a(3)+a(n-2)=···=2*a中

例：

数列：1，3，5，7，9，11中

a(1)+a(6)=12 ; a(2)+a(5)=12 ; a(3)+a(4)=12 ; 即，在有穷等差数列中，与首末两项距离相等的两项和相等。并且等于首末两项之和。

数列：1，3，5，7，9中

a(1)+a(5)=10 ; a(2)+a(4)=10 ; a(3)=5=[a(1)+a(5)]/2=[a(2)+a(4)]/2=10/2=5 ; 即，若项数为奇数，和等于中间项的2倍,另见，等差中项。

精品小编为大家提供的名师指导高考复习数学等差数列知识点大家仔细阅读了吗?最后祝大家可以考上理想的大学。

相关链接

高考数学一轮复习不等式知识点总结

2016—2017届高考数学每轮复习重点攻略