2014年吉林高考数学二轮专题训练

选修4-1 几何证明选讲

A组(供高考题型为选择、填空题的省份使用)

1.2014年吉林高考数学二轮专题训练：如图，∠B=∠D，AE⊥BC，∠ACD=90°，且AB=6，AC=4，AD=12，则BE=________.

解析　∵AC=4，AD=12，∠ACD=90°，

∴CD2=AD2-AC2=128，∴CD=8.

又∵AE⊥BC，∠B=∠D，∴△ABE∽△ADC，

∴=，∴BE===4.

答案　4

2.如图，A，E是半圆周上的两个三等分点，直径BC=4，AD⊥BC，垂足为D，BE与AD相交于点F，则AF的长为________.

解析　如图，连接CE，AO，AB.根据A，E是半圆周上的两个三等分点，BC为直径，可得∠CEB=90°，∠CBE=30°，∠AOB=60°，故△AOB为等边三角形，AD=，OD=BD=1，∴DF=，

∴AF=AD-DF=.

答案

3.如图，在直角梯形ABCD中，DC∥AB，CB⊥AB，AB=AD=a，CD=，点E，F分别为线段AB，AD的中点，则EF=________.

解析　连接DE，由于E是AB的中点，故BE=.

又CD=，AB∥DC，CB⊥AB，

∴四边形EBCD是矩形.

在Rt△ADE中，AD=a，F是AD的中点，故EF=.

答案

4.如图，已知PA，PB是圆O的切线，A，B分别为切点，C为圆O上不与A，B重合的另一点，若∠ACB=120°，则∠APB=________.

解析　如图，连接OA，OB，∠PAO=∠PBO=90°，∵∠ACB=120°，

∴∠AOB=120°.又P，A，O，B四点共圆，故∠APB=60°.

答案　60°

5.如图，点P在圆O直径AB的延长线上，且PB=OB=2，PC切圆O于C点，CD⊥AB于D点，则CD=________.

解析　由切割线定理知，PC2=PA·PB，解得PC=2.连接OC，又OC⊥PC，故CD===.

答案

6.如图，点A、B、C都在⊙O上，过点C的切线交AB的延长线于点D，若AB=5，BC=3，CD=6，则线段AC的长为________.

解析　由切割线定理，得CD2=BD·AD.

因为CD=6，AB=5，则36=BD(BD+5)，

即BD2+5BD-36=0，

即(BD+9)(BD-4)=0，所以BD=4.

因为∠A=∠BCD，所以△ADC∽△CDB，于是=.

所以AC=·BC=×3=.

答案

7.(2013·重庆卷)如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，AB=20，过C作△ABC的外接圆的切线CD，BD⊥CD，BD与外接圆交于点E，则DE的长为______.

解析　由题意，得弦切角∠BCD=∠A=60°，∠ACB=∠D=90°，∴△ABC∽△CBD.

∴=，CD===5.

又∵CD与圆相切，∴CD2=DE·DB，则DE====5.

答案　5

8.如图，⊙O的割线PBA过圆心O，弦CD交PA于点F，且△COF∽△PDF，若PB=OA=2，则PF=________.

解析　由相交弦定理可得BF·AF=DF·CF，

由△COF∽△PDF可得=，

即得DF·CF=PF·OF.∴BF·AF=PF·OF，

即(PF-2)·(6-PF)=PF·(4-PF)，解得PF=3.

答案　3

9.如图，四边形ABCD是圆O的内接四边形，延长AB和DC相交于点P.若=，=，则的值为________.

解析　∵∠P=∠P，∠PCB=∠PAD，

∴△PCB∽△PAD.∴==.

∵=，=，∴=.

答案

10.(2013·广东卷)如图，AB是圆O的直径，点C在圆O上，延长BC到D使BC=CD，过C作圆O的切线交AD于E.若AB=6，ED=2，则BC=________.

解析　C为BD中点，且AC⊥BC，故△ABD为等腰三角形.AB=AD=6，∴AE=4，DE=2，又=⇒AC2=AE·AD=4×6=24，AC=2，在△ABC中，BC===2.

答案　2

11.如图，已知Rt△ABC的两条直角边AC，BC的长分别为3 cm，4 cm，以AC为直径的圆与AB交于点D，则BD=________cm.

解析　如图，连接DC，则CD⊥AB，

Rt△ADC∽Rt△ACB.

故=，即=，

AD=(cm)，BD=5-=(cm).

答案

12.如图所示，直线PB与圆O相切于点B，D是弦AC上的点，∠PBA=∠DBA.若AD=m，AC=n，则AB=________.

解析　∵直线PB与圆相切于点B，且∠PBA=∠DBA，

∴∠ACB=∠ABP=∠DBA，由此可得直线AB是△BCD外接圆的切线且B是切点，则由切割线定理得AB2=AD·AC=mn，即得AB=.

答案

13.如图，已知AB和AC是圆的两条弦，过点B作圆的切线与AC的延长线相交于点D.过点C作BD的平行线与圆相交于点E，与AB相交于点F，AF=3，FB=1，EF=，则线段CD的长为________.

解析　由相交弦定理得AF·FB=EF·FC，

∴FC==2.由△AFC∽△ABD，

可知=，∴BD==.

由切割线定理得DB2=DC·DA，又DA=4CD，

∴4DC2=DB2=，∴DC=.

答案

14.如图所示，已知圆中两条弦AB与CD相交于点F，E是AB延长线上一点，且DF=CF=，AF∶FB∶BE=4∶2∶1.若CE与圆相切，则线段CE的长为________.

解析　设AF=4k，BF=2k，BE=k，由DF·FC=AF·BF，得2=8k2，即k=.所以AF=2，BF=1，BE=，

AE=.由切割线定理，得CE2=BE·EA=×=，所以CE=.

答案

15.如图，点D在⊙O的弦AB上移动，AB=4，连接OD，过点D作OD的垂线交⊙O于点C，则CD的最大值为________.

解析　当OD的值最小时，DC最大，易知D为AB的中点时，DB=DC=2最大.

答案　2

B组(供高考题型为解答题的省份使用)

1.如图，△ABC的角平分线AD的延长线交它的外接圆于点E.

(1)证明：△ABE∽△ADC;

(2)若△ABC的面积S=AD·AE，求∠BAC的大小.

(1)证明　由已知条件，可得∠BAE=∠CAD.因为∠AEB与∠ACB是同弧上的圆周角，所以∠AEB=∠ACD.故△ABE∽△ADC.

(2)解　因为△ABE∽△ADC，所以=，

即AB·AC=AD·AE.

又S=AB·ACsin∠BAC，且S=AD·AE，

故AB·AC·sin∠BAC=AD·AE.

则sin∠BAC=1，又∠BAC为三角形内角，所以∠BAC=90°.

2.(2013·辽宁卷)如图，AB为⊙O的直径，直线CD与⊙O相切于E，AD垂直CD于D，BC垂直CD于C，EF垂直AB于F，连接AE，BE.证明：

(1)∠FEB=∠CEB;

(2)EF2=AD·BC.

证明　(1)由直线CD与⊙O相切，得∠CEB=∠EAB.

由AB为⊙O的直径，得AE⊥EB，

从而∠EAB+∠EBF=;

又EF⊥AB，得∠FEB+∠EBF=，

从而∠FEB=∠EAB.

故∠FEB=∠CEB.

(2)由BC⊥CE，EF⊥AB，

∠FEB=∠CEB，BE是公共边，

得Rt△BCE≌Rt△BFE，所以BC=BF.

同理可证，得AD=AF.

又在Rt△AEB中，EF⊥AB，

故EF2=AF·BF，所以EF2=AD·BC.

3.如图，过圆O外一点M作它的一条切线，切点为A，过A点作直线AP垂直直线OM，垂足为P.

(1)证明：OM·OP=OA2;

(2)N为线段AP上一点，直线NB垂直直线ON，且交圆O于B点.过B点的切线交直线ON于K.证明：∠OKM=90°.

证明　(1)因为MA是圆O的切线，所以OA⊥AM.又因为AP⊥OM，在Rt△OAM中，由射影定理知，OA2=OM·OP.

(2)因为BK是圆O的切线，BN⊥OK，同(1)，有OB2=ON·OK，又OB=OA，所以OP·OM=ON·OK，

即=.又∠NOP=∠MOK，

所以△ONP∽△OMK，故∠OKM=∠OPN=90°.

4.如图，已知在△ABC中，AB=AC，D是△ABC外接圆劣弧上的点(不与点A，C重合)，延长BD至E.

(1)求证：AD的延长线平分∠CDE;

(2)若∠BAC=30°，△ABC中BC边上的高为2+，求△ABC外接圆的面积.

(1)证明　如图，设F为AD延长线上一点.

∵A、B、C、D四点共圆，

∴∠CDF=∠ABC.

又AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，

且∠ADB=∠ACB，

∴∠ADB=∠CDF.

又∠EDF=∠ADB，

故∠EDF=∠CDF，

即AD的延长线平分∠CDE.

(2)解　设O为外接圆圆心，连接AO交BC于H，

则AH⊥BC.

连接OC，由题意∠OAC=∠OCA=15°，∠ACB=75°，

∴∠OCH=60°.

设圆半径为r，则r+r=2+，

得r=2，外接圆面积为4π.

5.如图，梯形ABCD内接于⊙O，AD∥BC，过点C作⊙O的切线，交BD的延长线于点P，交AD的延长线于点E.

(1)求证：AB2=DE·BC;

(2)若BD=9，AB=6，BC=9，求切线PC的长.

(1)证明　∵AD∥BC，∴=.

∴AB=CD，∠EDC=∠BCD.

又PC与⊙O相切，∴∠ECD=∠DBC.

∴△CDE∽△BCD.∴=.

∴CD2=DE·BC，即AB2=DE·BC.

(2)解　由(1)知，DE===4，

∵AD∥BC，∴△PDE∽△PBC，

∴==.

又∵PB-PD=9，

∴PD=，PB=.

∴PC2=PD·PB=·=.∴PC=.

6.(2013·新课标全国Ⅰ)如图，直线AB为圆O的切线，切点为B，点C在圆上，∠ABC的角平分线BE交圆于点E，DB垂直BE交圆于点D.

(1)证明：DB=DC;

(2)设圆的半径为1，BC=，延长CE交AB于点F，求△BCF外接圆的半径.

(1)证明　连接DE，则∠DCB=∠DEB，

∵DB⊥BE，

∴∠DBC+∠CBE=90°，∠DEB+∠EDB=90°，

∴∠DBC+∠CBE=∠DEB+∠EDB，

又∠CBE=∠EBF=∠EDB，

∴∠DBC=∠DEB=∠DCB，

∴DB=DC.

(2)解　由(1)知：∠CBE=∠EBF=∠BCE，

∴=，

∴∠BDE=∠CDE，

∴DE是BC的垂直平分线，

设交点为H，则BH=，

∴OH==，

∴DH=，

∴tan∠BDE==，

∴∠BDE=30°，

∴∠FBE=∠BDE=30°，

∴∠CBF+∠BCF=90°，

∴∠BFC=90°，

∴BC是△BCF的外接圆直径.

∴△BCF的外接圆半径为.

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