方程是指含有未知数的等式，以下是2015-2016内蒙古高考数学冲刺预测题，请考生认真练习。

一、填空题

1.(2014·苏州模拟)如图8­8­5，已知F1、F2分别是椭圆C：+=1(a>b>0)的左、右焦点，点P在椭圆C上，线段PF2与圆x2+y2=b2相切于点Q，且点Q为线段PF2的中点，则椭圆C的离心率为________.

[解析]　由题意得OQ=b=PF1，则PF2=2a-PF1=2a-2b，QF2=a-b，所以(a-b)2+b2=c2，解得2a=3b，则4a2=9b2=9a2-9c2，得e=.

[答案]

2.(2014·南师附中调研)已知抛物线y2=4x，点A(5,0).点O为坐标原点，倾斜角为的直线l与线段OA相交但不过O，A两点，且交抛物线于M，N两点，则AMN的面积的最大值为________.

[解析]　设直线l的方程为y=x+b(-5c，直线PR的方程为(y0-b)x-x0y+x0b=0.

圆(x-1)2+y2=1内切于PRN，则圆心(1,0)到直线PR的距离为1.

=1，注意到x0>2，上式化简得(x0-2)b2+2y0b-x0=0，

同理可得(x0-2)c2+2y0c-x0=0.b，c为方程(x0-2)x2+2y0x-x0=0的两根.

b+c=，bc=，(b-c)2=.

又y=2x0，b-c=，S△PRN=(b-c)x0==(x0-2)++4≥8，

当且仅当x0=4时取等号，PRN面积的最小值为8.

专题突破五　高考解析几何问题的求解策略

(见学生用书第187页)

类型1　曲线方程与性质

直线方程、圆方程、圆锥曲线的标准方程在课标高考中占有十分重要的地位，由已知条件求曲线方程或已知曲线方程研究曲线性质是高考命题的重点和热点，求曲线方程最常用的方法是定义法与待定系数法，椭圆与双曲线的离心率是高考对圆锥曲线考查的又一重点，涉及a，b，c三者之间的关系，另外抛物线的准线，双曲线的渐近线，圆的切线也是命题的热点.

【典例1】　(2014·南京质检)已知椭圆中心在坐标原点，焦点在x轴上，离心率为，它的一个顶点为抛物线x2=4y的焦点.

(1)求椭圆方程;

(2)若直线y=x-1与抛物线相切于点A，求以A为圆心且与抛物线的准线相切的圆的方程.

[思路点拨]　(1)由椭圆与抛物线的性质，求椭圆方程中待定参数a，b，从而确定椭圆的标准方程.(2)联立方程求出圆心和半径.

[规范解答]　(1)椭圆中心在原点，焦点在x轴上.

设椭圆的方程为+=1(a>b>0) ，

因为抛物线x2=4y的焦点为(0,1)，

所以b=1.

由离心率e==，a2=b2+c2=1+c2，

从而得a=，椭圆的标准方程为+y2=1.

(2)由解得所以点A(2,1).

因为抛物线的准线方程为y=-1，

所以圆的半径r=1-(-1)=2，

所以圆的方程为(x-2)2+(y-1)2=4.

【反思启迪】　1.待定系数法求曲线方程，关键是方程的联立求解，结合条件，求待定参数，体现了方程思想的应用.

2.直线与圆相切，可转化为圆心到直线的距离等于半径，体现了转化的思想.

【变式训练1】　(2013·重庆高考)如图5­1，椭圆的中心为原点O，长轴在x轴上，离心率e=，过左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于A，A′两点，|AA′|=4.

图5­1

(1)求该椭圆的标准方程;

(2)取平行于y轴的直线与椭圆相交于不同的两点P，P′，过P，P′作圆心为Q的圆，使椭圆上的其余点均在圆Q外.求PP′Q的面积S的最大值，并写出对应的圆Q的标准方程.

[解]　(1)由题意知点A(-c,2)在椭圆上，则+=1，从而e2+=1.

由e=，得b2==8，从而a2==16.

故该椭圆的标准方程为+=1.

(2)由椭圆的对称性，可设Q(x0,0).

又设M(x，y)是椭圆上任意一点，则

|QM|2=(x-x0)2+y2=x2-2x0x+x+8

=(x-2x0)2-x+8(x[-4,4]).

设P(x1，y1)，由题意知，点P是椭圆上到点Q的距离最小的点，因此，上式中当x=x1时取最小值.又因为x1(-4,4)，所以上式当x=2x0时取最小值，从而x1=2x0，且|QP|2=8-x.

由对称性知P′(x1，-y1)，故|PP′|=|2y1|，所以

S=|2y1||x1-x0|=×2|x0|

=·=·.

当x0=±时，PP′Q的面积S取到最大值2.

此时对应的圆Q的圆心坐标为Q(±，0)，半径|QP|==，因此，这样的圆有两个，其标准方程分别为(x+)2+y2=6，(x-)2+y2=6.

类型2　解析几何中的存在性探究问题

近年高考命题经常设计探究是否存在性的问题，考查学生的发散思维和创新能力，求解这类问题要重视数形的转化，善于从特殊发现规律，并能正确推理与计算.

【典例2】　已知椭圆C1：+=1(a>b>0)的离心率为e，且b，e，为等比数列，曲线y=8-x2恰好过椭圆的焦点.

(1)求椭圆C1的方程;

(2)设双曲线C2：-=1的顶点和焦点分别是椭圆C1的焦点和顶点，设O为坐标原点，点A，B分别是C1和C2上的点，问是否存在A，B满足=.请说明理由.若存在，请求出直线AB的方程.

[思路点拨]　(1)转化已知，构建方程，求出a，b，c即可求出方程.(2)先求出C2的方程，假设结论成立，可得O，A，B三点共线，得直线AB的方程为y=kx，与C1，C2的方程联立求出交点的横坐标.利用共线得到k的方程，看能否求出k的值，即可判断假设是否成立.

[规范解答]　(1)由y=8-x2=0，得x=±2，

所以椭圆的焦点坐标为(±2，0)即c=2.

又b，e，为等比数列，所以2=b.

又a2=b2+c2，解得a=2，b=2，

故椭圆C1的方程为+=1.

(2)假设存在A，B满足=，则可知O，A，B三点共线且A，B必不在y轴上.设A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，直线AB的方程为y=kx.

由(1)可知C2的方程为-=1.

由得(1+3k2)x2=12，即x=，

由得(1-2k2)x2=8，即x=，

由=，得x=x，

即=·，

解得k2=，即k=±.

所以存在A，B满足=，此时直线AB的方程为y=±x.

【反思启迪】　1.探索性问题通常采用“肯定顺推法”，将不确定性问题明朗化.其步骤为假设满足条件的元素(点、直线、曲线或参数)存在，用待定系数法设出，列出关于待定系数的方程组，若方程组有实数解，且满足题意，则元素(点、直线、曲线或参数)存在;否则，元素(点、直线、曲线或参数)不存在.

2.反证法与验证法也是求解探索性问题常用的方法.

【变式训练2】　(2014·镇江模拟)如图5­2，已知椭圆E：+=1(a>b>0)的离心率为，过左焦点F(-，0)且斜率为k的直线交椭圆E于A，B两点，线段AB的中点为M，直线l：x+4ky=0交椭圆E于C，D两点.

图5­2

(1)求椭圆E的方程;

(2)求证：点M在直线l上;

(3)是否存在实数k，使得BDM的面积是ACM面积的3倍?若存在，求出k的值;若不存在，说明理由.

[解]　(1)由题意可知e==，c=，

于是a=2，b=1.

所以椭圆E的标准方程为+y2=1.

(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)，联立直线AB的方程与椭圆方程，得

即(4k2+1)x2+8k2x+12k2-4=0，

所以x1+x2=，x0==，y0=k(x0+)=，

于是M.

因为+4k·=0，所以M在直线l上.

(3)当k=±时，满足条件.由(2)知点A到直线CD的距离与点B到直线CD的距离相等，

若BDM的面积是ACM面积的3倍，

则|DM|=3|CM|，因为|OD|=|OC|，于是M为OC的中点.

设点C的坐标为(x3，y3)，则y0=.由解得y3=±，

于是=，解得k2=(舍负)，所以k=±.类型3　解析几何中的定点、定值问题

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