3.观察下列各式：55=3 12556=15 625，57=78 125，58=390 625，59=1 953 125，…，则52 014的末四位数字为________.

答案：5625

解析：由观察易知55的末四位数字为3125，56的末四位数字为5625，57的末四位数字为8125，58的末四位数字为0625，59的末四位数字为3125，故周期T=4。又由于2 014=503×4+2，因此52 014的末四位数字是5625。

4.观察下列各式：a+b=1，a2+b2=3，a3+b3=4，a4+b4=7，a5+b5=11，…，则a10+b10=________。

答案：123

解析：记an+bn=f(n)，则f(3)=f(1)+f(2)=1+3=4;

f(4)=f(2)+f(3)=3+4=7;f(5)=f(3)+f(4)=11;

f(6)=f(4)+f(5)=18;f(7)=f(5)+f(6)=29;

f(8)=f(6)+f(7)=47;f(9)=f(7)+f(8)=76;

f(10)=f(8)+f(9)=123，即a10+b10=123。

5.已知正三角形内切圆的半径是其高的，把这个结论推广到空间正四面体，类似的结论是________。

答案：正四面体的内切球的半径是其高的

解析：设正四面体的每个面的面积是S，高是h，内切球半径为R，

由体积分割可得：SR×4=Sh，

所以R=h。

6.观察下列等式：

(1+1)=2×1

(2+1)(2+2)=22×1×3

(3+1)(3+2)(3+3)=23×1×3×5

…

照此规律，第n个等式可为______________。

答案：(n+1)(n+2)…(n+n)=2n×1×3×…×(2n-1)

解析：由已知的三个等式左边的变化规律，得第n个等式左边为(n+1)(n+2)…(n+n)，由已知的三个等式右边的变化规律，得第n个等式右边为2n与n个奇数之积，即2n×1×3×…×(2n-1)。

7.(2013·湖北)古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数，如三角形数1，3，6，10，…，第n个三角形数为=n2+n，记第n个k边形数为N(n，k)(k≥3)，以下列出了部分k边形数中第n个数的表达式：

三角形数N(n，3)=n2+n，

正方形数N(n，4)=n2，

五边形数N(n，5)=n2-n，

六边形数N(n，6)=2n2-n

……

可以推测N(n，k)的表达式，由此计算N(10，24)=____________________________________.

答案：1 000

解析：由N(n，4)=n2，N(n，6)=2n2-n，可以推测：当k为偶数时，N(n，k)=n2+n，

∴N(10，24)=×100+×10=1 100-100=1 000。