抽象函数是指没有给出具体的函数解析式或图像，但给出了函数满足的一部分性质或运算法则，下面通过例题来探讨数学抽象函数解题技巧。

例：设y=蕊(x)是定义在区间[-1，1]上的函数，且满足条件：

(i)f(-1)=f(1)=0;

(ii)对任意的u,v∈[-1，1]，都有—f(u)-f(v)—≤—u-v—。

(Ⅰ)证明：对任意的x∈[-1，1]，都有x-1≤f(x)≤1-x;

(Ⅱ)证明：对任意的u,v∈[-1，1]，都有—f(u)-f(v)—≤1。

解题：

(Ⅰ)证明：由题设条件可知，当x∈[-1，1]时，有f(x)=f(x)-f(1)≤—x-1—=1-x,即x-1≤f(x)≤1-x.

(Ⅱ)证明：对任意的u,v∈[-1，1]，当—u-v—≤1时，有—f(u)-f(v)—≤1

当—u-v—>1，u·v<0,不妨设u<0，则v>0且v-u>1,其中v∈(0，1]，u∈[-1，0)

要想使已知条件起到作用，须在[-1，0)上取一点，使之与u配合以利用已知条件，结合f(-1)=f(1)=0知，这个点可选-1。同理，须在(0，1]上取点1，使

之与v配合以利用已知条件。所以，—f(u)-f(v)—≤—f(u)-f(-1)—+—f(v)-f(1)—≤—u+1—+—v-1—=1+u+1-v=2-(v-u)<1

综上可知，对任意的u,v∈[-1，1]都有—f(u)-f(v)—≤1.

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