要掌握好导数的几何意义、导数的运算、导数和函数的单调性与极值的关系，由于函数的极值和最值的解决是以函数的单调性为前提的，因此要重点解决导数在研究函数单调性中的应用，精品学习网整理了2015高考文科数学易错题：导数的应用，供参考。

1.(典型例题)已知函数=-x3+3x2+9x+a.(1)求的单调递减区间;(2)若在区间[-2，2]上最大值为20，求它在该区间上的最小值。

[考场错解](1)=-3x2+6x+9,令<0,解得x<-1或x>3,∴函数的音调递减区间为(-∞，-1)(3，+∞)

(2)令=0,得x=-1或x=3当-20;当x>3时，<0.

∴x=-1,是的极不值点，x=3是极大值点。∴f(3)=-27+27+27+a=20,∴a=-7.的最小值为f(-1)=-1+3-9+a=-14.

[专家把脉] 在闭区间上求函数的最大值和最小值，应把极值点的函数值与两端点的函数值进行比较大小才能产生最大(小)值点，而上面解答题直接用极大(小)值替代最大(小)值，这显然是错误的。

[专家把脉] 当>0时，是减函数，但反之并不尽然，如=-x3是减函数，=3x2并不恒小于0，(x=0时=0).因此本题应该有在R上恒小于或等于0。

[对症下药] 函数的导数：=3x2+6x-1.

当=3ax2+6x-1<0对任何x∈R恒成立时，在R上是减函数。

①对任何x∈R,3ax2+6x-1<0恒成立，a<0且△=36+12a<0a<-3.

所以当a<-3时，由<0对任何x∈R恒成立时，在R上是减函数。

②当a=-3时, =-3x3+3x2-x+1=-3(x-)3+.

由函数y=x3在R上的单调性知，当a=-3时，在R上是减函数。

③当a>-3时，f’(x)=3ax2+6x-1>0在R上至少可解得一个区间，所以当a>-3时，是在R上的减函数。综上，所求a的取值范围是(-∞，-3)。

3.已知a∈R,讨论函数=ex(x2+ax+a+1)的极值点的个数。

[对症下药] =ex(a2+ax+a+1)+ex(2x+a)=ex[x2+(a+2)x+(2a+1)]

令=0得x2+(a+2)x+(2a+1)=0.

(1)当△=(a+2)2-4(2a+1)=a2-4a=a(a-4)>0即a<0或a>4时,方程x2+(a+2)x+(2a+1)=0有两个不同的实根x1、x2,不妨设x10;当x>x1时，f’(x)>0因此f(x)无极值。

(3)当△<0，即00 ,f’(x)=ex[x2+(a+2)x+(2a+1)]>0,故f(x)为增函数，此时f(x)无极值点，因此，当a>4或a<0时，f(x)有两个极值点，当0≤a≤4时，f(x)无极值点。

4.设函数=x-ln(x+m)其中常数m为整数。(1)当m为何值时，≥0;(2)定理：若g(x)在[a、b]上连续，且g(a)与g(b)异号，则至少存在一点x0∈(a、b),使g(x0)=0.试用上述定理证明：当整数m>1时，方程=0，在[e-m-m,e2m-m]内有两个实根。

[考场错解] 令≥0,x≥ln(x+m).∴m≤ex-x ∴m取小于或等于ex-x的整数。

[专家把脉] 上面解答对题意理解错误，原题“当m为何值时，≥0恒成立”，并不是对x的一定范围成立。因此，m≤ex-x这个结果显然是错误的。

[对症下药] (1)函数=x-ln(x+m),x∈(-m,+ ∞)连续，且f’(x)=1-,令f’(x)=0,得x=1-m.当-m1-m时，>0, 为增函数。

根据函数极值判别方法，f(1-m)=1-m为极小值，而且对x∈(-m,+ ∞)都有≥f(1-m)=1-m，故当1-m=f()≥0,即m≤1时，≥0.即m≤1且m∈Z时，≥0.

(2)证明：由(1)可知，当整数m>1时，f(1-m)=1-m<0,f(e-m-m)=e-m-m-ln(e-m-m+m)=e-m>0,又为连续函数，且当m>1时，f(e-m-m)与f(1-m)异号，由所给定理知，存在唯一的x1∈(e-m-m;1-m),使f(x1)=0,而当m>1时，f(e2m-m)=e2m-3m>(1+1)2m-3m>1+2m+-3m>0.(∵m>12m-1>1).

类似地，当整数m>1时，=x-ln(x+m)在[1-m,e2m-m]上为连续增函数，且f(1-m)与f(e2m-m) ∵x<10时,V’>0,1036时V’>0.所以，当x=10时V有最大值V(10)=1960cm3

又V(0)=0,V(24)=0所以当x=10时,V有最大值V(10)=1960。所以该窗口的高为10cm，容器的容积最大，最大容积是1960cm3.

专家会诊1.证函数在(a,b)上单调，可以用函数的单调性定义，也可用导数来证明，前者较繁，后者较易，要注意若在(a、b)内个别点上满足=0(或不存在但连续)其余点满足>0(或<0)函数仍然在(a、b)内单调递增(或递减)，即导数为零的点不一定是增、减区间的分界点。

2.函数的极值是在局部对函数值的比较，函数在区间上的极大值(或极小值)可能有若干个，而且有时极小值大于它的极大值，另外，=0是可导数f(x)在x=x0处取极值的必要而不充分条件，对于连续函数(不一定处处可导)时可以是不必要条件。

3.函数的最大值、最小值，表示函数f(x)在整个区间的情况，即是在整体区间上对函数值(Ⅱ)由(Ⅰ)得且则

由，解得或;，解得或;，解得

的递增区间为:和;递减区间为:又

要有两个根,则有两解，由函数的单调性可得：。

2、设函数，.(Ⅰ)试问函数能否在时取得极值?说明理由;(Ⅱ)若，当时，与的图象恰好有两个公共点，求的取值范围.

【解析】：(Ⅰ) ， 令， …… 2分

当时，，在上单调递增，函数无极值.所以在处无极值.… 4分

(Ⅱ)，，令，，，或

正 负 正 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 与的图象恰好有两个公共点，等价于的图象与直线恰好有两个交点

或………………… 12分

3、已知函数的图象经过点，曲线在点处的切线恰好与直线垂直。(Ⅰ)求实数的值;(Ⅱ)若函数在区间上单调递增，求的取值范围。

【解析】：(Ⅰ) 的图象经过点，。…2分又，则。由条件知，即。…4分联立解得6分

(Ⅱ)，，令，解得，或。…8分

函数在区间上单调递增，。…10分

则，即…12分

4、已知函数(Ⅰ)若曲线在点处的切线方程为,求函数解析式;(Ⅱ) 求函数的单调区间;(Ⅲ) 若对于任意的,不等式在上恒成立,求的取值范围.

对任意的成立.从而得所以满足条件的取值范围是……….13分

5、若定义在上的函数同时满足以下条件：① 在上是减函数，在上是增函数; ② 是偶函数;③ 在处的切线与直线垂直. (Ⅰ)求函数的解析式;(Ⅱ)设，若存在，使，求实数的取值范围

【解析】：(Ⅰ)，∵ 在上是减函数，在上是增函数，

∴， ()由是偶函数得：，又在处的切线与直线垂直，，代入()得：即....5分

(Ⅱ)由已知得：若存在，使，即存在，使.

设，则，.....8分

令=0，∵，∴， 当时，，∴在上为减函数，当时，，∴在上为增函数，∴在上有最大值.

又，∴最小值为. 于是有为所求..13分

6、设函数(Ⅰ) 当时，求函数的极值;

(Ⅱ)当时，讨论函数的单调性.(Ⅲ)若对任意及任意，恒有

成立，求实数的取值范围.

【解析】：(Ⅰ)函数的定义域为. 当时，2分

当时，当时，无极大值. 4分

(Ⅱ) 5分

当，即时，在定义域上是减函数;

当，即时，令得或

令得当，即时，令得或

令得 综上，当时，在上是减函数;

当时，在和单调递减，在上单调递增;

当时，在和单调递减，在上单调递增;8分

即 .令，解得：或.

当时，，故的单调递增区间是.……3分

当时，，随的变化情况如下：

[ 极大值 极小值 所以，函数的单调递增区间是和，单调递减区间是.……5分

当时，，随的变化情况如下：

极大值 极小值 所以，函数的单调递增区间是和，单调递减区间是.…7分

(Ⅱ)当时，的极大值等于. 理由如下：当时，无极大值.

当时， 的极大值为，…8分

令，即解得 或(舍)…9分 当时，的极大

值为.……10分因为 ，所以 .因为 ，所以

的极大值不可能等于.综上所述，当时，的极大值等于……12分

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