本试卷分第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题两部分，满分150分，时间120分钟。

第Ⅰ卷(选择题　共60分)

一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)

1.(09•全国Ⅰ文)已知tanα=4，tanβ=3，则tan(α+β)=(　　)高考数学试题由精品学习网收集整理!!!

A.711　　　　　　　　　B.-711

C.713D.-713

[答案]　B

[解析]　∵tanβ=3，tanα=4，

∴tan(α+β)=tanα+tanβ1-tanα•tanβ=4+31-4×3=-711.

2.(09 广东文)函数y=2cos2x-π4-1是(　　)

A.最小正周期为π的奇函数

B.最小正周期为π的偶函数

C.最小正周期为π2的奇函数

D.最小正周期为π2的偶函数

[答案]　A

[解析]　因为y=2cos2x-π4-1=cos2x-π2=sin2x为奇函数，T=2π2=π，所以选A.

3.(09•山东文)将函数y=sin2x的图象向左平移π4个单位，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式是(　　)

A.y=2cos2xB.y=2sin2x

C.y=1-sin(2x+π4)D.y=cos2x

[答案]　A

4.(09•浙江文)已知向量a=(1,2)，b=(2，-3).若向量c满足(c+a)∥b，c⊥(a+b)，则c=(　　)

A.(79，73)

B.(-73，-79)

C.(73，79)

D.(-79，-73)

[答案]　D

[解析]　设c=(m，n)，∵c+a=(m+1，n+2)，a+b=(3，-1)，

∴由(c+a)∥b，c⊥(a+b)得：

-3(m+1)-2(n+2)=03m-n=0，解得m=-79，n=-73.

故选D.

5.函数y=cosx•|tanx|-π2

[答案]　C

[解析]　∵y=cosx•|tanx|

=-sinx　-π2

6.在△ABC中，sinA=35，cosB=513，则cosC的值为(　　)

A.-5665

B.-1665

C.1665

D.5665

[答案]　C

[解析]　∵cosB=513，∴sinB=1213，

∵sinB>sinA，A、B为△ABC的内角，

∴B>A，∴A为锐角，

∵sinA=35，cosA=45，

∴cosC=-cos(A+B)=-cosAcosB+sinAsinB

=-45×513+35×1213=1665.

7.已知a=(1,3)，b=(2+λ，1)，且a与b成锐角，则实数λ的取值范围是(　　)

A.λ>-5

B.λ>-5且λ≠-53

C.λ<-5

D.λ<1且λ≠-53

[答案]　B

[解析]　∵a与b夹角为锐角，∴a•b=2+λ+3>0，∴λ>-5，

当a与b同向时，存在正数k，使b=ka，

∴2+λ=k1=3k，∴k=13λ=-53，因此λ>-5且λ≠-53.

8.(09•陕西理)若3sinα+cosα=0，则1cos2α+sin2α的值为(　　)

A.103

B.53

C.23

D.-2

[答案]　A

[解析]　∵3sinα+cosα=0，∴tanα=-13，

∴原式=sin2α+cos2αcos2α+2sinαcosα=tan2α+11+2tanα=19+11-23=103，故选A.

9.若sin4θ+cos4θ=1，则sinθ+cosθ的值为(　　)

A.0

B.1

C.-1

D.±1

[答案]　D

[解析]　解法一：由sin4θ+cos4θ=1知

sinθ=0cosθ=±1或sinθ=±1cosθ=0，

∴sinθ+cosθ=±1.

解法二：∵sin4θ+cos4θ=(sin2θ+cos2θ)2-2sin2θcos2θ=1-2sin2θcos2θ=1，

∴sin2θcos2θ=0，∴sinθcosθ=0，

∴(sinθ+cosθ)2=1+2sinθcosθ=1，

∴sinθ+cosθ=±1.

10.a与b的夹角为120°，|a|=2，|b|=5，则(2a-b)•a=(　　)

A.3

B.9

C.12

D.13

[答案]　D

[解析]　a•b=2×5×cos120°=-5，

∴(2a-b)•a=2|a|2-a•b=8-(-5)=13.

11.设e1与e2是两个不共线向量，AB→=3e1+2e2，CB→=ke1+e2，CD→=3e1-2ke2，若A、B、D三点共线，则k的值为(　　)

A.-94

B.-49

C.-38

D.不存在

[答案]　A

[解析]　BD→=BC→+CD→=(-ke1-e2)+(3e1-2ke2)

=(3-k)e1-(1+2k)e2，

∵A、B、D共线，∴AB→∥BD→，

∴3-k3=-1-2k2，∴k=-94.

12.(09•宁夏、海南理)已知O，N，P在△ABC所在平面内，且|OA→|=|OB→|=|OC→|，NA→+NB→+NC→=0，且PA→•PB→=PB→•PC→=PC→•PA→，则点O，N，P依次是△ABC的(　　)

A.重心　外心　垂心

B.重心　外心　内心

C.外心　重心　垂心

D.外心　重心　内心

(注：三角形的三条高线交于一点，此点为三角形的垂心)

[答案]　C

[解析]　∵O，N，P在△ABC所在平面内，且|OA→|=|OB→|=|OC→|，

∴O是△ABC外接圆的圆心，

由NA→+NB→+NC→=0，得N是△ABC的重心;

由PA→•PB→=PB→•PC→=PC→•PA→得

PB→•(PA→-PC→)=PB→•CA→=0，

∴PB⊥CA，同理可证PC⊥AB，PA⊥BC，

∴P为△ABC的垂心.

第Ⅱ卷(非选择题　共90分)

二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上)

13.函数y=2cos2x+sin2x的最小值是________.

[答案]　1-2

[解析]　y=2cos2x+sin2x=1+cos2x+sin2x

=1+2sin2x+π4，

∵x∈R，∴ymin=1-2.

14.在▱ABCD中，M、N分别是DC、BC的中点，已知AM→=c，AN→=d，用c、d表示AB→=________.

[答案]　43d-23c

[解析]　d=AB→+BN→=AB→+12AD→       ①

c=AD→+DM→=AD→+12AB→        ②

解①②组成的方程组得AD→=43c-23d，AB→=43d-23c.

15.已知点P(sinα+cosα，tanα)在第二象限，则角α的取值范围是________.

[答案]　2kπ-π4<α<2kπ或2kπ+π2<α<2kπ+3π4　k∈Z

[解析]　∵点P在第二象限，∴sinα+cosα>0tanα<0，

如图可知，α的取值范围是2kπ-π4<α<2kπ或2kπ+π2<α<2kπ+3π4　k∈Z.

16.如图所示，已知O为平行四边形ABCD内一点，OA→=a，OB→=b，OC→=c，则OD→=________.

[答案]　c+a-b

[解析]　OD→=OC→+CD→=OC→+BA→

=OC→+(OA→-OB→)=c+a-b.

三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17.(本题满分12分)(09•湖南文)已知向量a=(sinθ，cosθ-2sinθ)，b=(1,2).

(1)若a∥b，求tanθ的值;

(2)若|a|=|b|,0<θ<π，求θ的值.

[解析]　(1)因为a∥b，所以2sinθ=cosθ-2sinθ，

于是4sinθ=cosθ，故tanθ=14.

(2)由|a|=|b|知，sin2θ+(cosθ-2sinθ)2=5，

所以1-2sin2θ+4sin2θ=5.

从而-2sin2θ+2(1-cos2θ)=4，

即sin2θ+cos2θ=-1，

于是sin2θ+π4=-22.

又由0<θ<π知，π4<2θ+π4<9π4，

所以2θ+π4=5π4，或2θ+π4=7π4.

因此θ=π2，或θ=3π4.

18.(本题满分12分)(09•重庆文)设函数f(x)=(sinωx+cosωx)2+2cos2ωx(ω>0)的最小正周期为2π3.

(1)求ω的值;

(2)若函数y=g(x)的图象是由y=f(x)的图象向右平移π2个单位长度得到，求y=g(x)的单调增区间.

[解析]　(1)f(x)=sin2ωx+cos2ωx+2sinωxcosωx+1+cos2ωx=sin2ωx+cos2ωx+2

=2sin(2ωx+π4)+2，

依题意得2π2ω=2π3，故ω=32.

(2)f(x)=2sin3x+π4+2，

依题意得g(x)=2sin3x-π2+π4+2

=2sin3x-5π4+2，

由2kπ-π2≤3x-5π4≤2kπ+π2　(k∈Z)解得

23kπ+π4≤x≤23kπ+7π12　(k∈Z)，

故g(x)的单调增区间为23kπ+π4，23kπ+7π12　(k∈Z).

19.(本题满分12分)(09•陕西文)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)，x∈R，其中A>0，ω>0，0<φ<π2的周期为π，且图象上一个最低点为M2π3，-2.

(1)求f(x)的解析式;

(2)当x∈0，π12时，求f(x)的最值.

[解析]　(1)由最低点为M2π3，-2得A=2，

由T=π得ω=2πT=2ππ=2，∴f(x)=2sin(2x+φ).

由点M2π3，-2在图象上得2sin4π3+φ=-2

即sin4π3+φ=-1，

∴4π3+φ=2kπ-π2

即φ=2kπ-11π6，k∈Z，

又φ∈0，π2，∴k=1，∴φ=π6，

∴f(x)=2sin2x+π6.

(2)∵x∈0，π12，∴2x+π6∈π6，π3，

∴当2x+π6=π6，即x=0时，f(x)取得最小值1;

当2x+π6=π3，即x=π12时，f(x)取得最大值3.

20.(本题满分12分)(北京通州市09～10高一期末)已知向量a=(3cosωx，sinωx)，b=sin(ωx,0)，且ω>0，设函数f(x)=(a+b)•b+k，

(1)若f(x)的图象中相邻两条对称轴间距离不小于π2，求ω的取值范围;

(2)若f(x)的最小正周期为π，且当x∈-π6，π6时，f(x)的最大值为2，求k的值.

[解析]　∵a=(3cosωx，sinωx)，b=(sinωx,0)，

∴a+b=(3cosωx+sinωx，sinωx).

∴f(x)=(a+b)•b+k=3sinωxcosωx+sin2ωx+k

=32sin2ωx-12cos2ωx+12+k

=sin2ωx-π6+12+k.

(1)由题意可得：T2=2π2×2ω≥π2.

∴ω≤1，又ω>0，

∴ω的取值范围是0<ω≤1.

(2)∵T=π，∴ω=1.

∴f(x)=sin2x-π6+12+k

∵-π6≤x≤π6，∴-π2≤2x-π6≤π6.

∴当2x-π6=π6，

即x=π6时，f(x)取得最大值fπ6=2.

∴sinπ6+12+k=2.∴k=1.

21.(本题满分12分)(09•江苏文)设向量a=(4cosα，sinα)，b=(sinβ，4cosβ)，c=(cosβ，-4sinβ)

(1)若a与b-2c垂直，求tan(α+β)的值;

(2)求|b+c|的最大值;

(3)若tanαtanβ=16，求证：a∥b.

[解析]　(1)∵a=(4cosα，sinα)，b=(sinβ，4cosβ)，

c=(cosβ，-4sinβ)

∵a与b-2c垂直，∴a•(b-2c)=a•b-2a•c=4cosαsinβ+4sinαcosβ-2(4cosαcosβ-4sinαsinβ)

=4sin(α+β)-8cos(α+β)=0，∴tan(α+β)=2.

(2)∵b+c=(sinβ+cosβ，4cosβ-4sinβ)

∴|b+c|2=sin2β+2sinβcosβ+cos2β+16cos2β-32cosβsinβ+16sin2β

=17-30sinβcosβ=17-15sin2β，

当sin2β=-1时，最大值为32，

∴|b+c|的最大值为42.

(3)由tanαtanβ=16得sinαsinβ=16cosαcosβ

即4cosα•4cosβ-sinαsinβ=0，∴a∥b.

22.(本题满分14分)(09•福建文)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)，其中ω>0，|φ|<π2.

(1)若cosπ4cosφ-sin3π4sinφ=0，求φ的值;

(2)在(1)的条件下，若函数f(x)的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于π3，求函数f(x)的解析式;并求最小正实数m，使得函数f(x)的图象向左平移m个单位后所对应的函数是偶函数.

[解析]　解法一：(1)由cosπ4cosφ-sin3π4sinφ=0得cosπ4cosφ-sinπ4sinφ=0，

即cosπ4+φ=0.

又|φ|<π2，∴φ=π4;

(2)由(1)得，f(x)=sinωx+π4.

依题意，T2=π3.

又T=2πω，故ω=3，∴f(x)=sin3x+π4.

函数f(x)的图象向左平移m个单位后，所得图象对应的函数为g(x)=sin3(x+m)+π4，

g(x)是偶函数当且仅当3m+π4=kπ+π2(k∈Z)，

即m=kπ3+π12(k∈Z).

从而，最小正实数m=π12.

解法二：(1)同解法一.

(2)由(1)得，f(x)=sinωx+π4.

依题意，T2=π3.

又T=2πω，故ω=3，

∴f(x)=sin3x+π4.

函数f(x)的图象向左平移m个单位后所得图象对应的函数为g(x)=sin3(x+m)+π4.

g(x)是偶函数当且仅当g(-x)=g(x)对x∈R恒成立，

亦即sin-3x+3m+π4=sin3x+3m+π4对x∈R恒成立.

∴sin(-3x)cos3m+π4+cos(-3x)sin3m+π4

=sin3xcos3m+π4+cos3xsin3m+π4，

即2sin3xcos3m+π4=0对x∈R恒成立.

∴cos3m+π4=0，

故3m+π4=kπ+π2(k∈Z)，

∴m=kπ3+π12(k∈Z)，高考数学试题由精品学习网收集整理!!!

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