本试卷分第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题两部分，满分150分，时间120分钟。

第Ⅰ卷(选择题　共60分)

一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)

1.sin2cos3tan4的值(　　)高考数学试题由精品学习网收集整理!!!

A.小于0　　 B.大于0

C.等于0  D.不存在

[答案]　A

[解析]　∵π2<2<π，∴sin2>0，∵π2<3<π，∴cos3<0，∵π<4<3π2，∴tan4>0，∴sin2cos3tan4<0.

2.若角600°的终边上有一点(-4，a)，则a的值是(　　)

A.43  B.-43

C.±43  D.3

[答案]　B

[解析]　由条件知，tan600°=a-4，

∴a=-4tan600°=-4tan60°=-43.

3.(08•全国Ⅰ文)y=(sinx-cosx)2-1是(　　)

A.最小正周期为2π的偶函数

B.最小正周期为2π的奇函数

C.最小正周期为π的偶函数

D.最小正周期为π的奇函数

[答案]　D

[解析]　∵y=(sinx-cosx)2-1=sin2x-2sinxcosx+cos2x-1=-sin2x，

∴函数y=(sinx-cosx)2-1的最小正周期为π，且是奇函数.

4.函数y=sin2x-π3在区间-π2，π的简图是(　　)

[答案]　A

[解析]　x=0时，y<0，排除B、D，

x=π6时，y=0，排除C，故选A.

5.为了得到函数y=cos2x+π3的图象，只需将函数y=sin2x的图象(　　)

A.向左平移5π12个长度单位

B.向右平移5π12个长度单位

C.向左平移5π6个长度单位

D.向右平移5π6个长度单位

[答案]　A

[解析]　y=cos(2x+π3)=sin(2x+π2+π3)

=sin(2x+5π6)=sin2(x+5π12)，

由y=sin2x的图象得到y=cos(2x+π3)的图象.

只需向左平移5π12个长度单位就可以.

6.函数y=|sinx|的一个单调增区间是(　　)

A.-π4，π4  B.π4，3π4

C.π，3π2  D.3π2，2π

[答案]　C

[解析]　画出函数y=|sinx|的图象，如图所示.

由函数图象知它的单调增区间为kπ，kπ+π2(k∈Z)，所以当k=1时，得到y=|sinx|的一个单调增区间为π，3π2，故选C.

7.(08•四川)设0≤α≤2π，若sinα>3cosα，则α的取值范围是(　　)

A.π3，π2  B.π3，π

C.π3，4π3  D.π3，3π2

[答案]　C

[解析]　∵sinα>3cosα，

∴cosα>0tanα>3或cosα<0tanα<3或cosα=0sinα=1，

∴π3<α<4π3.

[点评]　①可取特值检验，α=π2时，1=sinπ2>3cosπ2=0，排除A;α=π时，0=sinπ>3cosπ=-3，排除B;α=4π3时，sin4π3=-32，3cos4π3=-32，∴sin4π3=3cos4π3，排除D，故选C.②学过两角和与差的三角函数后，可化一角一函解决，sinα-3cosα=2sinα-π3>0，∴sinα-π3>0，∵0≤α≤2π，∴π3<α<4π3.

8.方程sinπx=14x的解的个数是(　　)

A.5　　　　 B.6

C.7　　　　 D.8

[答案]　C

[解析]　在同一坐标系中分别作出函数y1=sinπx，y2=14x的图象，左边三个交点，右边三个交点，再加上原点，共计7个.

9.已知△ABC是锐角三角形，P=sinA+sinB，Q=cosA+cosB，则(　　)

A.PQ

C.P=Q  D.P与Q的大小不能确定

[答案]　B

[解析]　∵△ABC是锐角三角形，∴0π2，∴A>π2-B，B>π2-A，

∵y=sinx在0，π2上是增函数，

∴sinA>cosB，sinB>cosA，

∴sinA+sinB>cosA+cosB，∴P>Q.

10.若函数f(x)=3cos(ωx+φ)对任意的x都满足fπ3+x=fπ3-x，则fπ3的值是(　　)

A.3或0  B.-3或0

C.0   D.-3或3

[答案]　D

[解析]　f(x)的图象关于直线x=π3对称，故fπ3为最大值或最小值.

11.下列函数中，图象的一部分符合下图的是(　　)

A.y=sin(x+π6)

B.y=sin(2x-π6)

C.y=cos(4x-π3)

D.y=cos(2x-π6)

[答案]　D

[解析]　用三角函数图象所反映的周期确定ω，再由最高点确定函数类型.从而求得解析式.

由图象知T=4(π12+π6)=π，故ω=2，排除A、C.

又当x=π12时，y=1，而B中的y=0，故选D.

12.函数y=2sinπ3-x-cosx+π6(x∈R)的最小值为(　　)

A.-3　　　 B.-2

C.-1　　　 D.-5

[答案]　C

[解析]　∵y=2sinπ3-x-cosx+π6

=2cosπ2-π3-x-cosx+π6=cosx+π6，

∴ymin=-1.

第Ⅱ卷(非选择题　共90分)

二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上)

13.若1+sin2θ=3sinθcosθ则tanθ=________.

[答案]　1或12

[解析]　由1+sin2θ=3sinθcosθ变形得2sin2θ+cos2θ-3sinθcosθ=0⇒(2sinθ-cosθ)(sinθ-cosθ)=0，

∴tanθ=12或1.

14.函数y=16-x2+sinx的定义域为________.

[答案]　[-4，-π]∪[0，π]

[解析]　要使函数有意义，则16-x2≥0sinx≥0，

∴-4≤x≤42kπ≤x≤2kπ+π(k∈Z)，

∴-4≤x≤-π或0≤x≤π.

15.已知集合A={α|30°+k•180°<α<90°+k•180°，k∈Z}，集合B={β|-45°+k•360°<β<45°+k•360°，k∈Z}，则A∩B=________.

[答案]　{α|30°+k•360°<α<45°+k•360°，k∈Z}

[解析]　如图可知，

A∩B={α|30°+k•360°<α<45°+k•360°，k∈Z}.

16.若a=sin(sin2009°)，b=sin(cos2009°)，c=cos(sin2009°)，d=cos(cos2009°)，则a、b、c、d从小到大的顺序是________.

[答案]　b

[解析]　∵2009°=5×360°+180°+29°，

∴a=sin(-sin29°)=-sin(sin29°)<0，

b=sin(-cos29°)=-sin(cos29°)<0，

c=cos(-sin29°)=cos(sin29°)>0，

d=cos(-cos29°)=cos(cos29°)>0，

又0

[点评]　本题“麻雀虽小，五脏俱全”，考查了终边相同的角、诱导公式、正余弦函数的单调性等，应加强这种难度不大，对基础知识要求掌握熟练的小综合题训练.

三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17.(本题满分12分)已知sinθ=1-a1+a，cosθ=3a-11+a，若θ为第二象限角，求实数a的值.

[解析]　∵θ为第二象限角，∴sinθ>0，cosθ<0.

∴1-a1+a>0，3a-11+a<0，解之得，-1

又∵sin2θ+cos2θ=1，∴1-a1+a2+3a-11+a2=1，

解之，得a=19或a=1(舍去).

故实数a的值为19.

18.(本题满分12分)若集合M=θsinθ≥12，0≤θ≤π，N=θcosθ≤12，0≤θ≤π，求M∩N.

[解析]　解法一：可根据正弦函数图象和余弦函数图象，找出集合N和集合M对应的部分，然后求M∩N.

首先作出正弦函数与余弦函数的图象以及直线y=12.如图.

结合图象得集合M、N分别为

M=θπ6≤θ≤5π6，N=θπ3≤θ≤π.

得M∩N=θπ3≤θ≤5π6.

解法二：利用单位圆中的三角函数线确定集合M、N.

作出单位圆的正弦线和余弦线如图所示.

由单位圆中的三角函数线知

M=θπ6≤θ≤5π6，

N=θπ3≤θ≤π.

由此可得M∩N=θπ3≤θ≤5π6.

19.(本题满分12分)已知cosx+siny=12，求siny-cos2x的最值.

[解析]　∵cosx+siny=12，∴siny=12-cosx，

∴siny-cos2x=12-cosx-cos2x

=-cosx+122+34，

∵-1≤siny≤1，∴-1≤12-cosx≤1，

解得-12≤cosx≤1，

所以当cosx=-12时，(siny-cos2x)max=34，

当cosx=1时，(siny-cos2x)min=-32.

[点评]　本题由-1≤siny≤1求出-12≤cosx≤1是解题的关键环节，是易漏掉出错的地方.

20.(本题满分12分)已知y=a-bcos3x(b>0)的最大值为32，最小值为-12.

(1)求函数y=-4asin(3bx)的周期、最值，并求取得最值时的x;

(2)判断其奇偶性.

[解析]　(1)∵y=a-bcos3x，b>0，

∴ymax=a+b=32ymin=a-b=-12，解得a=12b=1，

∴函数y=-4asin(3bx)=-2sin3x.

∴此函数的周期T=2π3，

当x=2kπ3+π6(k∈Z)时，函数取得最小值-2;

当x=2kπ3-π6(k∈Z)时，函数取得最大值2.

(2)∵函数解析式f(x)=-2sin3x，x∈R，

∴f(-x)=-2sin(-3x)=2sin3x=-f(x)，

∴y=-2sin3x为奇函数.

21.(本题满分12分)函数f(x)=Asin(ωx+φ)的图象如图所示.试依图推出：

(1)f(x)的最小正周期;

(2)f(x)的单调递增区间;

(3)使f(x)取最小值的x的取值集合.

[解析]　(1)由图象可知，T2=74π-π4=32π，

∴T=3π.

(2)由(1)可知当x=74π-3π=-54π时，函数f(x)取最小值，

∴f(x)的单调递增区间是-54π+3kπ，π4+3kπ(k∈Z).

(3)由图知x=74π时，f(x)取最小值，

又∵T=3π，∴当x=74π+3kπ时，f(x)取最小值，

所以f(x)取最小值时x的集合为

xx=74π+3kπ，k∈Z.

22.(本题满分14分)函数f(x)=1-2a-2acosx-2sin2x的最小值为g(a)(a∈R).

(1)求g(a);

(2)若g(a)=12，求a及此时f(x)的最大值.

[解析]　(1)由f(x)=1-2a-2acosx-2sin2x

=1-2a-2acosx-2(1-cos2x)

=2cos2x-2acosx-(2a+1)

=2cosx-a22-a22-2a-1.这里-1≤cosx≤1.

①若-1≤a2≤1，则当cosx=a2时，f(x)min=-a22-2a-1;

②若a2>1，则当cosx=1时，f(x)min=1-4a;

③若a2<-1，则当cosx=-1时，f(x)min=1.

因此g(a)=1　　　　　　(a<-2)-a22-2a-1  (-2≤a≤2)1-4a  (a>2).

(2)∵g(a)=12.

∴①若a>2，则有1-4a=12，得a=18，矛盾;

②若-2≤a≤2，则有-a22-2a-1=12，

即a2+4a+3=0，∴a=-1或a=-3(舍).

∴g(a)=12时，a=-1.

此时f(x)=2cosx+122+12，

当cosx=1时，f(x)取得最大值为5.高考数学试题由精品学习网收集整理!!!

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