本试卷分第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题两部分，满分150分，时间120分钟。

第Ⅰ卷(选择题　共60分)

一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)

1.点C在线段AB上，且AC→=25AB→，若AC→=λBC→，则λ等于(　　)高考数学试题由精品学习网收集整理!!!

A.23　　　　　　　　　 B.32

C.-23    D.-32

[答案]　C

[解析]　由AC→=25AB→知，|AC→|?|BC→|=2?3，且方向相反，∴AC→=-23BC→，∴λ=-23.

2.要想得到函数y=sinx-π3的图象，只须将y=cosx的图象(　　)

A.向右平移π3个单位

B.向左平移π3个单位

C.向右平移5π6个单位

D.向左平移5π6个单位

[答案]　C

[解析]　∵y=sinx-π3=cosπ2-x-π3

=cos5π6-x=cosx-5π6，

∴将y=cosx的图象向右移5π6个单位可得到

y=sinx-π3的图象.

3.设e1与e2是不共线向量，a=ke1+e2，b=e1+ke2，若a∥b且a≠b，则实数k的值为(　　)

A.1

B.-1

C.0

D.±1

[答案]　B

[解析]　∵a∥b，∴存在实数λ，使a=λb(b≠0)，

∴ke1+e2=λ(e1+ke2)，∴(k-λ)e1=(λk-1)e2，

∵e1与e2不共线，∴k-λ=0λk-1=0，∴λ=k=±1，

∵a≠b，∴k≠1.

[点评]　e1与e2不共线，又a∥b，∴可知1k=k1，∴k=±1，∵a≠b，∴k=-1.一般地，若e1与e2不共线，a=me1+ne2，b=λe1+μe2，若a∥b，则有mλ=nμ.

4.若sinθ=m，|m|<1，-180°<θ<-90°，则tanθ等于(　　)

A.m1-m2

B.-m1-m2

C.±m1-m2

D.-1-m2m

[答案]　B

[解析]　∵-180°<θ<-90°，

∴sinθ=m<0，tanθ>0，

故可知tanθ=-m1-m2.

5.△ABC中，AB→•BC→<0，BC→•AC→<0，则该三角形为(　　)

A.锐角三角形

B.直角三角形

C.钝角三角形

D.不能确定

[答案]　C

[解析]　由AB→•BC→<0知，∠ABC为锐角;由BC→•AC→<0知∠ACB为钝角，故选C.

6.设α是第二象限的角，且cosα2=-cosα2，则α2所在的象限是(　　)

A.第一象限

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限

[答案]　C

[解析]　∵α为第二象限角，∴α2为第一或三象限角，∵cosα2=-cosα2，∴cosα2≤0，∴选C.

7.已知点A(2，-1)，B(4,2)，点P在x轴上，当PA→•PB→取最小值时，P点的坐标是(　　)

A.(2,0)

B.(4,0)

C.103，0

D.(3,0)

[答案]　D

[解析]　设P(x,0)，则PA→=(2-x，-1)，PB→=(4-x,2)，PA→•PB→=(2-x)(4-x)-2=x2-6x+6=(x-3)2-3，当x=3时，取最小值-3，∴P(3,0).

8.O是△ABC所在平面内一点，且满足|OB→-OC→|=|OB→+OC→-2OA→|，则△ABC为(　　)

A.等腰三角形

B.直角三角形

C.等边三角形

D.等腰直角三角形

[答案]　B

[解析]　∵|OB→-OC→|=|OC→+OB→-2OA→|，∴|CB→|=|AB→+AC→|，由向量加法的平行四边形法则知，以AB、AC为邻边的平行四边形两对角线长度相等，∴AB→⊥AC→.

9.如图是函数f(x)=Asinωx(A>0，ω>0)一个周期的图象，则f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)的值等于(　　)

A.2

B.22

C.2+2

D.22

[答案]　A

[解析]　由图知：T=8=2πω，∴ω=π4，

又A=2，∴f(x)=2sinπ4x，

∴f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+(5)+f(6)=2sinπ4+sin2π4+sin3π4+sin4π4+sin5π4+sin6π4=2sin3π4=2.

[点评]　观察图象可知f(x)的图象关于点(4,0)中心对称，故f(3)+f(5)=0，f(2)+f(6)=0，又f(4)=0，故原式=f(1)=2.

10.已知y=Asin(ωx+φ)在同一周期内，x=π9时有最大值12，x=4π9时有最小值-12，则函数的解析式为(　　)

A.y=2sinx3-π6

B.y=12sin3x+π6

C.y=2sin3x-π6

D.y=12sin3x-π6

[答案]　B

[解析]　由条件x=π9时有最大值12，x=4π9时有最小值-12可知，A=12，T2=4π9-π9，∴T=2π3，∴ω=3，

∴y=12sin(3x+φ)，将π9，12代入得，

12=12sinπ3+φ，

∴π3+φ=2kπ+π2(k∈Z)，∴φ=2kπ+π6，

取k=0知选B.

11.设点O是面积为4的△ABC内部一点，且有OA→+OB→+2OC→=0，则△AOC的面积为(　　)

A.2

B.1

C.12

D.13

[答案]　B

[解析]　如图，以OA、OB为邻边作▱OADB，则OD→=OA→+OB→，结合条件OA→+OB→+2OC→=0知，OD→=-2OC→，

设OD交AB于M，则OD→=2OM→，∴OM→=-OC→，

故O为CM的中点，

∴S△AOC=12S△CAM=14S△ABC=14×4=1.

12.已知sinα+cosα=713　(0<α<π)，则tanα=(　　)

A.-512

B.-125

C.512

D.-125或-512

[答案]　B

[解析]　解法一：∵sinα+cosα=713，0<713<1,0<α<π，∴π2<α<π，

∴sinα>0，cosα<0，且|sinα|>|cosα|，

∴tanα<0且|tanα|>1，故选B.

解法二：两边平方得sinαcosα=-60169，

∴tanαtan2α+1=-60169，∴60tan2α+169tanα+60=0，

∴(12tanα+5)(5tanα+12)=0，

∴tanα=-125或-512，

∵0<α<π，sinα+cosα=713>0，∴tanα=-125.

第Ⅱ卷(非选择题　共90分)

二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上)

13.已知扇形的圆心角为72°，半径为20cm，则扇形的面积为________.

[答案]　8πcm2

[解析]　∵72°=π180×72=2π5，∴l=2π5×20=8π，

S=12l•r=12×8π×20=80π(cm2).

14.已知a=(3,4)，b=(2，m)且a与b夹角为锐角，则m的取值范围是________.

[答案]　m>-32且m≠83

[解析]　a•b=6+4m>0，∴m>-32，

又当a与b同向时，23=m4，∴m=83，

故m>-32且m≠83.

15.集合A={x|kπ-π412}，则A∩B=________.

[答案]　{x|π6+2kπ

[解析]　B={x|π6+2kπ

如图可求A∩B.

16.已知θ为第三象限角，1-sinθcosθ-3cos2θ=0，则5sin2θ+3sinθcosθ=________.

[答案]　265

[解析]　∵1-sinθcosθ-3cos2θ=0，

∴sin2θ-sinθcosθ-2cos2θ=0，

∴(sinθ-2cosθ)(sinθ+cosθ)=0，

∵θ为第三象限角，∴sinθ+cosθ<0，

∴sinθ=2cosθ，∴tanθ=2，

∴5sin2θ+3sinθcosθ=5tan2θ+3tanθtan2θ+1=265.

三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17.(本题满分12分)已知cosθ+π2=-12，求

cos(θ+π)sinπ2-θcos(3π-θ)-1+cos(θ-2π)cos(-θ)•cos(π-θ)+sinθ+5π2的值.

[解析]　∵cosθ+π2=-12，∴sinθ=12，

原式=-cosθcosθ(-cosθ-1)+cosθcosθ•(-cosθ)+cosθ

=11+cosθ+11-cosθ=2sin2θ=8.

18.(本题满分12分)已知A(-1,2)，B(2,8).

(1)若AC→=13AB→，DA→=-23AB→，求CD→的坐标;

(2)设G(0,5)，若AE→⊥BG→，BE→∥BG→，求E点坐标.

[解析]　(1)∵AB→=(3,6)，AC→=13AB→=(1,2)，

DA→=-23AB→=(-2，-4)，

∴C(0,4)，D(1,6)，∴CD→=(1,2).

(2)设E(x，y)，则AE→=(x+1，y-2)，BE→=(x-2，y-8)，∵BG→=(-2，-3)，AE→⊥BG→，BE→∥BG→，

∴-2(x+1)-3(y-2)=0-3(x-2)+2(y-8)=0，∴x=-2213y=3213.

∴E点坐标为-2213，3213.

19.(本题满分12分)在▱ABCD中，点M在AB上，且AM=3MB，点N在BD上，且BN→=λBD→，C、M、N三点共线，求λ的值.

[证明]　设AB→=e1，AD→=e2，则BD→=e2-e1，

BN→=λBD→=λ(e2-e1)，MB→=14AB→=14e1，BC→=AD→=e2，

∴MC→=MB→+BC→

=14e1+e2，

MN→=MB→+BN→=14e1+λ(e2-e1)=λe2+14-λe1，

∵M、N、C共线，∴MN→与MC→共线，

∵e1与e2不共线，∴14-λ14=λ1，∴λ=15.

20.(本题满分12分)是否存在实数a，使得函数y=sin2x+acosx-1+58a在闭区间0，π2上最大值为1?若存在，求出对应的a值，若不存在，说明理由.

[解析]　y=-cos2x+acosx+5a8

=-(cosx-a2)2+a24+5a8，

∵0≤x≤π2，∴0≤cosx≤1，

∵最大值为1，

∴(Ⅰ)0≤a2≤1a24+5a8=1或(Ⅱ)a2<05a8=1或(Ⅲ)a2>1-1+a+5a8=1，

由(Ⅰ)解得a=89-54，(Ⅱ)(Ⅲ)无解，

∴a=89-54.

[点评]　此类问题一般把cosx(或sinx)看成未知数整理为二次函数，然后由x的范围，得出cosx(或sinx)的取值范围A后，分为①A在对称轴左侧(或右侧)，用单调性讨论;②对称轴在A内，在顶点处取得最值.试一试解答下题：

是否存在实数λ，使函数f(x)=-2sin2x-4λcosx+10≤x≤π2的最小值是-32?若存在，求出对应的λ值，若不存在，试说明理由.

答案为λ=58或12.

21.(本题满分12分)

(1)角α的终边经过点P(sin150°，cos150°)，求tanα.

(2)角α的终边在直线y=-3x上，求sinα、cosα.

[解析]　(1)∵P12，-32，∴tanα=-3212=-3.

(2)在角α终边上任取一点P(x，y)，则y=-3x，

P点到原点距离r=x2+y2=10|x|，

当x>0时，r=10x，∴sinα=yr=-3x10x=-31010，

cosα=xr=x10x=1010，

当x<0时，r=-10x，∴sinα=yr=31010，

cosα=xr=-1010.

22.(本题满分14分)函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0，ω>0，|φ|<π2)的一段图象如图所示.

(1)求f(x)的解析式;

(2)求f(x)的单调减区间，并指出f(x)的最大值及取到最大值时x的集合;

(3)把f(x)的图象向左至少平移多少个单位，才能使得到的图象对应的函数为偶函数?

[解析]　(1)由图知A=3，34T=4π-π4=15π4，

∴T=5π，∴ω=25，∴f(x)=3sin25x+φ，

∵过(4π，-3)，∴-3=3sin8π5+φ，

∴8π5+φ=2kπ-π2，∴φ=2kπ-21π10，

∵|φ|<π2，∴φ=-π10，∴f(x)=3sin25x-π10.

(2)由2kπ+π2≤25x-π10≤2kπ+3π2得，

5kπ+3π2≤x≤5kπ+4π　(k∈Z)，

∴函数f(x)的单调减区间为5kπ+3π2，5kπ+4π　(k∈Z).

函数f(x)的最大值为3，取到最大值时x的集合为

{x|x=5kπ+3π2，k∈Z}.

(3)解法一：f(x)=3sin2x5-π10

=3cosπ2-2x5-π10=3cos2x5-3π5

=3cos25x-3π2，

故至少须左移3π2个单位才能使所对应函数为偶函数.

解法二：f(x)=3sin2x5-π10的图象的对称轴方程为25x-π10=kπ+π2，∴x=5kπ2+3π2，当k=0时，x=3π2，k=-1时，x=-π，故至少左移3π2个单位.

解法三：函数f(x)在原点右边第一个最大值点为2x5-π10=π2，∴x=3π2，把该点左移到y轴上，需平移3π2个单位.

解法四：观察图象可知，欲使函数图象左移后为偶函数，由其周期为5π可知，须把π4，0点变为-5π4，0或把点(4π，-3)变为5π2，-3等，可知应左移3π2个单位。高考数学试题由精品学习网收集整理!!!

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