一、选择题：本大题共7小题，每小题5分，共35分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.复数i+i2在复平面内表示的点在

A.第一象限高考数学试题由精品学习网收集整理!!!

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限

2.设x∈R，则x>e的一个必要不充分条件是

A.x>1  B.x<1

C.x>3  D.x<3

3.若f(x)=2cos α-sin x，则f′(α)等于

A.-sin α

B.-cos α

C.-2sin α-cos α

D.-3cos α

4.下列三句话按三段论的模式排列顺序正确的是

①z1，z2不能比较大小;②虚数不能比较大小;③z1，z2是虚数.

A.①②③  B.②①③

C.②③①  D.③②①

5.若a=(1，λ，2)，b=(2，-1,1)，a与b的夹角为60°，则λ的值为

A.17或-1  B.-17或1

C.-1  D.1

6.设F1，F2是椭圆+=1(a>5)的两个焦点，且|F1F2|=8，弦AB过点F1，则△ABF2的周长为

A.10

B.20

C.2

D.4

7.对于R上可导的任意函数f(x)，若满足(x-2)f′(x)≤0，则必有

A.f(-3)+f(3)<2f(2)

B.f(-3)+f(7)>2f(2)

C.f(-3)+f(3)≤2f(2)

D.f(-3)+f(7)≥2f(2)

二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分.请把答案填在答题卷对应题号后的横线上.

8.复数10的值是　　　　　　.

9.用反证法证明命题：“若x，y>0，且x+y>2，则，中至少有一个小于2”时，假设的内容应为　　　　　　　　　　　　　　.

10.已知等差数列{an}中，有=成立.类似地，在等比数列{bn}中，有　　　　　　　　　　　　　成立.

11.曲线y=sin x在[0，π]上与x轴所围成的平面图形的面积为　.

12.已知函数f(x)=x(x-c)2在x=2处有极大值，则c的值为　　　　　.

13.正整数按下列方法分组：{1}，{2,3,4}，{5,6,7,8,9}，{10,11,12,13,14,15,16}，…，记第n组中各数之和为An;由自然数的立方构成下列数组：{03,13}，{13,23}，{23,33}，{33,43}，…，记第n组中后一个数与前一个数的差为Bn，则An+Bn=　　　　　.

三、解答题：本大题共3小题，共35分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

14.(本小题满分11分)

已知函数f(x)=ax3+(a-1)x2+27(a-2)x+b的图象关于原点成中心对称，试判断f(x)在区间[-4，5]上的单调性，并求出f(x)在区间[-4，5]上的最值.

15.(本小题满分12分)

已知数列{an}满足Sn+an=2n+1.

(1)写出a1，a2，a3，并推测an的表达式;

(2)用数学归纳法证明所得的结论.

16.(本小题满分12分)

如图，已知四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，且AC=AB=BC=2，PA⊥平面ABCD，E，F分别是BC，PC的中点.

(1)证明：AE⊥PD;

(2)若H为PD上一点，且AH⊥PD，EH与平面PAD所成角的正切值为，求二面角E-AF-C的余弦值.

必考试卷Ⅱ

一、选择题：本大题共1个小题，每小题5分，满分5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.定义在R上的函数f(x)的导函数f′(x)的图像如图，若两个正数a，b满足f(2a+b)<1，且f(4)=1，则的取值范围是

A.

B.∪(5，+∞)

C.(-∞，3)

D.

二、填空题：本大题共1个小题，每小题5分，共5分.请把答案填在答题卷对应题号后的横线上.

2.设函数f(x)=x(x+k)(x+2k)(x-3k)，且f′(0)=6，则k=　　　　　.

三、解答题：本大题共3小题，共40分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

3.(本小题满分13分)

某电视生产企业有A、B两种型号的电视机参加家电下乡活动，若企业投放A、B两种型号电视机的价值分别为a、b万元，则农民购买电视机获得的补贴分别为a、mln(b+1)万元(m>0且为常数).已知该企业投放总价值为10万元的A、B两种型号的电视机，且A、B两种型号的投放金额都不低于1万元.

(1)请你选择自变量，将这次活动中农民得到的总补贴表示为它的函数，并求其定义域;

(2)求当投放B型电视机的金额为多少万元时，农民得到的总补贴最大?

4.(本小题满分13分)

已知椭圆C：+=1(a>b>0)的离心率为，以椭圆C的左顶点T为圆心作圆T：(x+2)2+y2=r2(r>0)，设圆T与椭圆C交于点M与点N.

(1)求椭圆C的方程;

(2)求·的最小值，并求此时圆T的方程;

(3)设点P是椭圆C上异于M，N的任意一点，且直线MP，NP分别与x轴交于点R，S，O为坐标原点，求证：·为定值.

5.(本小题满分14分)

已知函数f(x)=ex，x∈R.

(1)若直线y=kx+1与f(x)的反函数的图象相切，求实数k的值;

(2)设x>0，讨论曲线y=与直线y=m(m>0)公共点的个数;

(3)设函数h满足x2h′(x)+2xh(x)=，h(2)=，试比较h(e)与的大小.

湖南师大附中2015届高二第一学期期末考试试题

数学(理科)参考答案

必考试卷Ⅰ

又∵函数f(x)在[-4,5]上连续.

∴f(x)在(-3,3)上是单调递减函数，在(-4，-3)和(3,5)上是单调递增函数.(9分)

∴f(x)的最大值是54，f(x)的最小值是-54.(11分)

15.解：(1)a1=，a2=，a3=，….猜测an=2-(5分)

(2)①由(1)已得当n=1时，命题成立;(7分)

②假设n=k时，命题成立，即ak=2-，(8分)

当n=k+1时，a1+a2+……+ak+ak+1+ak+1=2(k+1)+1，

且a1+a2+……+ak=2k+1-ak

∴2k+1-ak+2ak+1=2(k+1)+1=2k+3，

∴2ak+1=2+2-，ak+1=2-，

即当n=k+1时，命题成立.(11分)

根据①②得n∈N+时，an=2-都成立.(12分)

16.(1)证明：由AC=AB=BC，可得△ABC为正三角形.

因为E为BC的中点，所以AE⊥BC.

又BC∥AD，因此AE⊥AD.

因为PA⊥平面ABCD，AE⊂平面ABCD，所以PA⊥AE.

而PA⊂平面PAD，AD⊂平面PAD且PA∩AD=A，

所以AE⊥平面PAD.又PD⊂平面PAD，

所以AE⊥PD.(5分)

(2)解：因为AH⊥PD，

由(1)知AE⊥平面PAD，

则∠EHA为EH与平面PAD所成的角.

在Rt△EAH中，AE=，

此时tan∠EHA===，

在Rt△AOE中，EO=AE·sin 30°=，AO=AE·cos 30°=，

又F是PC的中点，在Rt△ASO中，SO=AO·sin 45°=，

又SE===，

在Rt△ESO中，cos∠ESO===，

即所求二面角的余弦值为.(12分)

解法二：由(1)知AE，AD，AP两两垂直，以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，又E，F分别为BC，PC的中点，所以

A(0,0,0)，B(，-1,0)，C(，1,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)，E(，0,0)，

F，

所以=(，0,0)，

=.

所以cos〈m，〉===.

因为二面角E-AF-C为锐角，所以所求二面角的余弦值为.(12分)

一、选择题

1.D　【解析】由图像可知f(x)在(-∞，0)递减，在(0，+∞)递增，所以f(2a+b)<1即2a+b<4，原题等价于，求的取值范围.画出不等式组表示的可行区域，利用直线斜率的意义可得∈.

二、填空题

2.-1　【解析】思路分析：按导数乘积运算法则先求导，然后由已知条件构造关于k的方程求解.

f′(x)=(x+k)(x+2k)(x-3k)+x(x+2k)(x-3k)+x(x+k)(x-3k)+x(x+k)(x+2k)

故f′(0)=-6k3，又f′(0)=6，故k=-1.

三、解答题

3.解：(1)设投放B型电视机的金额为x万元，则投放A型电视机的金额为(10-x)万元，农民得到的总补贴f(x)=(10-x)+mln(x+1)=mln(x+1)-+1，(1≤x≤9).(5分)(没有指明x范围的扣1分)

(2)f′(x)=-==，

令y′=0，得x=10m-1(8分)

1°　若10m-1≤1即0

2°　若1<10m-1<9即

3°　若10m-1≥9即m≥1，则f(x)在[1,9]是增函数，当x=9时，f(x)有最大值.

因此，当0

当

当m≥1时，投放B型电视机9万元，农民得到的总补贴最大.(13分)

4.解：(1)依题意，得a=2，e==，∴c=，b==1;

故椭圆C的方程为+y2=1.(3分)

(2)方法一：点M与点N关于x轴对称，

设M(x1，y1)，N(x1，-y1)，不妨设y1>0.

由于点M在椭圆C上，

所以y=1-.(*)(4分)

由已知T(-2,0)，则=(x1+2，y1)，=(x1+2，-y1)，

∴·=(x1+2，y1)·(x1+2，-y1)=(x1+2)2-y=(x1+2)2-=x+4x1+3

方法二：点M与点N关于x轴对称，故设M(2cos θ，sin θ)，N(2cos θ，-sin θ)，

不妨设sin θ>0，由已知T(-2,0)，则

·=(2cos θ+2，sin θ)·(2cos θ+2，-sin θ)=(2cos θ+2)2-sin2θ=5cos2θ+8cos θ+3=52-.(6分)

故当cos θ=-时，·取得最小值为-，此时M，

又点M在圆T上，代入圆的方程得到r2=.

故圆T的方程为：(x+2)2+y2=.(8分)

(3)方法一：设P(x0，y0)，则直线MP的方程为：

y-y0=(x-x0)，

令y=0，得xR=，同理：xS=，(10分)

故xR·xS=(**)(11分)

又点M与点P在椭圆上，故x=4(1-y)，x=4(1-y)，(12分)

代入(**)式，得：xR·xS===4.

所以·=·==4为定值.(13分)

方法二：设M(2cos θ，sin θ)，N(2cos θ，-sin θ)，不妨设sin θ>0，P(2cos α，sin α)，其中sin α≠±sin θ.则直线MP的方程为：y-sin α=(x-2cos α)，

令y=0，得xR=，

同理：xS=，(12分)

故xR·xS===4.

所以·=·==4为定值.(13分)

5.解：(1)f的反函数g(x)=ln x.设直线y=kx+1与g(x)=ln x相切于点P(x0，y0)，则⇒x0=e2，k=e-2.所以k=e-2.(3分)

(2)当x>0，m>0时，曲线y=f(x)与曲线y=mx2(m>0)的公共点个数

即方程f(x)=mx2根的个数.

由f(x)=mx2⇒m=，令v(x)=⇒v′(x)=，

则v(x)在(0,2)上单调递减，这时v(x)∈(v(2)，+∞);

v(x)在(2，+∞)上单调递增，这时v(x)∈(v(2)，+∞).v(2)=.

v(2)是y=v(x)的极小值，也是最小值.(5分)

所以对曲线y=f(x)与曲线y=mx2(m>0)公共点的个数，讨论如下：

当m∈时，有0个公共点;

当m=时，有1个公共点;

当m∈时有2个公共点;(8分)

(3)令F(x)=x2h(x)，则F′(x)=x2h′(x)+2xh=

所以h=，故h′===

令G(x)=ex-2F(x)，则G′(x)=ex-2F′(x)=ex-2·=

显然，当0

当x>2时，G′(x)>0，G(x)单调递增;

所以，在(0，+∞)范围内，G(x)在x=2处取得最小值G(2)=0.

即x>0时，ex-2F(x)≥0.

故在(0，+∞)内，h′(x)≥0，

所以h(x)在(0，+∞)单调递增，

又因为h(2)==>，h(2)

所以h(e)>.(14分)高考数学试题由精品学习网收集整理!!!

相关推荐：

2013高考数学试题参考（附答案）