(时间：100分钟　满分：120分)

一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1.已知命题p：若x2+y2=0(x，y∈R)，则x，y全为0;命题q：若a>b，则1a<1b.给出下列四个复合命题：①p且q;②p或q;③綈p;④綈q.其中真命题的个数是(　　).高考数学试题由精品学习网收集整理!!!

A.1              B.2             C.3            D.4

解析　命题p为真，命题q为假，故p∨q真，綈q真.

答案　B

2.“α=π6+2kπ(k∈Z)”是“cos 2α=12”的(　　).

A.充分不必要条件   B.必要不充分条件

C.充要条件   D.既不充分也不必要条件

解析　当α=π6+2kπ(k∈Z)时，cos 2α=cos(4kπ+π3)=cos π3=12.反之当cos 2α=12时，有2α=2kπ+π3(k∈Z)⇒α=kπ+π6(k∈Z)，或2α=2kπ-π3(k∈Z)⇒α=kπ-π6(k∈Z)，故应选A.

答案　A

3.过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，如果x1+x2=6，那么|AB|等于(　　).

A.10             B.8             C.6            D.4

解析　由抛物线的定义得|AB|=x1+x2+p=6+2=8.

答案　B

4.函数f(x)=x3+ax2+3x-9，已知f(x)在x=-3处取得极值，则a等于(　　).

A.2               B.3             C.4            D.5

解析　f′(x)=3x2+2ax+3，∵f′(-3)=0.∴3×(-3)2+2a×(-3)+3=0，∴a=5.

答案　D

5.设斜率为2的直线l过抛物线y2=ax(a≠0)的焦点F，且和y轴交于点A，若△OAF(O为坐标原点)的面积为4，则抛物线方程为(　　).

A.y2=±4x   B.y2=±8x

C.y2=4x   D.y2=8x

解析　y2=ax的焦点坐标为(a4，0)，过焦点且斜率为2的直线方程为y=2(x-a4)，令x=0得y=-a2.∴12×|a|4×|a|2=4，∴a2=64，∴a=±8.

答案　B

6.函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内的极小值点共有(　　).

A.1个   B.2个

C.3个   D.4个

解析　在极小值点附近左负右正，有一个极小值点.

答案　A

7.设双曲线x2a2-y2b2=1(a>0，b>0)的渐近线与抛物线y=x2+1相切，则该双曲线的离心率等于(　　).

A.3               B.2               C.5               D.6

解析　双曲线x2a2-y2b2=1的渐近线方程为y=±bax，因为y=x2+1与渐近线相切，故x2+1±bax=0只有一个实根，∴b2a2-4=0，∴c2-a2a2=4，∴c2a2=5，∴e=5.

答案　C

8.双曲线x2a2-y2b2=1与椭圆x2m2+y2b2=1(a>0，m>b>0)的离心率互为倒数，那么以a、b、m为边长的三角形一定是(　　).

A.锐角三角形   B.钝角三角形

C.直角三角形   D.等腰三角形

解析　双曲线的离心率e21=a2+b2a2，椭圆的离心率e22=m2-b2m2，由已知e21e22=1，即a2+b2a2×m2-b2m2=1，化简，得a2+b2=m2.

答案　C

9.函数y=xln x在(0，5)上是(　　).

A.单调增函数

B.单调减函数

C.在0，1e上单调递增，在1e，5上单调递减

D.在0，1e上单调递减，在1e，5上单调递增

解析　f′(x)=ln x+x•1x=ln x+1(x>0).

令f′(x)=0，得x=1e，

∴在x∈0，1e上，f′(x)<0，在x∈1e，5，f′(x)>0，故选D.

答案　D

10.若0

A.2x>3sin x   B.2x<3sin x

C.2x=3sin x   D.与x的取值有关

解析　令f(x)=2x-3sin x，则f′(x)=2-3cos x.

当cosx<23时，f′(x)>0，

当cos x=23时，f′(x)=0，

当cos x>23时，f′(x)<0.

即当0

而f(0)=0，fπ2=π-3>0.故f(x)的值与x取值有关，即2x与sin x的大小关系与x取值有关.故选D.

答案　D

二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上)

11.给出下列结论：

①若命题p：∃x∈R，tan x=1;命题q：∀x∈R，x2-x+1>0，则命题“p∧綈q”是假命题;

②已知直线l1：ax+3y-1=0，l2：x+by+1=0，则l1⊥l2的充要条件是ab=-3;

③命题“若x2-3x+2=0，则x=1”的逆否命题为：“若x≠1，则x2-3x+2≠0”.

其中正确结论的序号为________(把你认为正确的结论的序号都填上).

解析　对于①，命题p为真命题，命题q为真命题，所以p∧綈q为假命题，故①正确;对于②，当b=a=0时，有l1⊥l2，故②不正确;易知③正确.所以正确结论的序号为①③.

答案　①③

12.与双曲线x2-y24=1有共同的渐近线，且过点(2，2)的双曲线的标准方程是______________.

解析　依题意设双曲线的方程x2-y24=λ(λ≠0)，将点(2，2)代入求得λ=3，所以所求双曲线的标准方程为x23-y212=1.

答案　x23-y212=1

13.曲线y=xx-2在点(1，-1)处的切线方程为________.

解析　y′=x-2-x(x-2)2=-2(x-2)2，∴y′|x=1=-2，

故所求切线方程为y+1=-2(x-1)，即2x+y-1=0.

答案　2x+y-1=0

14.在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：x225+y29=1的左、右焦点分别是F1、F2，P为椭圆C上的一点，且PF1⊥PF2，则△PF1F2的面积为______.

解析　∵PF1⊥PF2，∴|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2，由椭圆方程知a=5，b=3，∴c=4，

∴|PF1|2+|PF2|2=4c2=64，|PF1|+|PF2|=2a=10，解得|PF1||PF2|=18.∴△PF1F2的面积为12|PF1|•|PF2|=12×18=9.

答案　9

三、解答题(本大题共5小题，共54分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)

15.(10分)已知命题p：方程x22m+y29-m=1表示焦点在y轴上的椭圆，命题q：双曲线y25-x2m=1的离心率e∈(62，2)，若命题p、q中有且只有一个为真命题，求实数m的取值范围.

解　若p真，则有9-m>2m>0，

即00，

且e2=1+b2a2=1+m5∈(32，2)，即52

若p、q中有且只有一个为真命题，则p、q一真一假.

①若p真、q假，

则0

②若p假、q真，

则m≥3或m≤0，且52

故所求范围为：0

16.(10分)已知函数f(x)=ax-ln x，若f(x)>1在区间(1，+∞)内恒成立，求实数a的取值范围.

解　由f(x)>1，得ax-ln x-1>0.

即a>1+ln xx在区间(1，+∞)内恒成立.

设g(x)=1+ln xx，则g′(x)=-ln xx2，

∵x>1，∴g′(x)<0.

∴g(x)=1+ln xx在区间(1，+∞)内单调递减.

∴g(x)

即1+ln xx<1在区间(1，+∞)内恒成立，∴a≥1.

17.(10分)已知直线y=ax+1与双曲线3x2-y2=1交于A、B两点.

(1)求a的取值范围;

(2)若以AB为直径的圆过坐标原点，求实数a的值.

解　(1)由y=ax+1，3x2-y2=1消去y，

得(3-a2)x2-2ax-2=0.

依题意得3-a2≠0，Δ>0，即-6

(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1+x2=2a3-a2，x1x2=-23-a2.

∵以AB为直径的圆过原点，∴OA⊥OB，

∴x1x2+y1y2=0，

即x1x2+(ax1+1)(ax2+1)=0，

即(a2+1)x1x2+a(x1+x2)+1=0.

∴(a2+1)•-23-a2+a•2a3-a2+1=0，

∴a=±1，满足(1)所求的取值范围.故a=±1.

18.(12分)某公司在甲、乙两地销售同一种品牌的汽车，利润(单位：万元)分别为L1=5.06x-0.15x2和L2=2x，其中x为销售量(单位：辆).若该公司在这两地共销售15辆车，求该公司能获得的最大利润为多少万元?

解　设在甲地销售m辆车，在乙地销售(15-m)辆车，

则总利润y=5.06m-0.15m2+2(15-m)=-0.15m2+3.06m+30，所以y′=-0.3m+3.06.

令y′=0，得m=10.2.

当0≤m<10.2时，y′>0;

当10.2

故当m=10.2时，y取得极大值，也就是最大值.

又由于m为正整数，且当m=10时，y=45.6;

当m=11时，y=45.51.

故该公司获得的最大利润为45.6万元.

19.(12分)设圆C与两圆(x+5)2+y2=4，(x-5)2+y2=4中的一个内切，另一个外切.

(1)求圆C的圆心轨迹L的方程;

(2)已知点M(355，455)，F(5，0)，且P为L上动点，求||MP|-|FP||的最大值及此时点P的坐标.

解　(1)设圆C的圆心坐标为(x，y)，半径为r.

圆(x+5)2+y2=4的圆心为F1(-5，0)，半径为2，

圆(x-5)2+y2=4的圆心为F(5，0)，半径为2.

由题意得|CF1|=r+2，|CF|=r-2或|CF1|=r-2，|CF|=r+2，

∴||CF1|-|CF||=4.∵|F1F|=25>4，

∴圆C的圆心轨迹是以F1(-5，0)，F(5，0)为焦点的双曲线，其方程为x24-y2=1.

(2)由图知，||MP|-|FP||≤|MF|，

∴当M，P，F三点共线，且点P在MF延长线上时，|MP|-|FP|取得最大值|MF|，

且|MF|=(355-5)2+(455-0)2=2.

直线MF的方程为y=-2x+25，与双曲线方程联立得

y=-2x+25，x24-y2=1，整理得15x2-325x+84=0.

解得x1=14515(舍去)，x2=655.此时y=-255.

∴当||MP|-|FP||取得最大值2时，点P的坐标为

(655，- ).高考数学试题由精品学习网收集整理!!!

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