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考点一　定点与定值问题

1.(2013北京,19,14分)直线y=kx+m(m≠0)与椭圆W:+y2=1相交于A,C两点,O是坐标原点.

(1)当点B的坐标为(0,1),且四边形OABC为菱形时,求AC的长;

(2)当点B在W上且不是W的顶点时,证明:四边形OABC不可能为菱形.

解析　(1)因为四边形OABC为菱形,所以AC与OB相互垂直平分.

所以可设A,代入椭圆方程得+=1,即t=±.

所以|AC|=2.

(2)假设四边形OABC为菱形.

因为点B不是W的顶点,且AC⊥OB,所以k≠0.

由消y并整理得

(1+4k2)x2+8kmx+4m2-4=0.

设A(x1,y1),C(x2,y2),则

=-,=k·+m=.所以AC的中点为M.

因为M为AC和OB的交点,且m≠0,k≠0,所以直线OB的斜率为-.

因为k·≠-1,所以AC与OB不垂直.

所以OABC不是菱形,与假设矛盾.

所以当点B不是W的顶点时,四边形OABC不可能是菱形.

2.(2013安徽,21,13分)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的焦距为4,且过点P(,).

(1)求椭圆C的方程;

(2)设Q(x0,y0)(x0y0≠0)为椭圆C上一点.过点Q作x轴的垂线,垂足为E.取点A(0,2),连结AE.过点A作AE的垂线交x轴于点D.点G是点D关于y轴的对称点,作直线QG.问这样作出的直线QG是否与椭圆C一定有唯一的公共点?并说明理由.

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