2012年高三数学第一次月考试题及答案理科

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1、已知全集U= ，则正确表示集合 和 关系的韦恩(Venn)图是(   )

A.               B.                  C.                    D.

2、 已知i为虚数单位, 则复数i i 等于   (   )

A .           B.          C.          D.

3.命题“存在 ”的否定是(   )

A.存在                       B.不存在

C.对任意的                     D.对任意的

4、“ ”是“函数 在区间 上为增函数”的(  )

A.充分不必要条件           B.必要不充分条件

C.充要条件                 D.既不充分也不必要条件

5、设 且 ，则锐角x为(   )

A. 　         B. 　　     C. 　 　   D.

6、某社区现有 个住户，其中中等收入家庭200户、低收入家庭160户，其他为高收入家庭。在建设幸福广东的某次分层抽样调查中，高收入家庭被抽取了6户，则该社区本次被抽取的总户数为  (   )

A.              B.             C.           D.

7、设 是公差不为0的等差数列， 且 成等比数列，则 的前 项和 =(   )

A.            B.             C.          D.

8、已知函数 ，若实数 是方程 的解，                            且 ，则 的值 (    )

A.恒为负        B.等于零     C.恒为正    D.不小于零

二、填空题: 本大题共6小题，每小题5分，满分30分.

(一)必做题

9、已知全集 ，函数 的定义域为集合 ，函数 的定义域为集合 ，则集合 =______________

10、已知函数 的定义域为{0，1，2}，那么该函数的值域为_____________

11、从100张卡片(1号到100号)中任取1张，取到卡号是7的倍数的概率是       .

12、已知 为 上的减函数，则满足 的实数 的取值范围是______

13、不等式 的解集为

(二)选做题

14、(极坐标与参数方程)在极坐标系中，点 到直线 的距离为         .

15、(几何证明选讲) 两弦相交于圆内一点，一弦被分为12和18两段，另一弦被分为3:8，则另一弦的长是________.

三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明，证明过程或演算步骤

16、(本小题满分12分)已知函数  (其中A>0, )的图象如图所示。

(Ⅰ)求A，w及j的值;

(Ⅱ)若cosa= ,求 的值。

17、某食品企业一个月内被消费者投诉的次数用 表示.据统计，随机变量 的概率分布如下：

0 1 2 3

0.1

0.3

(1)求 的值和 的数学期望;

(2)假设一月份与二月份被消费者投诉的次数互不影响，求该企业在这两个月内共被消费者投诉3次的概率.

18、如图，四棱锥 的底面是矩形， 底面 ， 为 边的中点， .

(Ⅰ)求证： 平面 ;

(Ⅱ)求二面角 的余弦值的大小.

19、已知等差数列 满足 ， 为 的前 项和.

(Ⅰ)求通项 及 ;

(Ⅱ)设 是首项为1，公比为2的等比数列，求数列 的通项公式及其前 项和 .

20、已知函数  是 的一个极值点.

(1)求函数 的单调区间;

(2)若当 时， 恒成立，求 的取值范围.

21、已知圆 直线

(Ⅰ)求圆 的圆心坐标和圆 的半径;

(Ⅱ)求证:直线 过定点;

(Ⅲ)判断直线 被圆 截得的弦何时最长,何时最短?并求截得的弦长最短时 的值,以及最短长度.

2012—2013学年高三级第一次月考参考答案

三、简答题

17.(1)解：由概率分布的性质有0.1+a +2a +0.3 =1，解得a=0.2.

所以 的概率分布为

0 1 2 3

0.1 0.2 0.4 0.3

所以 .

(2)解：设事件 表示“两个月内共被投诉3次”，事件 表示“两个月内有一个月被投诉3次，另外一个月被投诉0次”，事件 表示“两个月内有一个月被投诉2次，另外一个月被投诉1次”，

则由事件的独立性得， ，

，

所以 .

所以该企业在这两个月内共被消费者投诉3次的概率为0.22.

18、由已知∠SBA=45°，所以AB=SA=1易求得，AP=PD= ，…………………2分

又因为AD=2，所以AD2=AP2+PD2，所以 .   …………………4分

因为SA⊥底面ABCD, 平面ABCD,

所以SA⊥PD, ………………………………………5分

由于SA∩AP=A     所以 平面SAP. ……6分

(Ⅱ)设Q为AD的中点,连结PQ, …………7分

由于SA⊥底面ABCD,且SA 平面SAD,

则平面SAD⊥平面PAD  …………………8分

, PQ⊥平面SAD， SD 平面SAD,       .

过Q作QR ，垂足为 ，连接 ，则 .

又 ， ，

所以 .  …………………13分

所以二面角A-SD-P的余弦为 . …………………14分

解法二：因为 底面 ，

所以，∠SBA是SB与平面ABCD所成的角.     ……1分

由已知∠SBA=45°，所以AB=SA=1建立空间直角坐标系(如图)

由已知，P为BC中点.

于是A(0,0,0)、B(1,0,0) 、P(1,1,0)、D(0,2,0)、S(0,0,1)……………3分

(Ⅰ)易求得 ,

， . …………………4分

因为 ， .

所以 ， .

由于 ，所以 平面 .  …………………6分

(Ⅱ)设平面SPD的法向量为 .

由 ,得 解得 ，所以 .  ……9分

又因为AB⊥平面SAD，所以 是平面SAD的法向量，

易得 . …………………9分

所以 .  …………………13分

所以所求二面角 的余弦值为 .…………………14分

20、解：(1)∵ 且 是 的一个极值点

∴  ， -------2分

∴ ------4分

由 得 或 ，∴函数 的单调增区间为 ， ;--6分

由 得 ，∴函数 的单调减区间为 ， ----8分

(2)由(1)知，函数 在 上单调递减，在 上单调递增

∴当 时，函数 取得最小值， = ， ----10分

时， 恒成立等价于 -----12分

即 。-------14分

21、(I)圆 ：

可变为： ………1分

由此可知圆 的圆心 坐标为 ，半径为 ………3分

(Ⅱ)由直线

可得 ………4分

对于任意实数 ，要使上式成立，必须 ………5分

解得： ………6分

所以直线 过定点  ………7分

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