18.(本小题共12分)某同学在一次研究性学习中发现,以下五个式子的值都等于同一个常数 . ① ;

② ;

③ ;

④ ;

⑤ .

(1)从上述五个式子中选择一个,求出常数 ;

(2)根据(1)的计算结果,将该同学的发现推广为一个三角恒等式,并证明你的结论.

19.(本小题共12分)已知函数

(1)若 求 在 处的切线方程;

(2)若 在区间 上恰有两个零点,求 的取值范围.

20.(本小题13分)如图，过抛物线 的对称轴上任一点 作直线与抛物线交于 、 两点，点Q是点P关于原点的对称点。

(1)设 ，证明： ;

(2)设直线AB的方程是 ，过 、 两点的圆C与抛物线在点A处有共同的切线，求圆C的方程。

21.(本小题14分)已知函数 ( ).

(1)当 时,求函数 的单调区间;

(2)当 时, 取得极值.

① 若 ,求函数 在 上的最小值;

② 求证:对任意 ,都有 .

理科数学解答题参考答案

三、解答题(本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程)

16.解:(1)容易知道函数 是奇函数、增函数。

(2)由(1)可知：当 时， 的值为负

且

17.证明:(1) ∵ , 是 的中点, ∴ .

∵ 底面 ,∴ .又由于 , ,

故 底面 ,

所以有 .又由题意得 ,故 .

于是,由 , , 可得 底面 .

故可得平面 平面

(2)取CD的中点F，连接AC与BD，交点为M，取DM的中点N，连接EN，FN，易知 为二面角 的平面角，又 ， ，由勾股定理得 ，在 中，

所以二面角 的余弦值为

(用空间向量做，答案正确也给6分)

18.解： (1)选择②式计算

.

(2)猜想的三角恒等式为

.

证明：

19.解: (1)

在 处的切线方程为

(2)由

由 及定义域为 ,令

①若 在 上, , 在 上单调递增,

因此, 在区间 的最小值为 .

②若 在 上, , 单调递减;在 上, , 单调递增,因此 在区间 上的最小值为

③若 在 上, , 在 上单调递减,

因此, 在区间 上的最小值为 .

综上,当 时, ;当 时, ;

当 时,

可知当 或 时, 在 上是单调递增或递减函数,不可能存在两个零点.

当 时,要使 在区间 上恰有两个零点,则

∴  即 ,此时, .

所以, 的取值范围为

20.解: (1) 由题意，可设直线 的方程为 ，代入抛物线方程 得

①

设 、 两点的坐标分别是 ，则 是方程①的两根，所以

由 得 ，又点Q是点P关于原点的对称点，故点Q的坐标为 ，从而

所以

(2) 由 得 的坐标分别为

抛物线 在点A处切线的斜率为3.

设圆C的方程是 ，则

解之得

故，圆C的方程是

21.解：(1)

当 时,

解 得 或 ,  解 得

所以 单调增区间为 和 ,单调减区间为

(2)①当 时, 取得极值, 所以

解得 (经检验 符合题意)

+ 0 - 0 +

↗  ↘  ↗

所以函数 在 , 递增,在 递减

当 时, 在 单调递减,

当 时

在 单调递减,在 单调递增,

当 时, 在 单调递增,

综上, 在 上的最小值

②令  得 (舍)

因为   所以

所以,对任意 ,都有

2014届高三上册数学第一次月考理科试题（带答案）就分享到这里了，更多相关信息请继续关注高考数学试题栏目！