广雅中学2014-2015高三数学10月月考试卷（理）

本试卷共4页，21小题，满分150分。考试用时120分钟。

【注意事项】

1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考号填写在答题卡上。

2.选择题的答案一律做在答题卡上，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑;如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案。

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在另发的答题卷各题目指定区域内的相应位置上;如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效。

4.作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答。漏涂、错涂、多涂的，答案无效。

5.考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卷和答题卡一并收回。

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.设集合 , ,则

A.         B.        C.        D.

2.若复数 ， ，则

A.           B.         C.        D.

3.下列函数中，在区间 上为增函数的是

A.   B.     C.    D.

4. 已知 ，则

A.       B.        C.        D.

5.设 是两条不同的直线，  是两个不同的平面,下列命题中错误的是

A. 若 , , ,则     B.若 , , ,则

C.若 , ,则             D.若 , , ,则

6.巳知双曲线 的中心在坐标原点，实轴在 轴上，离心率为 ，且 上一点到 的两个焦点的距离之差为12，则双曲线 的方程为

A. 　　B. 　　C. 　　D.

7.在平面直角坐标系 上的区域 由不等式组 给定.若 为 上的动点，点 的坐标为 ，则 的最大值为

A. 　　      B. 　　　   　C. 　　  　 D.3

8.若 是一个集合， 是一个以 的某些子集为元素的集合，且满足：① 属于 ， 属于 ;② 中任意多个元素的并集属于 ;③ 中任意多个元素的交集属于 .则称 是集合 上的一个拓扑.已知集合 ，对于下面给出的四个集合 ：

① ;

② ;

③ ;

④ .

其中是集合 上的拓扑的集合 的序号是

A. ①            B. ②             C. ②③          D. ②④

二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分.

(一)必做题(9～13题)

9. 计算                 .

10.函数 的单调递增区间是       .

11.执行如图所示的程序框图,若输入 的值为 ,则输出 的值为

______.

12.曲线 过点 的切线方程为                .

13.某同学为研究函数

的性质，构造了如图所示的两个边长为1的正方形 和 ，

点 是边 上的一个动点，设 ，则 . 请

你参考这些信息，推知函数 的值域是       .

(二)选做题(14～15题，考生只能从中选做一题)

14.(坐标系与参数方程选做题)在直角坐标系中，曲线 的参数方程为 为参数)，以平面直角坐标系的原点为极点，  轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 的方程为 ，则曲线 和 交点的直角坐标为_________ .

15. (几何证明选讲选做题)如图所示，圆 的直径 ，

为圆周上一点，  ，过 作圆的切线 ，过 作 的

垂线 ，垂足为 ，则线段 的长为        .

三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.

16.(本小题满分12分)

已知函数 ( , , )的图象与 轴的交点为 ，它在 轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为

和 .

(1)求函数 的解析式;

(2)若锐角 满足 ，求 的值.

17.(本小题满分12分)

每年5月17日为国际电信日，某市电信公司每年在电信日当天对办理应用套餐的客户进行优惠，优惠方案如下：选择套餐一的客户可获得优惠200元，选择套餐二的客户可获得优惠500元，选择套餐三的客户可获得优惠300元. 根据以往的统计结果绘出电信日当天参与活动的统计图，现将频率视为概率.

(1) 求某两人选择同一套餐的概率;

(2) 若用随机变量 表示某两人所获优惠金额的总和，求 的分布列和数学期望.

18.(本小题满分14分)

如图，在四棱柱 中，侧面 ⊥底面 ， ，底面 为直角梯形，其中 ， ，

为 中点.

(1)求证： 平面  ;

(2)求锐二面角 的余弦值.

19.(本小题满分14分)

已知数列 满足 ，

(1)设 试用 表示 (即求数列 的通项公式);

(2)求使得数列 递增的所有 的值.

20.(本题满分14分)

已知椭圆 经过点 ，且椭圆的离心率 .

(1)求椭圆的方程;

(2)过椭圆的右焦点 作两条互相垂直的直线，分别交椭圆于点 及 ，设线段 ， 的中点分别为 .求证：直线 恒过一个定点.

21. (本题满分14分)

已知函数 .

(1)若函数 在定义域内为增函数，求实数 的取值范围;

(2)在(1)的条件下，且 ， ， ，求 的极小值;

(3)设 (  )，若函数 存在两个零点 ，且满足 ，问：函数 在 处的切线能否平行于 轴?若能，求出该切线方程，若不能，请说明理由.

广东广雅中学2014—2015学年度上学期高三10月月考

数学(理科)试题参考答案及评分标准

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分.

题号 1 2 3 4 5 6 7 8

答案 A  C  A A D B C D

二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分.

9.       10.   (或 )    11. 15     12.       13.       14.       15.

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分.

1.A.【解析】易得 , ,所以  ,故选A.

2.C.【解析】

3.A.【解析】B、C为减函数，D为双钩函数，双钩函数在 上先减后增.

4.A.解析： ，即 ，

5.D.解析】ABC是正确命题,选D.

6.B.【解析】 ， ， ， ，则所求双曲线方程为 .

7.C.作出可行域 ，由图像知，当点 的坐标为 或 时， 的最大值为 .

8.D. 解析：①不是拓扑，因为 ， ，但 ;②是拓扑，可以逐一验证三条性质都满足;③不是拓扑，因为全集 ;④是拓扑，可以逐一验证三条性质也都满足.

二、填空题：

9.  .解：

10.【解析】 . ，即 ， ，即 .

11. 15.解析：第一次循环后: ;第二次循环后: ;

第三次循环后: ;第四次循环后: ;故输出15.

12. ，解析：设切点为 ，则切线为 ，把 代入上式，得 ，故切线方程为

13.    解析：根据图形可知，当 时(点P在BC中间)， ，当 或 时(点P在B点或C点)， ，∴ 的值域是 .