14. .考查极坐标方程. ，联立方程很快得出结果

15. .解：在 中， ，故 ，故 ，

.由 是圆 的切线知， ，故 ， .

三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.

16. 解：(1)由题意可得 ， 即 ，       …………3分

，  由 且 ，得 ………5分

函数 .                                       …………6分

(2)由于 ，即 且 为锐角，所以  …………8分

…………10分

.即 的值为         …………12分

17.  (本小题满分12分)

【命题意图】本小题主要考查学生对概率知识的理解，通过分布列的计算，考查学生的数据处理能力.

解：(1) 由题意可得某两人选择同一套餐的概率为

.            …………4分

(2) 由题意知某两人可获得优惠金额 的可能取值为400，500，600，700，800，1000.

，

，

，     …………8分

综上可得 的分布列为：

400 500 600 700 800 1000

…………10分

.

即 的数学期望为775.              …………12分

18.(1)证明：如图，连接 ，则四边形 为正方形，所以 ，且 ，…………2分

故四边形 为平行四边形，所以 .…4分

又 平面 ， 平面 ，

所以 平面 .                    ……………6分

(2)因为 为 的中点，所以 ，又侧面 ⊥底面 ，交线为 ，故 ⊥底面 。                      …………7分

以 为原点，所 在直线分别为 轴， 轴， 轴建立如图所示的坐标系， 则  ，

，……8分

设 为平面 的一个法向量，由 ，得 ，

令 ，则  .  ……10分

又设 为平面 的一个法向量，由 ，得 ，令 ，

则 ，     …………12分

则 ，

故所求锐二面角 的余弦值为 .            …………14分

注：第2问用几何法做的酌情给分.

19.解：(1)                             …………1分

即 变形得，      …………3分

若 ，则                             …………4分

若 ，则数列 是以 为首项的，

为公比的等比数列…………5分

故 ，因而， ;  ……6分

(2)法一：                  ……7分

为奇数时， ，令 ， ……8分

得 ，即 对所有的正奇数恒成立，…9分

因为 对 单调递减，所以 ，即 。………10分

为偶数时， ，令 ，     ……11分

得 ，即 对所有的正偶数恒成立，…12分

因为 对 单调递减，所以 ，即 。………13分

综上， 时，数列 递增。                                 …………14分

法二：由(1)知 ，

从而  ，……7分

故 ，            …………8分

设 ，则 ，下面说明 ，……9分

讨论：

若 ，则A<0,此时对充分大的偶数n， ，有 ，这与 递增的要求不符;                                            …………11分

若 ，则A>0,此时对充分大的奇数n， ，有 ，这与 ，递增的要求不符;                                            …………13分

若 ，则A=0， ，始终有 。综上， 。…14分

注意：直接研究通项，只要言之成理也相应给分。

20.解：(1)由 ，得 ，

即 ，即 . …1分

由椭圆过点 知， . ……2分

联立(1)、(2)式解得 。   ……3分

故椭圆的方程是 .      ……4分

(2)直线 恒过一个定点 .      ……5分

证明 椭圆的右焦点为 ，分两种情况.

1°当直线 的斜率不存在时， : ，则  : .由椭圆的通径易得 ，又 ，此时直线 恒过一个定点 ;                 ……6分

2°当直线 的斜率存在时，设 :  ，则  ： .

又设点 .

联立方程组

消去 并化简得 ， ………8分

所以 .

.

.                                      …………10分

由题知，直线 的斜率为 ，同理可得点 .…………11分

.

，                       …………12分

即 .

令 ，解得 .

故直线 恒过一个定点 ;                             …………13分

综上可知，直线 恒过一个定点 .                     …………14分

21.(本题满分14分)

解：(1)

由题意，知 恒成立，即 . …………2分

又 ，当且仅当 时等号成立.

故 ，所以 .                      …………4分

(Ⅱ)由(Ⅰ)知， 令 ，则 ，则

…………5分

由 ，得 或 (舍去)， ，

①若 ，则 单调递减; 在 也单调递减;

②若 ，则 单调递增.  在 也单调递增;

故 的极小值为 .                    …………8分

(3)法一：设 在 的切线平行于 轴，其中 结合题意， ,相减得 ，即 .                          …………9分

,又 ,

所以

设 ，              …………11分

设 ，

所以函数 在 上单调递增，

因此， ，即 也就是， ， ……13分

所以 无解.

所以 在 处的切线不能平行于 轴.                      ……14分

法二：

分析：即证是否存在 使 ，因为 时 单调递减，且 ，所以即证是否存在 使 。即证否存在 使 。

证明： .

的变化如下：

0

 

↗  ↘

即 在 单调递增，在 单调递减。又 且

所以  。                                          …………10分

构造函数 ，其中

即

，当且仅当 时 ，

故 在 单调增，所以 。           …………12分

所以 时， 。又 ，所以 ，

所以 。                            …………13分

因为 ，所以根据 的单调性知 ，即 。

又 在 单调递减，所以 .

即函数 在 处的切线不能平行于 轴。          …………14分

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