培正中学2015届高三数学第二次月考试卷(理科)

一、选择题(每小题5分，满分40分)

1.对于集合A={2，4，6}，若a A，则6-a A，那么a的值是

A、2  B、4  C、6  D、2或4

2. 设 是虚数单位，则“ ”是“复数 为纯虚数”的  条件.

A、充分不必要  B、必要不充分  C、充要 D、既不充分也不必要

3. 若向量 ，则

A、   B、    C、    D、

4.  某工厂生产甲、乙、丙三种型号的产品，产品数量之比为3：5：7，现用分层抽样的方法抽出容量为n的样本，其中甲种产品有18件，则样本容量n=

A、45  B、54  C、90  D、126

5. 已知a>0，x，y满足条件 ，若 的最小值为1，则a=

A、1  B、2  C、   D、

6.  是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是

A、   B、

C、 共面  D、

7. 若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是

A、     B、    C、     D、

8. 若 ，则 的最小值为 (        )

A、7   B、   C、  D、5

二、填空题：(每小题5分，满分30分)

(一)必做题(9～13题)

9. 不等式 的解集为                    .

10. 从1 ,2 ,3 ,4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率为

11. 已知 是递增等比数列， ，则此数列的公比q=      .

12. 若命题“存在 ，使 ”是假命题，则实数m的取值范围为                    .

13. 已知实数a ≠ 0，函数 若 ，则a的值为      .

(二)选做题(14～15题，考生从中选做一题，如果两题都做了，只批改第14题)

14. 在极坐标系 中，曲线 与 的交点的极坐标为                 .

15. 如图1所示，AB是圆O的直径，点C在圆O上，

延长BC到D使BC=CD，过C作圆O的切线交

AD于E.若AB=6，ED=2，则BC=         .

三、解答题：(共6小题，满分80分)

16.(本小题12分)

已知向量 ， ，设函数 .

(1) 求 的最小正周期;      (2) 求 在 上的最大值和最小值.

17. (本小题13分) 某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图2所示，其中成绩分组区间是：[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100].

(1) 求图中a的值;

(2) 根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均分;

(3) 若这100名学生语文成绩某些分数段的人数(x)与数学成绩相应的分数段的人数(y)之比如下表所示，求数学成绩在[50,90)之外的人数.

分数段 [50,60) [60,70) [70,80) [80,90)

x:y 1:1 2:1 3:4 4:5

18. (本小题14分) 如图3所示，在四棱锥P-ABCD中，底面是直角梯形ABCD，其中AD⊥AB，CD∥AB,AB=4,CD=2,侧面PAD是边长为2的等边三角形，且与底面ABCD垂直，E为PA的中点.

(1) 求证：DE∥平面PBC;

(2) 求三棱锥A-PBC的体积.

19.(本题13分) 已知a为实常数， 是定义在R上的奇函数，当x<0时， ，若 对一切 成立，求实数a的取值范围。

20.(本题14分)数列 的前n项和记为 .

(1) 求 的通项公式;

(2) 等差数列 的各项为正，其前n项和为Tn，且T3 =15，又 ， ， 成等比数列，求Tn

21.(本题14分) 设 .

(1) 若 在 上是单调减函数，求实数a的取值范围.

(2) 当 时， 在[1,4]上的最小值为 ，求 在该区间的最大值.

参考答案：

一、选择题：1、D;2、B;3、A;4、C;5、D;6、B;7、C;8、A

二、填空题：9、 ; 10、 ; 11、 ; 12、 ;

13、 ;   14、 ;  15、

三、解答题：

16. (2013 陕西，12分)

(1) 函数 的最小正周期 .

.

由正弦函数的性质，知当 时， 取得最大值为1.

而当 时， 取得最小值为 .

17. (2012 广东，13分)

解：(1) 由频率分布直方图可知： ，所以a=0.005

(2) 该100名学生的语文成绩的平均分约为：

(3) 由频率分布直方图及已知的语文成绩、数学成绩分布在各分数段的人数比，可得下表：

分数段 [50,60) [60,70) [70,80) [80,90)

x 5 40 30 20

x:y 1:1 2:1 3:4 4:5

y 5 20 40 25

于是数学成绩在[50,90)之外的人数为100-(5+20+40+25)=10

18. (本小题14分)

(1)证明：(方法一)：取PB的中点F，连接EF，CF.

∵点E，F分别是PA，PB的中点

∴EF//AB，且

又CD//AB，且

∴EF//CD,且EF=CD

∴四边形CDEF是平行四边形，∴DE//CF.

又

∴DE//平面PBC.

(方法二)：取AB的中点F，连接DF，EF.

在直角梯形ABCD中，CD∥AB，且AB=4，CD=2，

所以BF∥CD，且BF=CD.

所以四边形BCDF为平行四边形，所以DF∥BC.

在△PAB中，PE=EA，AF=FB，所以EF∥PB.

又DF∩EF=F，PB∩BC=B，

所以平面DEF∥平面PBC.

因为DE 平面DEF，所以DE∥平面PBC.

(方法三)：

(2) 取AD的中点O，连接PO.

在△PAD中，PA=PD=AD=2，所以PO⊥AD，PO=

又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，

所以PO⊥平面ABCD，所以PO就是三棱锥P-ABC的高.

在直角梯形ABCD中，CD∥AB，且AB=4，AD=2，AB⊥AD，

所以 .

故 .

19. (本题14分)

解： .    .

又 是定义在R上的奇函数.

，∵ ，∴函数 的最小值为

∵ 对一切 成立

∴

即

故所求a的取值范围为

20. (本题14分)

解：(1) 由 ，可得 ，

两式相减得 ，则 .

又 ， .

故 是首项为1，公比为3的等比数列， .

(2) 设 的公差为d.

由T3 =15，即 ，可得 ，

故 ，又 ，

由 ， ， 成等比数列可得

解得d=2或d=-10

∵等差数列的各项为正，∴d>0，

∴d=2，b1=3,

 

21.(本题14分)

解：(1) 由 .

当 时， 的最大值为 .

因为 在 上是单调减函数，则 在 上成立，

所以 ，解得 ，故所求实数a的取值范围为 .

(2) 令 .

因为当 时 ，当 时

所以 在 上单调递减，在 上单调递增.

当 时，有 ，所以 在[1,4]上的最大值为 ，

又 .

所以 在[1,4]上的最小值为 .

得 ，从而 在[1,4]上的最大值为 .

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