桂林中学2014年秋高三数学10月月考卷（文科）

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3-4页。试卷满分150分。考试时间120分钟。

第I卷(选择题，共60分) s

一、选择题：(本大题共12小题，每题5分，满分60分)

1.设集合 ， ，则 等于  (     )

A.     B.     C.    D.

2. 已知 为虚数单位，复数 的共轭复数为 ，则  (    )

A.        B.        C.       D.

3. 设 ， ， ，若 ∥ ，则 (     )

A.          B. 2       C. 1       D. 0

【解析】∵ ， ， ∥ ，∴ ，

即 ，

又∵ ，∴ ， .

考点：1.平面向量共线的坐标表示;2.三角恒等变形.

4. 设曲线 在点 处的切线与直线 垂直，则 (    )

A. 2      B.         C.        D.

5. 下列命题正确的是

A. “ ”是“ ”的必要不充分条件

B. 对于命题p： ，使得 ，则 ： 均有

C. 若 为假命题，则 均为假命题

D. 命题“若 ，则 ”的否命题为“若 则

6. 若将函数 的图象向右平移 个单位，所得图象关于 轴对称，则 的最小正值是(   )

A.        B.        C.      D.

【解析】 ，向右平移 个单位后，得到 的函数图像，∵ 函数图像关于 轴对称，

∴当 时， ，即 ， ，

∴当 时， 有最小正值 .

考点：1.三角恒等变形;2.三角函数的图像和性质.

7. 设有算法如图所示：如果输入A=144，B=39，则输出的结果是(  )

A.144       B.3       C.0      D.12

【解析】第一轮：当输入 时，则 ，此时 ;第二轮： ，此时 ;第三轮： ，此时 ;第四轮： ，此时 ，所以输出3，故正确答案为B. 【答案】B

8. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的

是某几何体的三视图，则此几何体的体积为(　　)

A.6　　　　B.9

C.12       D.18

解析：由三视图可知该几何体为底面是斜边为6的等腰直角三角形，高为3的三棱锥，其体积为13×12×6×3×3=9.

9. 已知等差数列 的前 项和为 ，若 ，则 (    )

A.            B.                 C.        D.

【解析】设 = ，由题知， ，解得A=1,B=0,∴ 49，考点: 等差数列前n项和公式

10. 已知函数 ， .若方程 有两个不相等的实根，则实数 的取值范围是(    )

A.       B.       C.        D.

【答案】B.

【解析】如图，由已知，函数 ， 的图象有两个公共点，画图可知当直线介于 ， 之间时，符合题意，故选B.

考点：1.函数与方程;2.数形结合的数学思想.

11.函数 的定义域为 ， ，对任意 ， ，则  的解集为(    )

A.      B.       C.        D.

【解析】设 ， ，即 在R上为增函数,又 ， 的解集为 ，即    的解集为 .

考点：利用导数求解不等式.

12.设函数 的定义域为 ,若函数 满足条件：存在 ,使 在  上的值域是 则称 为“倍缩函数”，若函数 为“倍缩函数”，    则 的范围是(    )

A.          B.                    D.

【解析】 函数 为“倍缩函数”，且满足存在 ,使 在  上的值域是 , 在 上是增函数;

即 ;

方程 有两个不等的实根，且两根都大于 ;

设 ,    有两个不等的实根，且两根都大于 ;

即   解得 ,故选A.【答案】A

考点：1.函数的值域;2.二次方程根的问题.

第Ⅱ卷(非选择题  共90分)

二、填空题：(本大题共4小题，每题5分，满分20分)

13. 设 为常数，若点F(5,0)是双曲线 的一个焦点，则 =        .

【答案】16.

【解析】直接由点F(5,0)是双曲线 的一个焦点及 可得， ，解得 .

考点：双曲线的简单性质.

14. 已知 满足 ,则 的最大值为             .

【解析】画出可行域如图所示，目标函数 过点B处时取得最大值，最大值为3. 【答案】3

考点：线性规划.

15. 函数 的部分图象如右图所示，设 是图象的最高点， 是图象与 轴的交点，则  (   )

【解析】过 作 的垂线，垂足为 ，∵ ， ， ， ， ， ，

∴ .

考点：1.三角函数的周期;2.两角和的正切公式.

16. 已知函数 ， .若不等式 在

上恒成立，则实数m的取值范围为

【解析】

∵ ， ∴ ， ∴ ，

∴ ， .

∵不等式 在 上恒成立，∴ 在 上恒成立，

即 在 上恒成立.

因为 在 上的最小值是2，最大值是3， ∴ .

三、解答题：(本大题共6小题，满分70分)

17.(本题满分10分)

在△ABC中，内角 所对的边分别为 ，已知 .

(1)求证： 成等比数列;

(2)若 ，求△ 的面积S.

解：(1)由已知得： ，

，

，

再由正弦定理可得： ，

所以 成等比数列.                                            6分

(2)若 ，则 ，

∴ ，

，

∴△ 的面积 .                    12分

考点：(1)证明三个数成等比数列;(2)求三角形的面积.

18.(本题满分12分)

已知数列 的前n项和 (其中c，k为常数)，且 2=4， 6=8 3

(Ⅰ)求 ;

(Ⅱ)求数列 的前n项和Tn.

【答案】(Ⅰ) ;(Ⅱ) .

【解析】

试题分析：(Ⅰ)先根据前n项和求出数列的通项表达式;再结合a2=4，a6=8a3求出c，k，即可求出数列的通项;

(Ⅱ)由(1)知数列 是等比数列,从而数列 就是由一等差数列与一等比数列对应项的积构成的新数列,所以其前n项和Tn,采用乘公比错位相减法求和即可.

试题解析：(Ⅰ)当 时，

则      ，

，∴c=2.∵a2=4，即 ，解得k=2，∴ (n>1)

当n=1时，      综上所述

(Ⅱ) ，则

(1) (2)得

考点：1.等比数列的通项公式;2.数列的求和.

19.(本题满分12分)

如图，菱形ABCD的边长为4，∠BAD=60°，AC∩BD=O.将菱形ABCD沿对角线AC折起，得到三棱锥B﹣ACD，点M是棱BC的中点，DM=2 .

(1)求证：OM∥平面ABD;

(2)求证：平面DOM⊥平面ABC;

(3)求三棱锥B﹣DOM的体积.

【解析】(1)利用三角形中位线定理，证出OM∥AB，结合线面平行判定定理，即可证出OM∥平面ABD.

(2)根据题中数据，算出 ，BD=2， ，AB=2，从而得到 ，可得OD⊥OM.结合OD⊥AC利用线面垂直的判定定理，证出OD⊥平面ABC，从而证出平面DOM⊥平面ABC.

(3)由(2)得到OD为三棱锥D-BOM的高.算出△BOM的面积，利用锥体体积公式算出三棱锥D-BOM的体积，即可得到三棱锥B-DOM的体积.

试题解析：(1)∵O为AC的中点，M为BC的中点，∴OM∥AB.

又∵OM⊄平面ABD，AB⊂平面ABD，∴OM∥平面ABD.

(2)∵在菱形ABCD中，OD⊥AC，∴在三棱锥B-ACD中，OD⊥AC.

在菱形ABCD中，AB=AD=4，∠BAD=60°，可得BD=4.

∵O为BD的中点，∴DO= ，BD=2.∵O为AC的中点，M为BC的中点，∴OM= ，AB=2.

因此， ，可得OD⊥OM.∵AC、OM是平面ABC内的相交直线，∴OD⊥平面ABC.

∵OD⊂平面DOM，∴平面DOM⊥平面ABC.

(3)由(2)得，OD⊥平面BOM，所以OD是三棱锥D-BOM的高.

由OD=2， ，

所以 .

考点：线面平行问题;面面垂直问题;三棱锥的体积.

20.(本题满分12分)

对某校高三年级学生参加社区服务次数进行统计，随机抽取 名学生作为样本，得到这 名学生参加社区服务的次数.根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图如下：

(Ⅰ)求出表中 及图中 的值;

(Ⅱ)若该校高三学生有240人，试估计该校高三学生参加社区服务的次数在区间  内的人数;

(Ⅲ)在所取样本中，从参加社区服务的次数不少于20次的学生中任选2人，求至多一人参加社区服务次数在区间 内的概率.

【答案】(Ⅰ) ,p=0.25,a=0.12; (II) 人; (III) .

【解析】

试题分析：(I)根据频率，频数和样本容量之间的关系即频率等于频数除以样本容量，写出算式，求出式子中的字母的值.

(II)根据该校高三学生有240人，分组[10，15)内的频率是0.25，估计该校高三学生参加社区服务的次数在此区间内的人数为60人.

(III)这个样本参加社区服务的次数不少于20次的学生共有m+2=6人，设出在区间[20，25)内的人为a1，a2，a3，a4，在区间[25，30)内的人为b1，b2，列举出所有事件和满足条件的事件，得到概率.

试题解析：(Ⅰ)由分组 内的频数是4，频率是0.1知， ，所以

所以 ， .

所以

(Ⅱ)因为该校高三学生有240人，分组 内的频率是 ，

所以估计在此区间内的人数为 人.

(Ⅲ)这个样本参加社区服务的次数不少于20次的学生共有 人，

设在区间 内的人为 ，在区间 内的人为 .

则任选 人共有

，共15种情况，

而两人都在 内只能是 一种，所以所求概率为

考点：1.频率分布表与频率分布直方图;2.等可能事件的概率.

21.(本题满分12分)

设函数 ， .

(1)当 ( 为自然对数的底数)时，求 的极小值;

(2)讨论函数 零点的个数.

【答案】(1)极小值 ;

(2)①当 时， 无零点，

②当 或 时， 有且仅有 个零点，

③当 时， 有两个零点.

【解析】

试题分析：(1)要求 的极小值，可以通过判断其单调性从而求得其极小值，对 求导，可知 ，再通过列表即可得当 时， 取得极小值 ;(2)令 ，可得 ，因此要判断函数 的零点个数，可通过画出函数 的草图来判断，同样可以通过求导判断函数 的单调性来画出函数图象的草图： ，通过列表可得到 的单调性，作出 的图象，进而可得

①当 时， 无零点，②当 或 时， 有且仅有 个零点，

③当 时， 有两个零点.

试题解析：(1)当 时， ，其定义域为 ，1分

，2分

令 ， ，3分

极小值

故当 时， 取得极小值 ;    6分

(2) ，其定义域为 ， 7分

令 ，得 ，8分

设 ，其定义域为 .则 的零点为 与 的交点， 9分

，

极大值

故当 时， 取得最大值 ，11分

作出 的图象，可得

①当 时， 无零点， 12分

②当 或 时， 有且仅有 个零点，13分

③当 时， 有两个零点. 14分.

考点：导数的运用.

22.(本题满分12分)

已知椭圆C： + =1(a>b>0)的离心率是 ，且点P(1， )在椭圆上.

(1)求椭圆的方程;

(2)若过点D(0，2)的直线l与椭圆C交于不同的两点E，F，试求△OEF面积的取值范围(O为坐标原点).

【答案】(1) ;(2)

【解析】

试题分析：⑴由 得 ，椭圆方程为 ，又点 在椭圆上,所以 解得 因此椭圆方程为 ;(2) 由题意知直线 的斜率存在，设 的方程为  ,代入 得： ，由 ，解得

设 ， ，则 ，

令 ,则 ， ，所以  .

试题解析：⑴,∵    ∴    ∴

∵点 在椭圆上,∴     ∴    ∴

(2) 由题意知直线 的斜率存在，设 的方程为  ,代入 得：

由 ，解得

设 ， ，则

令 ,所以

所以

考点：1.椭圆的方程;2.用代数法研究直线与椭圆相交;3.基本不等式

桂林中学2015届高三10月考试

高三文科数学答案

一、选择题：(本大题共12小题，每题5分，满分60分)

题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

答案 D D A B B C B C B B B A

二、填空题：(本大题共4小题，每题5分，满分20分)

13、   16         14、   3           15    8          16.

3.【解析】∵ ， ， ∥ ，∴ ，

即 ，

又∵ ，∴ ， .

考点：1.平面向量共线的坐标表示;2.三角恒等变形.

6.【解析】 ，向右平移 个单位后，得到 的函数图像，∵ 函数图像关于 轴对称，

∴当 时， ，即 ， ，

∴当 时， 有最小正值 .

考点：1.三角恒等变形;2.三角函数的图像和性质.

7.【解析】第一轮：当输入 时，则 ，此时 ;

第二轮： ，此时 ;第三轮： ，此时 ;

第四轮： ，此时 ，所以输出3，故正确答案为B.

8. 解析：由三视图可知该几何体为底面是斜边为6的等腰直角三角形，高为3的三棱锥，其体积为13×12×6×3×3=9.

9. 【解析】设 = ，由题知， ，

解得A=1,B=0,∴ 49，

10. 【解析】如图，由已知，函数 ，

的图象有两个公共点，画图可知

当直线介于 ， 之间时，

符合题意，故选B.

考点：1.函数与方程;2.数形结合的数学思想.

11.【解析】设 ， ，即 在R上为增函数,又 ， 的解集为 ，即    的解集为 .

考点：利用导数求解不等式.

12.【解析】 函数 为“倍缩函数”，且满足存在 ,使 在  上的值域是 , 在 上是增函数;

即 ;

方程 有两个不等的实根，且两根都大于 ;

设 ,    有两个不等的实根，且两根都大于 ;

即   解得 ,  故选A.

考点：1.函数的值域;2.二次方程根的问题.

13. 【解析】直接由点F(5,0)是双曲线 的一个焦点及 可得， ，解得 .

14.解:画出可行域如图所示，

目标函数

过点B处时取得最大值，最大值为3.

15. 解:过 作 的垂线，垂足为 ，

∵ ， ， ， ，

， ，

∴ .

16. 解:

∵  ，  ∴  ， ∴  ，

∴ ， .

∵不等式 在 上恒成立，

∴ 在 上恒成立，

即 在 上恒成立.

因为 在 上的最小值是2，最大值是3，  ∴ .

17.(本题满分10分)

解：(1)由已知得： ，

，    ，

再由正弦定理可得： ，所以 成等比数列.            6分

(2)若 ，则 ，

∴ ，     ，

∴△ 的面积 .                    12分

18.(本题满分12分)

解:(Ⅰ)当 时，

则  , ，

，  ∴c=2.

∵a2=4，即 ，解得k=2，∴ (n>1)

当n=1时，      综上所述

(Ⅱ) ，则

(1) (2)得

考点：1.等比数列的通项公式;2.数列的求和.

19.(本题满分12分)

解：(1)∵O为AC的中点，M为BC的中点，∴OM∥AB.

又∵OM⊄平面ABD，AB⊂平面ABD，∴OM∥平面ABD.

(2)∵在菱形ABCD中，OD⊥AC，∴在三棱锥B-ACD中，OD⊥AC.

在菱形ABCD中，AB=AD=4，∠BAD=60°，可得BD=4.

∵O为BD的中点，∴DO= ，BD=2.∵O为AC的中点，M为BC的中点，∴OM= ，AB=2.

因此， ，可得OD⊥OM.

∵AC、OM是平面ABC内的相交直线，  ∴OD⊥平面ABC.

∵OD⊂平面DOM，∴平面DOM⊥平面ABC.

(3)由(2)得，OD⊥平面BOM，所以OD是三棱锥D-BOM的高.

由OD=2， ，

所以 .

考点：线面平行问题;面面垂直问题;三棱锥的体积.

20.(本题满分12分)

解：(Ⅰ)由分组 内的频数是4，频率是0.1知， ，所以

所以 ， .

所以

(Ⅱ)因为该校高三学生有240人，分组 内的频率是 ，

所以估计在此区间内的人数为 人.

(Ⅲ)这个样本参加社区服务的次数不少于20次的学生共有 人，

设在区间 内的人为 ，在区间 内的人为 .

则任选 人共有

，共15种情况，

而两人都在 内只能是 一种，所以所求概率为

考点：1.频率分布表与频率分布直方图;2.等可能事件的概率.

21.(本题满分12分)

解：(1)当 时， ，其定义域为 ，

，        2分

令 ， ，           3分

极小值

故当 时， 取得极小值 ;

(2) ，其定义域为 ，

令 ，得 ，             8分

设 ，其定义域为 .则 的零点为 与 的交点,  ，

极大值

 

故当 时， 取得最大值 ，     作出 的图象，可得

①当 时， 无零点，

②当 或 时， 有且仅有 个零点，

③当 时， 有两个零点.        12分.

22.(本题满分12分)

解: ⑴,∵    ∴    ∴

∵点 在椭圆上,∴     ∴    ∴

(2) 由题意知直线 的斜率存在，

设 的方程为  ,代入 得：

由 ，解得

设 ， ，则

令 ,所以

所以

考点：1.椭圆的方程;2.用代数法研究直线与椭圆相交;3.基本不等式

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