惠州市2015届高三数学第二次调研试题（文科）

本试卷共4页，21小题，满分150分。考试用时120分钟。

注意事项：

1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。

2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。

4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将答题卡一并交回.

参考公式：锥体的体积公式 ，其中 为锥体的底面积， 为锥体的高.

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请在答题卡上填涂相应选项.

1.设集合 ，集合 ，则 = (    )

A.         B.             C.       D.

2.复数  ( 为虚数单位)在复平面上对应的点位于  (    )

A.第一象限          B.第二象限         C.第三象限      D.第四象限

3.已知命题  ，则 为   (    )

A.              B.

C.              D.

4.已知向量 ， ，则  (    )

A.         B.            C.          D.

5.下列函数中，在区间 上为增函数的是(    )

A.       B.      C.       D.

6.若变量  满足约束条件 ，则 的最小值为(    )

A.               B.                C.                D.

7.已知函数  的部分

图象如图所示,则函数 的表达式是(    )

A.       B.

C.      D.

8.方程 有实根的概率为  (    )

A.               B.               C.                D.

9.圆心在 ，半径为 的圆在 轴上截得的弦长等于 (    )

A.             B.               C.              D.

10.某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表.那么，各班可推选代表人数 与该班人数 之间的函数关系用取整函数  ( 表示不大于 的最大整数)可以表示为   (    )

A. 　　　　B.         C.       D.

二、填空题：(本大题共5小题，分为必做题和选做题两部分.每小题5分，满分20分)

(一)必做题：第11至13题为必做题，每道试题考生都必须作答.

11.抛物线 的准线方程是             .

12.在等比数列 中， ， ，则  _________.

13.在△ 中， ， ， ，则 _________.

(二)选做题：第14、15题为选做题，考生只选做其中一题，两题全答的，只计前一题的得分。

14.(坐标系与参数方程选做题)在直角坐标系 中，直线 的参数方程为 ( 为参数).以原点 为极点，以 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 ，则直线 和曲线 的公共点有_______ 个.

15.(几何证明选做题)如图，在半径为3的圆 中，直径 与

弦 垂直，垂足为 ( 在 、 之间). 若 ，

则 ________.

三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.

16.(本小题满分12分)

设向量 ， ， .

(1)若 ，求 的值;

(2)设函数 ，求 的最大值.

17.(本小题满分12分)

移动公司在国庆期间推出4G套餐，对国庆节当日办理套餐的客户进行优惠，优惠方案如下：选择套餐一的客户可获得优惠200元，选择套餐二的客户可获得优惠500元，选择套餐三的客户可获得优惠300元. 国庆节当天参与活动的人数统计结果如图所示，现将频率视为概率.

(1) 求某人获得优惠金额不低于300元的概率;

(2) 若采用分层抽样的方式从参加活动的客户中选出6人，再从该6人中随机选出两人，求这两人获得相等优惠金额的概率.

18.(本小题满分14分)

如图，菱形 的边长为 ， ， .将菱形 沿对角线 折起，得到三棱锥 ，点 是棱 的中点， .

(1)求证： 平面 ;

(2)求三棱锥 的体积.

19.(本小题满分14分)

已知数列 的前 项和为 ，且满足 ，  ( 且 ).

(1)求证：数列 是等差数列;

(2)求 和 .

20.(本小题满分14分)

已知椭圆 过点 ，点 是椭圆的左焦点，点 、 是椭圆 上的两个动点，且 、 、 成等差数列.

(1)求椭圆 的标准方程;

(2)求证：线段 的垂直平分线经过一个定点 .

21.(本小题满分14分)

设函数 ， 且 . 曲线 在点 处的切线的斜率为 .

(1)求 的值;

(2)若存在 ，使得 ，求 的取值范围.

惠州市2015届高三第二次调研考试

文科数学答案与评分标准

一.选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

题号

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

答案

1【解析】方程 解得 ，则

2【解析】由题意可知， ，则对应的点为

3【解析】将全称命题改为特称命题即可

4【解析】 ，则

5【解析】 ，所以 在区间 上为增函数.或者用排除法

6【解析】由约束条件画出可行域如图所示，

则根据目标函数画出直线 ，

由图形可知将直线 平移至 点取得 的

最小值，解方程组

得 ，即 代入可得 .

7【解析】从图可知 ，且 ，得 ，故 ，将点

的坐标代入函数 ，且 得 所以函数

的表达式为 .

8【解析】方程 有实数根时， 得 ，由几何概型知 .

9【解析】圆心 到 轴的距离为 ，圆半径 ，由勾股定理知

半弦长为 ，则弦长为 .