若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f(x)=f(x+T) 恒成立，则f(x)叫做周期函数，下面是函数的奇偶性与周期性专题训练，请考生及时练习。

一、选择题

1.设f(x)为定义在R上的奇函数.当x≥0时，f(x)=2x+2x+b(b为常数)，则f(-1)等于(　　).A.3 B.1 C.-1 D.-3

解析　由f(-0)=-f(0)，即f(0)=0.则b=-1，

f(x)=2x+2x-1，f(-1)=-f(1)=-3.

答案　D

2.已知定义在R上的奇函数，f(x)满足f(x+2)=-f(x)，则f(6)的值为 (　　).

A.-1 B.0 C.1 D.2

(构造法)构造函数f(x)=sin x，则有f(x+2)=sin=-sin x=-f(x)，所以f(x)=sin x是一个满足条件的函数，所以f(6)=sin 3π=0，故选B.

答案　B

3.定义在R上的函数f(x)满足f(x)=f(x+2)，当x[3,5]时，f(x)=2-|x-4|，则下列不等式一定成立的是(　　).

A.f>f B.f(sin 1)f(sin 2)

解析　当x[-1,1]时，x+4[3,5]，由f(x)=f(x+2)=f(x+4)=2-|x+4-4|=2-|x|，

显然当x[-1,0]时，f(x)为增函数;当x[0,1]时，f(x)为减函数，cos=-，sin =>，又f=f>f，所以f>f.

答案　A

4.已知函数f(x)=则该函数是(　　).

A.偶函数，且单调递增 B.偶函数，且单调递减

C.奇函数，且单调递增 D.奇函数，且单调递减

解析　当x>0时，f(-x)=2-x-1=-f(x);当x<0时，f(-x)=1-2-(-x)=1-2x=-f(x).当x=0时，f(0)=0，故f(x)为奇函数，且f(x)=1-2-x在[0，+∞)上为增函数，f(x)=2x-1在(-∞，0)上为增函数，又x≥0时1-2-x≥0，x<0时2x-1<0，故f(x)为R上的增函数.

答案　C.已知f(x)是定义在R上的周期为2的周期函数，当x[0,1)时，f(x)=4x-1，则f(-5.5)的值为(　　)

A.2 B.-1 C.- D.1

解析 f(-5.5)=f(-5.5+6)=f(0.5)=40.5-1=1.

答案　.设函数D(x)=则下列结论错误的是(　　).

A.D(x)的值域为{0,1} B.D(x)是偶函数

C.D(x)不是周期函数 D.D(x)不是单调函数

解析　显然D(x)不单调，且D(x)的值域为{0,1}，因此选项A、D正确.若x是无理数，-x，x+1是无理数;若x是有理数，-x，x+1也是有理数.D(-x)=D(x)，D(x+1)=D(x).则D(x)是偶函数，D(x)为周期函数，B正确，C错误.

答案　C二、填空题

.若函数f(x)=x2-|x+a|为偶函数，则实数a=________.

解析　由题意知，函数f(x)=x2-|x+a|为偶函数，则f(1)=f(-1)，1-|1+a|=1-|-1+a|，a=0.

答案　0

.已知y=f(x)+x2是奇函数，且f(1)=1.若g(x)=f(x)+2，则g(-1)=________.

解析　因为y=f(x)+x2是奇函数，且x=1时，y=2，所以当x=-1时，y=-2，即f(-1)+(-1)2=-2，得f(-1)=-3，所以g(-1)=f(-1)+2=-1.

答案　-1.设奇函数f(x)的定义域为[-5,5]，当x[0,5]时，函数y=f(x)的图象如图所示，则使函数值y<0的x的取值集合为________.解析　由原函数是奇函数，所以y=f(x)在[-5,5]上的图象关于坐标原点对称，由y=f(x)在[0,5]上的图象，得它在[-5,0]上的图象，如图所示.由图象知，使函数值y<0的x的取值集合为(-2,0)(2,5).答案　(-2,0)(2,5)

10. 设f(x)是偶函数，且当x>0时是单调函数，则满足f(2x)=f的所有x之和为________.

解析 f(x)是偶函数，f(2x)=f，

f(|2x|)=f，

又f(x)在(0，+∞)上为单调函数，

|2x|=，

即2x=或2x=-，

整理得2x2+7x-1=0或2x2+9x+1=0，

设方程2x2+7x-1=0的两根为x1，x2，方程2x2+9x+1=0的两根为x3，x4.

则(x1+x2)+(x3+x4)=-+=-8.

-8三、解答题

.已知f(x)是定义在R上的不恒为零的函数，且对任意x，y，f(x)都满足f(xy)=yf(x)+xf(y).

(1)求f(1)，f(-1)的值;

(2)判断函数f(x)的奇偶性.

解　(1)因为对定义域内任意x，y，f(x)满足f(xy)=yf(x)+xf(y)，所以令x=y=1，得f(1)=0，令x=y=-1，得f(-1)=0.

(2)令y=-1，有f(-x)=-f(x)+xf(-1)，代入f(-1)=0得f(-x)=-f(x)，所以f(x)是(-∞，+∞)上的奇函数.

.已知函数f(x)对任意x，yR，都有f(x+y)=f(x)+f(y)，且x>0时，f(x)<0，f(1)=-2.

(1)求证f(x)是奇函数;

(2)求f(x)在[-3,3]上的最大值和最小值.

(1)证明　令x=y=0，知f(0)=0;再令y=-x，

则f(0)=f(x)+f(-x)=0，所以f(x)为奇函数.

(2)解　任取x1

所以f(x)max=f(-3)=6，f(x)min=f(3)=-6.

已知函数f(x)是(-∞，+∞)上的奇函数，且f(x)的图象关于x=1对称，当x[0,1]时，f(x)=2x-1，

(1)求证：f(x)是周期函数;

(2)当x[1,2]时，求f(x)的解析式;

(3)计算f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2013)的值.

(1)证明　函数f(x)为奇函数，则f(-x)=-f(x)，函数f(x)的图象关于x=1对称，则f(2+x)=f(-x)=-f(x)，所以f(4+x)=f[(2+x)+2]=-f(2+x)=f(x)，所以f(x)是以4为周期的周期函数.

(2) 当x[1,2]时，2-x[0,1]，

又f(x)的图象关于x=1对称，则f(x)=f(2-x)=22-x-1，x[1,2].

(3)f(0)=0，f(1)=1，f(2)=0，

f(3)=f(-1)=-f(1)=-1

又f(x)是以4为周期的周期函数.

f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2013)

=f(2 012)+f(2 013)=f(0)+f(1)=1.

.已知函数f(x)的定义域为R，且满足f(x+2)=-f(x).

(1)求证：f(x)是周期函数;

(2)若f(x)为奇函数，且当0≤x≤1时，f(x)=x，求使f(x)=-在[0,2 014]上的所有x的个数.

(1)证明　f(x+2)=-f(x)，

f(x+4)=-f(x+2)=-[-f(x)]=f(x)，

f(x)是以4为周期的周期函数.

(2)解　当0≤x≤1时，f(x)=x，

设-1≤x≤0，则0≤-x≤1，

f(-x)=(-x)=-x.

f(x)是奇函数，f(-x)=-f(x)，

-f(x)=-x，即f(x)=x.

故f(x)=x(-1≤x≤1).

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