立体几何是3维欧氏空间的几何的传统名称，下面是立体几何与空间向量专题复习检测，请考生练习。

一、选择题

1.(2014•武汉调研)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的直观图可以是(　　)

解析　A、B、C与俯视图不符.

答案　D

2.将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的侧(左)视图为(　　)

解析　抓住其一条对角线被遮住应为虚线，可知正确答案在C，D中，又结合直观图知，D正确.

答案　D

3.(2014•安徽卷)一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为(　　)

A.21+3   B.18+3

C.21   D.18

解析

由三视图知，该多面体是由正方体割去两 个角所成的图形，如图所示，则S=S正方体-2S三棱锥侧+2S三棱锥底=24-2×3×12×1×1+2×34×(2)2=21+3.

答案　A

4.已知S，A，B，C是球O表面上的点，SA⊥平面ABCD，AB⊥BC，SA=AB=1，BC=2，则球O的表面积等于(　　)

A.4π　　　　 B.3π

C.2π　　　　 D.π

解析

如图所示，由AB⊥BC知，AC为过A，B，C，D四点小圆直径，

所以AD⊥DC.

又SA⊥平面ABCD，

设SB1C1D1-ABCD为SA，AB，BC为棱长构造的长方体，

得体对角线长为12+12+22=2R，

所以R=1，球O的表面积S=4πR2=4π.故 选A.

答案　A

5.(2014•湖南卷)一块石材表示的几 何体的三视图如图所示.将该石材切削、打磨，加工成球，则能得到的最大球的半径等于(　　)

A.1   B.2

C.3   D.4

解析

由三视图可得原石材为如图所示的直三棱柱A1B1C1-ABC，且AB=8，BC=6，BB1=12.若要得到半径最大的球，则此球与平面A1B1BA，BCC1B1，ACC1A1相切，故此时球的半径与△ABC内切圆的半径相等，故半径r=6+8-102=2.故选B.

答案　B

6.点A，B，C，D均在同一球面上，其中△ABC是正三角形，AD⊥平面ABC，AD=2AB=6，则该球的体积为(　　)

A.323π  B.48π  C.643π  D.163π

解析

如图所示，O1为三角形ABC的外心，过O做OE⊥AD，

∴OO1⊥面ABC，

∴AO1=33AB=3.∵OD=O A，

∴E为DA的中点.∵AD⊥面ABC，

∴AD∥OO1，∴EO=AO1=3.

∴DO=DE2+OE2=23.

∴R=DO= 23.

∴V=43π(23)3=323π.

答案　A

二、填空题

7.某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的体积是________.

解析

由三视图可知，四棱锥的高为2，底面为直角梯形ABCD.其中DC=2，AB=3，BC=3，所以四棱锥的体积为13×2+3×32×2=533.

答案　533

8.如图，在三棱柱A1B1C1-ABC中，D，E，F分别是AB，AC，AA1的中点，设三棱锥F-ADE的体积为V1，三棱柱A1B1C1-ABC的体积为V2，则V1?V2=________.

解析　设三棱柱A1B1C1-ABC的高为h，底面三角形ABC的面积为S，则V1=13×14S•12h=124Sh=124V2，即V1?V2=1?24.

答案　1?24

9.在四面体ABCD中，AB=CD=6，AC=BD=4，AD=BC=5，则四面体ABCD的外接球的表面积为________.

解析　构造一个长方体，使得它的三条面对角线分别为4、5、6，设长方体的三条边分别为x，y，z，则x2+y2+z2=772，而长方体的外接球就是四面体的外接球，所以S=4πR2=772π.

答案　772π

三、解答题

10.下列三个图中，左边是一个正方体截去一个角后所得多面体的直观图.右边两个是其正(主)视图和侧(左)视图.

(1)请在正(主)视图的下方，按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图(不要求叙述作图过程).

(2)求该多面体的体积(尺寸如图).

解　(1)作出俯视图如图所示.

(2)依题意，该多面体是由一个正方体(ABCD-A1B1C1D1)截去一个三棱锥(E-A1B1D1)得到的，所以截去的三棱锥体积

VE-A1B1D1=13•S△A1B1D1•A1E=13×12×2×2×1=23，

正方体体积V正 方体AC1=23=8，

所以所求多面体的体积V=8-23=223.

11.

(2014•安徽卷)如图，四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，A1A⊥底面ABCD.四边形ABCD为梯形，AD∥BC，且AD=2BC.过 A1，C，D三点 的平面记为α，BB1与α的交点为Q.

(1)证明：Q为BB1的中点;

(2)求此四棱柱被平面α所分成上下两部分的体积之比.

解　(1)证明：因为BQ∥AA1，BC∥AD，BC∩BQ=B，AD∩AA1=A，

所以平面QBC∥平面A1AD.

从而平面A1CD与这两个平面的交线相互平行，即QC∥A1D.

故△QBC与△A1AD的对应边相互平行，于是△QBC∽△A1AD.

所以BQBB1=BQAA1=BCAD=12，

即Q为BB1的中点.

(2)如图，连接QA，QD.

设AA1=h，梯形ABCD的高为d，四棱柱被平面α所分成上下两部分的体积分别为V上和V下，BC=a，则AD=2a.

VQ-A1AD=13•12•2a•h•d=13ahd，

VQ-ABCD=13•a+2a2•d•12h=14ahd，

所以V下=VQ-A1AD+VQ-ABCD=712ahd，

又V四棱柱A1B1C1D1-ABCD=32ahd，

所以V上=V四棱柱A1B1C1D1-ABCD-V下=32ahd-712ahd=1112ahd.故V上V下=117.

B级——能力提高组

1.(2014•北京卷)在空间直角坐标系Oxyz中，已知A(2,0,0)，B(2,2,0)，C(0,2,0)，D(1,1，2).若S1，S2，S3分别是三棱锥D-ABC在xOy，yOz，zOx坐标平面上的正投影图形的面积，则(　　)

A.S1=S2=S3   B.S2=S1且S2≠S3

C.S3=S1且S3≠ S2   D.S3=S2且S3≠S1

解析　作出三棱锥在三个坐标平面上的正投影，计算三角形的面积.如图所示，△ABC为三棱锥在坐标平面xOy上的正投影，所以S1=12×2×2=2.三棱锥在坐标平面yOz上的正投影与△DE F(E，F 分别为OA，BC的中点)全等，所以S2=12×2×2=2.三棱锥在坐标平面xOz上的正投影与△DGH(G，H分别为AB，OC的中点)全等，所以S3=12×2×2=2.所以S2=S3且S1≠S3.故选D.

答案　D

2.(2014•山东卷)三棱锥P-ABC中，D，E分别为PB，PC的中点，记三棱锥D-ABE的体积为V1，P-ABC的体积为V2，则V1V2=________.

解析　由于VP-ABE=VC-ABE，所以VP-ABE=12VP-ABC，又因VD-ABE=12VP-ABE，所以VD-ABE=14VP-ABC，∴V1V2=14.

答案　14

3.

(理)(2014•课标全国卷Ⅱ)如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点.

(1)证明：PB∥平面AEC;

(2)设二面角D-AE-C为60°，AP=1，AD=3，求三棱锥E-ACD的体积.

解　(1)连接BD交AC于点O，连接EO.

因为ABCD为矩形，所以O为BD的中点.

又E为PD的中点，所以EO∥PB.

EO⊂平面AEC，PB⊄平面AEC，

所以PB∥平面AEC.

(2)因为PA⊥平面ABCD，ABCD为矩形，所以AB，AD，AP两两垂直.

如图，以A为坐标原点，AB→的方向为x轴的正方向，|PA→|为单位长，建立空间直角坐标系A-xyz.

则D(0，3，0)，E0，32，12， AE→=0，32，12.

设B(m,0,0)(m>0)，则C(m，3，0)，AC→=(m，3，0)，

设n1=(x，y，z)为平面ACE的法向量，

则n1•AC→=0，n1•AE→=0，即mx+3y=0，32y+12z=0，

可取n1=3m，-1，3.

又n2=(1,0,0)为平面DAE的法向量，

由题设|cos〈n1，n2〉|=12，即 33+4m2=12，

解得m=32.因为E为PD的中点，所以三棱锥E-ACD的高为12.三棱锥E-ACD的体积V=13×12×3×32×12=38.

3.(文)如图，在Rt△ABC中，AB=BC=4，点E在线段AB上.过点E作EF∥BC交AC于点F，将△AEF沿EF折起到△PEF的位置(点A与P重合)，使得∠PEB=30°.

(1)求证：EF⊥PB;

(2)试问：当点E在何处时，四棱锥P-EFCB的侧面PEB的面积最大?并求此时四棱锥P-EFCB的体积.

解　(1)证明：∵AB=BC，∴BC⊥AB，

又∵EF∥BC，∴EF⊥AB，

即EF⊥BE，EF⊥PE.

又BE∩PE=E，

∴EF⊥平面PBE，

∴EF⊥PB.

(2)设BE=x，PE=y，则x+y=4.

∴S△PEB=12BE•PE•sin∠PEB=14xy≤14x+y22=1.

当且仅当x=y=2时，S△PEB的面积最大.

此时，BE=PE=2.

由(1)知EF⊥平面PBE，

∴平面PBE⊥平面EFCB，

在平面PBE中，作PO⊥BE于O，

则PO⊥平面EFCB.

即PO为四棱锥P-EFCB的高.

又PO=PE•sin30°=2×12=1.

S梯形EFCB =12(2+4)×2=6.

∴VP-BCFE=13×6×1=2.

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