您当前所在位置:首页 > 高考 > 高考数学 > 高考数学试题

湖南师大附中海口中学2016届高三数学一模试卷(无答案)

编辑:sx_liujy

2016-01-21

在人类历史发展和社会生活中,数学有着不可替代的作用,以下是湖南师大附中海口中学2016届高三数学一模试卷,请考生认真练习。

一、选择题

1.(2015·全国Ⅱ卷)已知a=(1,-1),b=(-1,2),则(2a+b)·a=(  )

A.-1 B.0 C.1 D.2

解析 因为a=(1,-1),b=(-1,2),所以2a+b=2(1,-1)+(-1,2)=(1,0),得2a+b)·a=(1,0)·(1,-1)=1,选C.

答案 C

2.已知向量a=(k,3),b=(1,4),c=(2,1),且(2a-3b)⊥c,则实数k=(  )

A.- B.0 C.3 D.

解析 因为2a-3b=(2k-3,-6),且(2a-3b)⊥c,所以(2a-3b)·c=2(2k-3)-6=0,解得k=3,选C.

答案 C

3.(2015·四川卷)设向量a=(2,4)与向量b=(x,6)共线,则实数x=(  )

A.2 B.3 C.4 D.6

解析 a=(2,4),b=(x,6),∵a∥b,∴4x-2×6=0,∴x=3.

答案 B

4.(2015·太原模拟)已知a,b均为单位向量,(2a+b)·(a-2b)=-,则向量a,b的夹角为(  )

A. B. C. D.

解析 因为a,b均为单位向量,

所以(2a+b)·(a-2b)=2-2-3a·b=-,

解得a·b=,

所以cos〈a,b〉==,又〈a,b〉∈[0,π],

所以〈a,b〉=.

答案 A

5.(2015·福建卷)设a=(1,2),b=(1,1),c=a+kb.若b⊥c,则实数k的值等于(  )

A.- B.- C. D.

解析 c=a+kb=(1,2)+k(1,1)=(1+k,2+k),∵b⊥c,∴b·c=0,b·c=(1,1)·(1+k,2+k)=1+k+2+k=3+2k=0,∴k=-,故选A.

答案 A

二、填空

6.(2015·江苏卷)已知向量a=(2,1),b=(1,-2),若ma+nb=(9,-8)(m,n∈R),则m-n的值为________.

由向量a=(2,1),b=(1,-2),得ma+nb=(2m+n,m-2n)=(9,-8),则,解得,

故m-n=-3.

答案 -3

7.(2015·郑州模拟)如图,在△ABC中,∠C=90°,且AC=BC=3,点M满足=2,则·=________.

解析 法一 如图,建立平面直角坐标系.

由题意知:A(3,0),B(0,3),

设M(x,y),由=2,

得解得即M点坐标为(2,1),

所以·=(2,1)·(0,3)=3.

法二 ·=(+)·=2+×=2+·(-)=2=3.

答案 3

8.(2015·安徽卷)△ABC是边长为2的等边三角形,已知向量a,b满足=2a,=2a+b,则下列结论中正确的是________(写出所有

①a为单位向量;②b为单位向量;③a⊥b;④b∥;⑤(4a+b)⊥.

解析 ∵△ABC为边长是2的等边三角形,∴||=|2a|=2|a|=2,从而|a|=1,故①正确;又=-=2a+b-2a=b,∴b∥,故④正确;又(+)·(-)=2-2=0,∴(+)⊥,即(4a+b)⊥,故⑤正确.

答案 ①④⑤

三、解答题

9.(2015·陕西卷)△ABC的内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c.向量m=(a,b)与n=(cos A,sin B)平行.

(1)求A;

(2)若a=,b=2,求△ABC的面积.

解 (1)因为m∥n,

所以asin B-bcos A=0,

由正弦定理,得sin Asin B-sin Bcos A=0,

又sin B≠0,从而tan A=,

由于0

(2)法一 由余弦定理,得a2=b2+c2-2bccos A,

而a=,b=2,A=,

得7=4+c2-2c,

即c2-2c-3=0,

因为c>0,所以c=3,

故△ABC的面积为S=bcsin A=.

法二 由正弦定理,得=,

从而sin B=,

又由a>b,知A>B,

所以cos B=,

故sin C=sin(A+B)=sin

=sin Bcos +cos Bsin =.

所以△ABC的面积为S=absin C=.

10.已知向量a=,b=,且x∈.

(1)求a·b及|a+b|;

(2)若f(x)=a·b-2λ|a+b|的最小值是-,求λ的值.

解 (1)a·b=cos cos -sin sin =cos 2x,

|a+b|===2,

因为x∈,

所以cos x≥0,

所以|a+b|=2cos x.

(2)由(1),可得f(x)=a·b-2λ|a+b|=cos 2x-4λcos x,

即f(x)=2(cos x-λ)2-1-2λ2.

因为x∈,

所以0≤cos x≤1.

①当λ<0时,当且仅当cos x=0时,f(x)取得最小值-1,这与已知矛盾;

②当0≤λ≤1时,当且仅当cos x=f(x)取得最小值-1-2λ2,由已知得-1-2λ2=-,解得λ=;

③当λ>1时,当且仅当cos x=1时,f(x)取得最小值1-4λ,由已知得1-4λ=-,解得λ=,这与λ>1相矛盾;

综上所述λ=.

11.(2015·日照模拟)已知在锐角三角ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,向量p=(cos B+sin B,2sin B-2),q=(sin B-cos B,1+sin B),且p⊥q.

(1)求B的大小;

(2)若b=2,△ABC的面积为,求a,c.

解 (1)p⊥q,

所以p·q=(cos B+sin B)(sin B-cos B)+(2sin B-2)(1+sin B)=0,

即sin2B-cos2B+2sin2B-2=0,

即sin2B=,

又角B是锐角三角形ABC的内角,

所以sin B=,

所以B=60°.

(2)由(1)得B=60°,又△ABC的面积为,

所以S△ABC=acsin B,即ac=4.①

由余弦定理得b2=a2+c2-2accos B,又b=2,

所以a2+c2=8,②

联立①②,解得a=c=2.

湖南师大附中海口中学2016届高三数学一模试卷及答案的全部内容就是这些,精品学习网希望对考生复习有帮助。

2016年高考第一轮复习备考专题已经新鲜出炉了,专题包含高考各科第一轮复习要点、复习方法、复习计划、复习试题,大家来一起看看吧~

免责声明

精品学习网(51edu.com)在建设过程中引用了互联网上的一些信息资源并对有明确来源的信息注明了出处,版权归原作者及原网站所有,如果您对本站信息资源版权的归属问题存有异议,请您致信qinquan#51edu.com(将#换成@),我们会立即做出答复并及时解决。如果您认为本站有侵犯您权益的行为,请通知我们,我们一定根据实际情况及时处理。