在人类历史发展和社会生活中，数学有着不可替代的作用，以下是湖南师大附中海口中学2016届高三数学一模试卷，请考生认真练习。

一、选择题

1.(2015·全国Ⅱ卷)已知a=(1，-1)，b=(-1，2)，则(2a+b)·a=(　　)

A.-1 B.0 C.1 D.2

解析　因为a=(1，-1)，b=(-1，2)，所以2a+b=2(1，-1)+(-1，2)=(1，0)，得2a+b)·a=(1，0)·(1，-1)=1，选C.

答案　C

2.已知向量a=(k，3)，b=(1，4)，c=(2，1)，且(2a-3b)⊥c，则实数k=(　　)

A.- B.0 C.3 D.

解析　因为2a-3b=(2k-3，-6)，且(2a-3b)⊥c，所以(2a-3b)·c=2(2k-3)-6=0，解得k=3，选C.

答案　C

3.(2015·四川卷)设向量a=(2，4)与向量b=(x，6)共线，则实数x=(　　)

A.2 B.3 C.4 D.6

解析　a=(2，4)，b=(x，6)，∵a∥b，∴4x-2×6=0，∴x=3.

答案　B

4.(2015·太原模拟)已知a，b均为单位向量，(2a+b)·(a-2b)=-，则向量a，b的夹角为(　　)

A. B. C. D.

解析　因为a，b均为单位向量，

所以(2a+b)·(a-2b)=2-2-3a·b=-，

解得a·b=，

所以cos〈a，b〉==，又〈a，b〉∈[0，π]，

所以〈a，b〉=.

答案　A

5.(2015·福建卷)设a=(1，2)，b=(1，1)，c=a+kb.若b⊥c，则实数k的值等于(　　)

A.- B.- C. D.

解析　c=a+kb=(1，2)+k(1，1)=(1+k，2+k)，∵b⊥c，∴b·c=0，b·c=(1，1)·(1+k，2+k)=1+k+2+k=3+2k=0，∴k=-，故选A.

答案　A

二、填空

6.(2015·江苏卷)已知向量a=(2，1)，b=(1，-2)，若ma+nb=(9，-8)(m，n∈R)，则m-n的值为________.

由向量a=(2，1)，b=(1，-2)，得ma+nb=(2m+n，m-2n)=(9，-8)，则，解得，

故m-n=-3.

答案　-3

7.(2015·郑州模拟)如图，在△ABC中，∠C=90°，且AC=BC=3，点M满足=2，则·=________.

解析　法一　如图，建立平面直角坐标系.

由题意知：A(3，0)，B(0，3)，

设M(x，y)，由=2，

得解得即M点坐标为(2，1)，

所以·=(2，1)·(0，3)=3.

法二　·=(+)·=2+×=2+·(-)=2=3.

答案　3

8.(2015·安徽卷)△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量a，b满足=2a，=2a+b，则下列结论中正确的是________(写出所有

①a为单位向量;②b为单位向量;③a⊥b;④b∥;⑤(4a+b)⊥.

解析　∵△ABC为边长是2的等边三角形，∴||=|2a|=2|a|=2，从而|a|=1，故①正确;又=-=2a+b-2a=b，∴b∥，故④正确;又(+)·(-)=2-2=0，∴(+)⊥，即(4a+b)⊥，故⑤正确.

答案　①④⑤

三、解答题

9.(2015·陕西卷)△ABC的内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c.向量m=(a，b)与n=(cos A，sin B)平行.

(1)求A;

(2)若a=，b=2，求△ABC的面积.

解　(1)因为m∥n，

所以asin B-bcos A=0，

由正弦定理，得sin Asin B-sin Bcos A=0，

又sin B≠0，从而tan A=，

由于0

(2)法一　由余弦定理，得a2=b2+c2-2bccos A，

而a=，b=2，A=，

得7=4+c2-2c，

即c2-2c-3=0，

因为c>0，所以c=3，

故△ABC的面积为S=bcsin A=.

法二　由正弦定理，得=，

从而sin B=，

又由a>b，知A>B，

所以cos B=，

故sin C=sin(A+B)=sin

=sin Bcos +cos Bsin =.

所以△ABC的面积为S=absin C=.

10.已知向量a=，b=，且x∈.

(1)求a·b及|a+b|;

(2)若f(x)=a·b-2λ|a+b|的最小值是-，求λ的值.

解　(1)a·b=cos cos -sin sin =cos 2x，

|a+b|===2，

因为x∈，

所以cos x≥0，

所以|a+b|=2cos x.

(2)由(1)，可得f(x)=a·b-2λ|a+b|=cos 2x-4λcos x，

即f(x)=2(cos x-λ)2-1-2λ2.

因为x∈，

所以0≤cos x≤1.

①当λ<0时，当且仅当cos x=0时，f(x)取得最小值-1，这与已知矛盾;

②当0≤λ≤1时，当且仅当cos x=f(x)取得最小值-1-2λ2，由已知得-1-2λ2=-，解得λ=;

③当λ>1时，当且仅当cos x=1时，f(x)取得最小值1-4λ，由已知得1-4λ=-，解得λ=，这与λ>1相矛盾;

综上所述λ=.

11.(2015·日照模拟)已知在锐角三角ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量p=(cos B+sin B，2sin B-2)，q=(sin B-cos B，1+sin B)，且p⊥q.

(1)求B的大小;

(2)若b=2，△ABC的面积为，求a，c.

解　(1)p⊥q，

所以p·q=(cos B+sin B)(sin B-cos B)+(2sin B-2)(1+sin B)=0，

即sin2B-cos2B+2sin2B-2=0，

即sin2B=，

又角B是锐角三角形ABC的内角，

所以sin B=，

所以B=60°.

(2)由(1)得B=60°，又△ABC的面积为，

所以S△ABC=acsin B，即ac=4.①

由余弦定理得b2=a2+c2-2accos B，又b=2，

所以a2+c2=8，②

联立①②，解得a=c=2.

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