三、解答题

9.已知数列{an}是一个等差数列，且a2=1，a5=-5.

(1)求{an}的通项an;

(2)求{an}前n项和Sn的最大值.

解　(1)设{an}的公差为d，由已知条件，

解出a1=3，d=-2.

所以an=a1+(n-1)d=-2n+5.

(2)Sn=na1+d=-n2+4n=4-(n-2)2.

所以n=2时，Sn取到最大值4.

10.(2015·安徽卷)设椭圆E的方程为+=1(a>b>0)，点O为坐标原点，点A的坐标为(a，0)，点B的坐标为(0，b)，点M在线段AB上，满足|BM|=2|MA|，直线OM的斜率为.

(1)求E的离心率e;

(2)设点C的坐标为(0，-b)，N为线段AC的中点，证明：MN⊥AB.

(1)解　由题设条件知，点M的坐标为，

又kOM=，从而=.

进而a=b，c==2b，

故e==.

(2)证明　由N是AC的中点知，点N的坐标为，可得=，

又=(-a，b)，

从而有·=-a2+b2

=(5b2-a2).

由(1)的计算结果可知a2=5b2，

所以·=0，

故MN⊥AB.

11.设函数f (x)=ax3-3ax，g(x)=bx2-ln x(a，b∈R)，已知它们在x=1处的切线互相平行.

(1)求b的值;

(2)若函数F(x)=且方程F(x)=a2有且仅有四个解，求实数a

解　函数g(x)=bx2-ln x的定义域为(0，+∞)，

(1)f′(x)=3ax2-3a⇒(1)=0，

g′(x)=2bx-⇒(1)=2b-1，

依题意得2b-1=0，

所以b=.

(2)x∈(0，1)时，g′(x)=x-<0，

即g(x)在(0，1)上单调递减，

x∈(1，+∞)时，g′(x)=x->0，

即g(x1，+∞)上单调递增，

所以当x=1时，g(x)取得极小值g(1)=;

当a=0时，方程F(x)=a2不可能有四个解;

当a<0，x∈(-∞，-1)时，f′(x)<0，即f(x)在(-∞，-1)上单调递减，

x∈(-1，0)时，f′(x)>0，

即f(x)在(-1，0)上单调递增，

所以当x=-1时，f(x)取得极小值f(-1)=2a，

又f(0)=0，

所以F(x)的图象如图(1)所示，

从图象可以看出F(x)=a2不可

当a>0，x∈(-∞，-1)时，f′(x)>0，

即f(x)在(-∞，-1)上单调递增，

x∈(-1，0)时，f′(x)<0，

即f(x)在(-1，0)上单调递减，

所以当x=-1时，f(x)取得极大值f(-1)=2a.

又f(0)=0，

所以F(x)的图象如图(2)所求，

从图(2)看出，若方程F(x)=a2有四个解，则

所以，a的取值范围是.

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