数学是研究数量、结构、变化、空间以及信息等概念的一门学科，从某种角度看属于形式科学的一种，以下是2015-2016湖南高考数学备考专项练习，请考生认真练习。

题型一、定值、定点问题

例1：已知椭圆C：+=1经过点(0，0)，离心率为，直线l经过椭圆C的右焦点F交椭圆于A、B两点。

(1)求椭圆C的方程;

(2)若直线l交y轴于点M，且=λ，=μ，当直线l的倾斜角变化时，探求λ+μ的值是否为定值?若是，求出λ+μ的值;否则，请说明理由。

破题切入点：

(1)待定系数法。

(2)通过直线的斜率为参数建立直线方程，代入椭圆方程消y后可得点A，B的横坐标的关系式，然后根据向量关系式=λ，=μ。把λ，μ用点A，B的横坐标表示出来，只要证明λ+μ的值与直线的斜率k无关即证明了其为定值，否则就不是定值。

解：(1)依题意得b=，e==，a2=b2+c2，

∴a=2，c=1，∴椭圆C的方程为+=1。

(2)因直线l与y轴相交于点M，故斜率存在，

又F坐标为(1，0)，设直线l方程为

y=k(x-1)，求得l与y轴交于M(0，-k)，

设l交椭圆A(x1，y1)，B(x2，y2)，

由消去y得(3+4k2)x2-8k2x+4k2-12=0，

∴x1+x2=，x1x2=，

又由=λ，∴(x1，y1+k)=λ(1-x1，-y1)，

∴λ=，同理μ=，

∴λ+μ=+=

所以当直线l的倾斜角变化时，直线λ+μ的值为定值-。

题型二、定直线问题

例2：在平面直角坐标系xOy中，过定点C(0，p)作直线与抛物线x2=2py(p>0)相交于A，B两点。

(1)若点N是点C关于坐标原点O的对称点，求△ANB面积的最小值;

(2)是否存在垂直于y轴的直线l，使得l被以AC为直径的圆截得的弦长恒为定值?若存在，求出l的方程;若不存在，请说明理由。

破题切入点：假设符合条件的直线存在，求出弦长，利用变量的系数恒为零求解。

解：方法一：

(1)依题意，点N的坐标为N(0，-p)，

可设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

直线AB的方程为y=kx+p，

与x2=2py联立得：

消去y得x2-2pkx-2p2=0。

由根与系数的关系得x1+x2=2pk，x1x2=-2p2。

于是S△ABN=S△BCN+S△ACN=·2p|x1-x2|

=p|x1-x2|=p

=p=2p2，

∴当k=0时，(S△ABN)min=2p2。

(2)假设满足条件的直线l存在，其方程为y=a，

AC的中点为O′，l与以AC为直径的圆相交于点P，Q，PQ的中点为H，

则O′H⊥PQ，Q′点的坐标为。

∵O′P=AC==，

O′H==|2a-y1-p|，

∴PH2=O′P2-O′H2

=(y+p2)-(2a-y1-p)2

=(a-)y1+a(p-a)，

∴PQ2=(2PH)2=4[(a-)y1+a(p-a)]。

令a-=0，得a=，

此时PQ=p为定值，故满足条件的直线l存在，

其方程为y=，即抛物线的通径所在的直线。