由两点间的距离公式得|F2M|==4。

8.解析：如图所示，设双曲线方程为=1，取其上一点P(m，n)，

则Q(m，-n)，由=0可得(a-m，-n)·(m+a，-n)=0，

化简得a2-m2+n2=0。

又=1可得b=a，

故双曲线的离心率为e=。

9.(1)解：因为e=，

所以可设双曲线方程为x2-y2=λ。

因为双曲线过点(4，-)，

所以16-10=λ，即λ=6。

所以双曲线方程为=1。

(2)证明：由(1)可知，在双曲线中a=b=，所以c=2。

所以F1(-2，0)，F2(2，0)。

所以=(-2-3，-m)，

=(2-3，-m)，

则=9-12+m2=m2-3。

因为点(3，m)在双曲线上，

所以9-m2=6，即m2=3。

所以=m2-3=0。

(3)解：由 (2)知F1MF2的高h=|m|=，由F1MF2的底边|F1F2|=4，

则=6。

10.解：(1)由|PM|-|PN|=2知动点P的轨迹是以M，N为焦点的双曲线的右支，实半轴长a=。

又焦距2c=4，所以虚半轴长b=。

所以W的方程为=1(x≥)。 (2)设A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)。

当ABx轴时，x1=x2，y1=-y2，

从而=x1x2+y1y2==2。

当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为y=kx+m(k≠±1)，与W的方程联立，消去y得(1-k2)x2-2kmx-m2-2=0，

则x1+x2=，x1x2=，

所以=x1x2+y1y2

=x1x2+(kx1+m)(kx2+m)

=(1+k2)x1x2+km(x1+x2)+m2

=+m2

==2+。

又因为x1x2>0，所以k2-1>0。

所以>2。

综上所述，当ABx轴时，取得最小值2。

11.C。解析：设等轴双曲线方程为x2-y2=m(m>0)，

因为抛物线的准线为x=-4，

且|AB|=4，所以|yA|=2。

把坐标(-4，2)代入双曲线方程得m=x2-y2=16-12=4，

所以双曲线方程为x2-y2=4，

即=1。

所以a2=4，所以实轴长2a=4。

12.B。解析：设PF1F2内切圆半径为r，根据已知可得×|PF1|×r=×|PF2|×r+×2c×r，

整理可得|PF1|=|PF2|+2λc。

由双曲线的定义可得

|PF1|-|PF2|=2a，

则2λc=2a，故λ=。

13.B。解析：由a2+1=4，得a=，

则双曲线方程为-y2=1。

设点P(x0，y0)，则=1，

即-1。

=x0(x0+2)+

=+2x0+-1

=，

x0≥，∴当x0=时，取最小值3+2.故的取值范围是[3+2，+∞)。

14.。解析：双曲线=1的两条渐近线方程分别是y=x和y=-x。

由解得A，

由解得B。

设AB中点为E，则E。

由于|PA|=|PB|，所以PE与直线x-3y+m=0垂直，

而kPE=，

于是=-1。所以a2=4b2=4(c2-a2)。

所以4c2=5a2，解得e=。

15.解：(1)设C2的焦距为2c2，由题意知，2c2=2，2a1=2.从而a1=1，c2=1。

因为点P在双曲线x2-=1上，所以=1。故=3。

由椭圆的定义知2a2=2。

于是a2=2。

故C1，C2的方程分别为x2-=1，=1。

(2)不存在符合题设条件的直线。

若直线l垂直于x轴，因为l与C2只有一个公共点，所以直线l的方程为x=或x=-。

当x=时，易知A()，B(，-)，

所以||=2，||=2。

此时，||≠||。

当x=-时，

同理可知，||≠||。

若直线l不垂直于x轴，设l的方程为y=kx+m。

由得(3-k2)x2-2kmx-m2-3=0。

当l与C1相交于A，B两点时，

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

则x1，x2是上述方程的两个实根，

从而x1+x2=，x1x2=。

于是y1y2=k2x1x2+km(x1+x2)+m2=。

由得(2k2+3)x2+4kmx+2m2-6=0。

因为直线l与C2只有一个公共点，所以上述方程的判别式Δ=16k2m2-8(2k2+3)(m2-3)=0。

化简，得2k2=m2-3，

因此=x1x2+y1y2=≠0，

于是+2-2，

即||≠||，

故||≠||。

综合，②可知，不存在符合题设条件的直线。

16.解法一：(1)因为双曲线E的渐近线分别为y=2x，y=-2x，

所以=2，所以=2，

故c=a，

从而双曲线E的离心率e=。

(2)由(1)知，双曲线E的方程为=1。

设直线l与x轴相交于点C。

当lx轴时，若直线l与双曲线E有且只有一个公共点，

则|OC|=a，|AB|=4a，

又因为OAB的面积为8，

所以|OC|·|AB|=8，

因此a·4a=8，解得a=2，

此时双曲线E的方程为=1。

若存在满足条件的双曲线E，则E的方程只能为=1。

以下证明：当直线l不与x轴垂直时，双曲线E:=1也满足条件。

设直线l的方程为y=kx+m，依题意，得k>2或k<-2，则C。

记A(x1，y1)，B(x2，y2)。

由得y1=，

同理得y2=，

由SOAB=|OC|·|y1-y2|=8，

即m2=4|4-k2|=4(k2-4)。

由得，(4-k2)x2-2kmx-m2-16=0。

因为4-k2<0，

Δ=4k2m2+4(4-k2)(m2+16)=-16(4k2-m2-16)，又m2=4(k2-4)，

所以Δ=0，即l与双曲线E有且只有一个公共点。

因此，存在总与l有且只有一个公共点的双曲线E，且E的方程为=1。

解法二：(1)同解法一。

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