函数综合题重点题型归纳

已知函数.

(Ⅰ)求曲线在点M()处的切线方程;

(Ⅱ)设a>0. 如果过点(a, b)时作曲线y=f(x)的三条切线，证明：

设函数.

(Ⅰ)证明：的导数;(Ⅱ)若对所有都有，求的取值范围.

已知函数，.()讨论函数的单调区间;()设函数在区间内是减函数，求的取值范围.

设函数.

(Ⅰ)求的单调期间;(Ⅱ)如果对任何，都有，求a的取值范围.

设函数有两个极值点，且

(I)求的取值范围，并讨论的单调性;(II)证明：

已知，其中是自然常数，

(1)讨论时, 的单调性、极值; (2)求证：在(1)的条件下，;

(3)是否存在实数，使的最小值是3，若存在，求出的值;若不存在，说明理由.已知函数(R)的一个极值点为.方程的两个实根为, 函数在区间上是单调的.

(1) 求的值和的取值范围; (2) 若, 证明:

设函数在两个极值点，且

(I)求满足的约束条件，并在坐标平面内，画出满足这些条件的点的区域;

(II)证明：

、是定义在上且满足如下条件的函数组成的集合：①对任意的，都有;②存在常数，使得对任意的，都有.

(I)设 ，证明：

(II)设，如果存在，使得，那么这样的是唯一的;

(III) 设，任取，令，，证明：给定正整数，对任意的正整数，成立不等式函数综合题重点题型归纳解：(Ⅰ)求函数的导数：

曲线处的切线方程为：即

(Ⅱ)如果有一条切线过点(a，b)，则存在使

于是，若过点(a，b)可作曲线的三条切线，则方程有三个相异的实数根，记 则

当t变化时，变化情况如下表：

t(-∞，0)0(0，a)a(a，+∞)+0-0+↗极大值a+b↘极小值b-↗由的单调性，当极大值或极小值时，方程最多有一个实数根;

当时，解方程，即方程只有两个相异的实数根;

当时，解方程，即方程只有两个相异的实数根

综上，如果过可作曲线三条曲线，即有三个相异的实数根，则

即 解：(Ⅰ)的导数.由于，故.(当且仅当时，等号成立).

(Ⅱ)令，则，

(ⅰ)若，当时，，故在上为增函数，所以，时，，即.

(ⅱ)若，方程的正根为，

此时，若，则，故在该区间为减函数.

所以，时，，即，与题设相矛盾.

综上，满足条件的的取值范围是.

解：(1)求导：

当时，，，在上递增当，求得两根为

即在递增，递减，递增

(2)，且解得：

解：(Ⅰ)当()时，，即;

当()时，，即.

因此在每一个区间()是增函数，

在每一个区间()是减函数.6分(Ⅱ)令，则故当时，.又，所以当时，，即.当时，令，则.故当时，因此在上单调增加.故当时，，即于是，当时，.

当时，有.因此，的取值范围是.12分

解: (I)

令，其对称轴为。由题意知是方程的两个均大于的不相等的实根，其充要条件为，得

⑴当时，在内为增函数;

⑵当时，在内为减函数;

⑶当时，在内为增函数;

(II)由(I)，

设，则

⑴当时，在单调递增;

⑵当时，，在单调递减。

故.

解：(1)， ……1分

∴当时，，此时单调递减

当时，，此时单调递增 …………3分

∴的极小值为 ……4分

(2)的极小值为1，即在上的最小值为1，∴ ，

令，， …………6分

当时，，在上单调递增 ………7分

∴ ∴在(1)的条件下，(3)假设存在实数，使()有最小值3，

① 当时，，所以 ， 所以在上单调递减，

，(舍去)，所以，此时无最小值. …10分

②当时，在上单调递减，在上单调递增

，，满足条件. ……11分

③ 当时，，所以，所以在上单调递减，，(舍去)，所以，此时无最小值.

综上，存在实数，使得当时有最小值3.……14分

(本小题主要考查函数和方程、函数导数、不等式等知识, 考查函数与方程、化归与转化的数学思想方法，以及抽象概括能力、推理论证能力和运算求解能力)

(1) 解:∵, ∴.

∵的一个极值点为, ∴.

∴ . ∴,

当时, ;当时, ;当时, ;

∴函数在上单调递增, 在上单调递减,在上单调递增.

∵方程的两个实根为, 即的两根为,

∴.∴,.

∵ 函数在区间上是单调的, ∴区间只能是区间,,之一的子区间.

由于,故.

若,则,与矛盾.∴.

∴方程的两根都在区间上. …6分

令, 的对称轴为,

则 解得.∴实数的取值范围为.

说明:6分至8分的得分点也可以用下面的方法.

∵且函数在区间上是单调的,∴ 由 即解得. ∴实数的取值范围为(2)证明:由(1)可知函数在区间上单调递减,

∴函数在区间上的最大值为, 最小值为.

∵,

∴

. …10分

令, 则,.

设, 则. ∵, ∴.

∴.∴函数在上单调递增.

∴.∴.

8、分析(I)这一问主要考查了二次函数根的分布及线性规划作可行域的能力。

大部分考生有思路并能够得分。由题意知方程有两个根

则有故有

右图中阴影部分即是满足这些条件的点的区域。

(II)这一问考生不易得分，有一定的区分度。主要原因是含字母较多，不易找到突破口。此题主要利用消元的手段，消去目标中的，(如果消会较繁琐)再利用的范围，并借助(I)中的约束条件得进而求解，有较强的技巧性。

解： 由题意有①又②

消去可得.又，且

9、解：对任意,,,, 所以

对任意的，，

，所以0<,

令=，，， 所以

反证法:设存在两个使得,则

由，得，所以，矛盾，故结论成立。

，所以

+…