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天津高考数学压轴题解题思路

编辑：sx_mengxiang

2014-05-26

已知函数

的最小值为0，其中a>0.

(1)求a的值;

(2)若对任意的

,有

$fleft ( x right )leq kx^{2}$

成立，求实数k的最小值;

(3)证明

$sum_{i=1}^{n}frac{2}{2i-1}-lnleft ( 2n+1 right )<2left ( nepsilon N^{*} right )$

分析：第一问不多讲,简单的由最值求参数问题，a=1.

第二问的设计表明，天津高考数学命题的难点开始转移，由原来的数列压轴朝导数综合题转化。而导数综合题的命制也在向外省学习，这个恒成立问题的命制方法来源于前几年全国卷.

处理这类问题的常规手段有两个：

1.分离参数的方法，将k从不等式中分离出来。如果新函数的最值非常难求，就要使用第二个方法.

2.不等式右侧归零，左侧构造成新函数。研究这个新函数的最值，通常会涉及到分类讨论思想.

通过权衡比较，发现本题只能采用第2个手段.

构造函数

$gleft ( x right )=x-lnleft ( x+1 right )-kx^{2}$

,则g(x)的最大值要小于等于零.

这样的题通常有一个套路，全国卷曾多次考到这个类型。套路是这样的：

1.通常区间的端点对应的函数值为零。比如，本题g(0)=0,所以本题只需

2.k取值的某个区间是符合题意的，此时通常函数是单调的，这个k值范围是最后结果;k取值的另外一些区间是不符合题意的，这部分k取值要舍去，当然要说明为什么舍去，理由通常是不能保证恒成立，即在x的取值范围内可以举出反例使不等式不成立.

至于如何对k值进行讨论，后面将写专门的文章来阐述分类讨论的方法.

下面是第二问的解答过程，各位读者注意书面表达能力的培养.

当k<0时，取x=1，有f(1)=1-ln2>0,故k<0不符题意;同理，k=0也不符合题意.

当k>0时，令

$gleft ( x right )=fleft ( x right )-kx^{2}$

,即

$gleft ( x right )=x-lnleft ( x+1 right )-kx^{2}$

令g'(x)=0,得

$x_{1}=0,x_{2}=frac{1-2k}{2k}>-1$

当

$kgeq frac{1}{2}$

时，

$frac{1-2k}{2k}leq 0$

,g'(x)<0在

上恒成立，所以g(x)在

上单调递减.从而对于任意的

,总有

,即

$fleft ( x right )leq kx^{2}$

在

上恒成立.

故

$kgeq frac{1}{2}$

符合题意.

当

$0<k<frac{1}{2}$

时，

$frac{1-2k}{2k}>0$

,对于

$xepsilon left ( 0,frac{1-2k}{2k} right ),g$

,故g(x)在

$left ( 0,frac{1-2k}{2k} right )$

内单调递增，因此当取

$x_{0}epsilon left ( 0,frac{1-2k}{2k} right )$

时，

$gleft ( x_{0} right )>gleft ( 0 right )=0$

,即

$fleft ( x_{0} right )leq kx_{0}^{2}$

不成立，故

$0< k< frac{1}{2}$

不合题意.

综上，k的最小值为

$frac{1}{2}$

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