数列通项公式的求法之构造构造辅助数列

1、递推公式满足型

①当为常数

思路：利用待定系数法，将化为的形式，从而构造新数列

是以为首项，以为公比的等比数列。(待定系数法，构造等比数列)

例1：数列满足，求数列的通项公式。

解：

故由得，即，得新数列是以

为首项，以2为公比的等比数列，，即通项。

②当为类一次函数

思路：利用待定系数法，构造数列，使其为等比数列;

例2：已知数列满足，且，求数列的通项公式。

设，解得，求得。

③当为类指数函数

思路：观察的形式，如果的底数与的系数相同时，则把两边

同时除以，从而构造出一个等差数列;如果的底数与的系数不相同时，可以利用待

定系数法构造一个等比数列，其具体构造方法有两种，详见例4题。

例3：已知数列满足，，求数列的通项公式。

解：两边除以，得，则，

故数列是以1为首项，以为公差的等差数列，得，

所以数列的通项公式为。

例4：已知数列满足，()，求数列的通项公式。

解法1：设从而。

解法2：由知，令，则

∴，从而。

例5：在数列中，求数列的通项公式。

解：原递推式可化为：，

比较系数得，①式即是：。

则数列是一个等比数列，其首项，公比是2。

∴，即。

补充练习：

1、已知数列满足，，求数列的通项公式。

解：

是以为首项，2为公比的等比数列。

，即。

2、已知数列中，，，求数列的通项公式。

解：在两边乘以得：

令，则，解之得：，所以。

3、已知，当时，，求数列的通项公式。

解：设，

∴解得： ∴ ∴ 是以3为首项，为公比的等比数列;∴∴。

4、已知数列满足，求数列的通项公式。

解：设.，比较系数得，，

则数列是以为首项，以2为公比的等比数列，则，

故。

5、已知数列满足，求数列的通项公式。

解：设，

比较系数得，，

故数列为以为首项，以2为公比的等比数列，因此，则。

6、已知数列满足，求数列的通项公式。

注：若中不含常数1时，则直接构造等差数列即可，但含常数1时则需累加。

解：两边除以，得，则，故

因此，则

7、已知数列满足，求数列的通项公式。

解：设.，

比较系数得，，

故数列是以为首项，以3为公比的等比数列，

因此。

8、在数列中，，，其中。求数列的通项公式。

解：由，，

可得，

所以数列是以0为首项，1为公差的等差数列，故，

所以数列的通项公式为。

2、递推公式满足、、等型或其交叉相乘的整式形式

思路：①递推公式满足型，取倒数，构造数列，使其为等差数列。

②递推公式满足型或型，构造数列，使其为等比数列。

例6：已知数列中，，由这个数列的第项为( C )

A、 B、 C、 D、

例7：已知数列满足，求证：是等差数列，并求的通项公式。

解：，，即

数列是首项为1，公差为3的等差数列;。

例8：在数列中，已知，求数列的通项公式。

解：由可知，对，;，

即，又。数列是首项为，公比为的等比数列，， 。

补充练习：

1、已知数列中，其中，且当时，，求数列的通项公式。

解：将两边取倒数得：，这说明是一个等差数列，首项是

，公差为2，所以，即。

2、已知数列，求数列的通项公式。

解：，即，则。

3、数列中，，，求数列的通项公式。

解：，∴

设，∴∴，

∴，，......，

∴，∴。

3、间隔性数列的通项公式