2014年云南高考数学解题思想方法技巧：解几开门 轨迹遥控

●计名释义?

求动点的轨迹图形及轨迹方程是解析几何中的核心，体现了用代数方法研究几何问题的数学思想.轨迹是解析几何的灵魂，它就象一个遥控器，指挥着我们行动的方向.由方程研究曲线和已知曲线求其方程是解析几何的两大研究方向，在图形与方程问题遇到困难的人，往往疏忽了“轨迹”二字.正是“轨迹”二字告诉了动点的性质，动点的性质才是图形性质和方程性质的根基.

●典例示范?

【例1】 动椭圆过定点M(1，2)，以y轴为准线，离心率e= . (1)求动椭圆左顶点的轨迹方程;(2)求椭圆长轴长的最大值和最小值.?

【思考】 如M(1，2)为右顶点，则左顶点为?P(1-2a,2).?椭圆中心为(1-a,2)，左准线为y轴.?∴ -a=0，?而e= . ∴ =2，有-3a+1=0，a= . 得点P1( ,2);如M(1，2)为左顶点，有?P2(1，2)，?∴P1P2中点为( ，2).?

由以上可以预见,所求轨迹是中心为O′( ,2)的椭圆.?

【解答】 (1)设椭圆左顶点为M(x,y)，则左焦点为F(x0，y0)=F(x+a-c，y)，?

∵e= ，且左准线为y轴, ∴ =0,?

得a=x，c= = ，有：F ，由椭圆第二定义： = e= .?

∴ ，化简得： ①?

(2)椭圆①的长半轴a′= ，∴- ≤x- ≤ ，得x∈ .?

原椭圆长半轴为a=x，∴2a=2x∈ .?故原椭圆长轴最大值为2，最小值为 .??

【例2】 已知双曲线的两个焦点分别为F1，F2，其中F1又是抛物线y2=4x的焦点，点A(-1，2)，B(3，2)在双曲线上，(1)求点F2的轨迹方程;(2)是否存在直线y=x+m与点F2的轨迹有且只有两个公共点，若存在，求出实数m的值，不存在，说明理由.?

【思考】 F1(1，0)为定点，∴|AF1|=2 =|BF1|为定值，设F2(x，y)，则|F2A|-2 =±(F2B-2 ).得|F2A|=|F2B|或|F2A|+|F2B|= 4 ，知动点F2的轨迹为直线AB的垂直平分线或以A、B为焦点的椭圆.?

【解答】 (1)点F2的轨迹方程为直线l：x=1或椭圆 .(不含短轴两端，即不含(1，0)，(1，4)解法略).?

(2)如图，当椭圆与直线y=x+m相切时，直线与所求轨迹恰有两交点(-为切点，另-为切线与直线x=1的交点)，其他情况下，若直线y=x+m过椭圆短轴端点时与所求轨迹仅有一个公共点，若不过短轴两端点而经过椭圆内部时则有三个公共点，由

?∴3x2+(4m-10)x+2m2-8m+1=0.?

此方程应有相等二实根，

∴Δ=(4m-10)2-12(2m2-8m+1)=0.?

化简得：m2-2m-11=0,∴m=1±2 .?

【小结】 探求轨迹，一要注意

其完备性也就是充分性：只要符合

条件的点都适合轨迹方程;二要

注意其纯粹性也就是必要性：只要

适合轨迹方程的点都符合轨迹条件. 例3题图

以例2为例：若忽视了直线x=1(不含(1，0)，(4，0))则不完备，若不除去(1，0)，(4，0)则又不纯粹.??

●对应训练?

1.已知双曲线过坐标原点O，实轴长为2，其中一个焦点坐标为F1(6,0)，另一个焦点F2为动点.?

(1)求双曲线中心的轨迹方程;?

(2)双曲线离心率最大时，求双曲线方程.?

2.已知定直线l和线外一定点O，Q为直线l上一动点，△OQP为正三角形(按逆时针方向转)，求点P的轨迹方程.?

3.已知双曲线过坐标原点O，实轴长为2，其中一个焦点坐标为F1(6，0)，另一个焦点F2为动点.(1)求双曲线中心的轨迹方程;(2)双曲线离心率最大时，求双曲线方程.?

4.已知抛物线C：y2=4x，(1)若椭圆左焦点及相应准线与抛物线C的焦点及相应准线分别重合.(1)求椭圆短轴端点B与焦点F所连线段的中点P的轨迹方程;(2)若M(m,0)是x轴上的一个定点，Q是(1)中所求轨迹上任意一点，求|MQ|的最小值.