2014年云南高考数学解题思想方法技巧：统计开门 存异求同

●计名释义?

甲问：什么是“可能一统”?乙答：就是“可能性”完成大一统.?

甲：此话怎讲?乙：排列、组合讲的是“可能状态”，概率讲的是“可能比值”，而统计则是对“各种可能”的计算，故称“可能一统”.?

甲：这有什么意义呢?乙：现实意义，实际意义，应用意义.你不知道吗，如今的数学应用题几乎全部转入到“可能一统”之中.?

甲：不错!以往的高考应用题，多在函数、方程、不等式上打主意，自从新课标普及以来，应用题转到概率和统计上了.不过，这是否在实用方面有点偏离高中数学的主干内容呢??乙：大概命题人也想到这点，因此近年的概统应用题，似乎都在想方设法往函数、方程、不等式方面拉关系!??

●典例示范?

【例1】 假设关于某设备的使用年限x和所支出的维修费用y(万元)，有如下的统计资料：?

x 2 3 4 5 6

y 2.2 3.8 5.5 6.5 7.0

若由资料可知y对x呈线性相关关系.试求：?

(1)线性回归方程;?

(2)估计使用年限为10年时，维修费用是多少??

【分析】 本题告诉了y与x间呈线性相关关系，倘若记住了公式，便可以迅速解答出此题.?

注：设所求的直线方程为 =bx+a，其中a、b是待定系数.?

相应的直线叫做回归直线，对两个变量所进行的上述统计分析叫做回归分析.?

解：(1)列表如下：?

i 1 2 3 4 5

xi 2 3 4 5 6

yi 2.2 3.8 5.5 6.5 7.0

xiyi 4.4 11.4 22.0 32.5 42.0

x

4 9 16 25 36

于是b= ，?

a= 0.08.? ∴线性回归方程为： =bx+a=1.23x+0.08.?

(2)当x=10时， =1.23×10+0.08=12.38(万元)?

即估计使用10年时维修费用是12.38万元.?

【点评】 本题若没有告诉我们y与x间是呈线性相关的，应首先进行相关性检验.如果本身两个变量不具备线性相关关系，或者说它们之间相关关系不显著时，即使求出回归方程也是没有意义的，而且其估计与预测也是不可信的.??

【例2】 某种灯泡的使用时数在1000小时之上的概率是0.7,求：?

(1)3个灯泡在使用1000小时之后恰坏1个的概率;?

(2)3个灯泡在使用1000小时之后最多只坏1个的概率.?

【思考】 本题的实质是检查3个灯泡，可视为3次独立重复试验.(1)中3个灯泡在使用1000小时之后恰坏1个，相当于在3次独立重复试验中事件A恰好发生2次(事件A是“灯泡的使用时数在1000小时以上”);(2)中指“恰好坏1个”与“3个都未坏”这两种情况，即事件A发生2次和发生3次，可用独立重复试验的方法求解.?

【解答】 设“灯泡的使用时数在1000小时以上”为事件A，则P(A)=0.7,检查3个灯泡可视为3次独立重复试验.?

(1)3个灯泡在使用1000小时之后恰好坏1个，相当于在3次独立重复试验中事件A恰好发生2次.?

∴P3(2) =C (0.7)2(1-0.7)3-2=3×0.49×0.3=0.441.?

(2)“3个灯泡在使用1000小时之后最多只坏1个”包括了“恰好坏1个”和“3个都未坏”这两种情况，它们彼此互斥，相当于A发生2次和发生3次的概率和，即所求概率为P3(2)+P3(3)=0.441+C 0.73=0.784.