2014年云南高考数学解题思想方法技巧：三角开门 八面玲珑

●计名释义?

三角函数是沟通平面几何，立体几何、解析几何、向量和函数的重要工具.它具有以下特点：?

1.公式多，变换多，技巧多;?

2.思想方法集中，特别是函数方程思想、数形结合思想和特殊一般思想;?

3.应用广泛，学科内自身应用和跨学科的综合应用.??

●典例示范?

【例1】 设a,b∈R，a2+2b2=6，则a+b的最小值是 ( )?

?A.-2 B. C.-3 D. ?

【解答】 a2+2b2=6 =1. 设 (θ∈[0，2π])，则

a+b= cosθ+ sinθ=3cos(θ-φ)，其中cosφ= ，sinφ= ，∴a+b≥-3，选?C?.?

【点评】 本例实施代数与解析几何、三角函数之间的转换，利用三角函数的有界性破题.??

【例2】 已知正数x,y满足3x2+2y2=6x，则x2+y2的最大值是 .

【思考】 对于本题，以下解法并不鲜见;?

由条件y2=3x- x2.?

∴x2+y2=x2+ x2+3x= (x-3)2+ .?

∴当且仅当x=3时，(x2+y2)max = .?你能发现这种解法有什么毛病吗??

先检验一下，如x=3,会有什么情况发生，将x=3代入已知条件，得：?

3×9+2y2=18. ∴2y2=-9.?

显然，我们得到了一个错误的等式，毛病在哪里呢?是没有分析条件所暗示的变量x,y的范围，正确的解法是:?

∵y2=3x- x2≥0，∴x2-2x≤0. 得x∈[0,2]，而x2+y2= (x-3)2+ .?

令z= (x-3)2+ ，则当x≤3时，z为增函数，已求x∈[0,2]，故当x=2时，

zmax = (2-3)2+ = 4，即(x2+y2)max= 4.?

【评注】 本题若用三角代换，可以避开陷阱，达到八面玲珑.由条件得：

(x-1)2+ y2=1.?

设 ，?则?

x2+y2=(1+cosθ)2+ sin2θ= cos2θ+2cosθ+ (cosθ-2)2+ .?

由于cosθ∈[-1,1],故当cosθ=1时，(x2+y2)max = + =4.?

此时，x=2，y=0.??

【例3】 设抛物线y2=4px(p>0)的准线交x轴于点M，过M作直线l交抛物线于A

、B两点，求AB中点的轨迹方程.?

【解答】 抛物线y2=4px的准线为x= -p，交x轴于M(-p,0),?

设过M的直线参数方程为： (t为参数)代入y2=4px：?

t2sin2θ-4ptcosθ+4p2=0 (1)?

方程(1)有相异二实根的条件是：?

?1,?

设方程(1)之二根为t1，t2，则t1+t2= ?

设AB之中点为Q(x,y)， ∵t= .?

∴ ，?消去θ得：y2=2p(x+p),?

∵|cotθ|>1，∴|y|>2p，即所求AB中点的轨迹方程为：y2=2p(x+p)(|y|>2p).?

【点评】 直线的参数方程即直线的三角形式，在处理解析几何中直线与曲线的关系中，常起重要作用，由于它能减少变量(由x,y两个变量减为一个变量t).所以其运算过程常比一般方程简便