2014最新高二数学暑假作业

精品学习网为同学总结归纳了最新高二数学暑假作业。希望对考生在备考中有所帮助，预祝大家暑假快乐。

1.用数学归纳法证明不等式1+++…+>(nN*)成立，其初始值至少应取(　　)

A.7 B.8 C.9 D.10

解析：选B　左边=1+++…+==2-，代入验证可知n的最小值是8.

2.用数学归纳法证明“1+a+a2+…+an+1=(a≠1)”，在验证n=1时，左端计算所得的项为(　　)

A.1 B.1+aC.1+a+a2 D.1+a+a2+a3

解析：选C　等式的左端为1+a+a2+…+an+1，当n=1时，左端=1+a+a2.

3.利用数学归纳法证明不等式1+++…+的过程中，由n=k推导n=k+1时，不等式的左边增加的式子是____________.

解析：不等式的左边增加的式子是+-=，故填.

答案：

8.已知数列{an}满足a1=1，an+1=an+1(nN*)，通过计算a1，a2，a3，a4，可猜想an=________.

解析：a1=1，a2=a1+1=，a3=a2+1=，a4=a3+1=.猜想an=.

答案：

9.设平面内有n条直线(n≥3)，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点.若用f(n)表示这n条直线交点的个数，则f(4)=________;当n>4时，f(n)=________________(用n表示).

解析：f(3)=2，f(4)=f(3)+3=2+3=5，

f(n)=f(3)+3+4+…+(n-1)=2+3+4+…+(n-1)

=(n+1)(n-2).

答案：5　(n+1)(n-2)

10.用数学归纳法证明下面的等式：

12-22+32-42+…+(-1)n-1·n2=(-1)n-1.

证明：(1)当n=1时，左边=12=1，右边=(-1)0·=1，原等式成立.

(2)假设n=k(kN*，k≥1)时，等式成立，

即有12-22+32-42+…+(-1)k-1·k2=(-1)k-1.

那么，当n=k+1时，则有12-22+32-42+…+(-1)k-1·k2+(-1)k·(k+1)2

=(-1)k-1+(-1)k·(k+1)2=(-1)k·[-k+2(k+1)]=(-1)k.

n=k+1时，等式也成立，

由(1)(2)知对任意nN*，有12-22+32-42+…+(-1)n-1·n2=(-1)n-1.

11.设数列{an}满足a1=3，an+1=a-2nan+2，n=1,2,3，….

(1)求a2，a3，a4的值，并猜想数列{an}的通项公式(不需证明);

(2)记Sn为数列{an}的前n项和，试求使得Sn<2n成立的最小正整数n，并给出证明.

解：(1)a2=5，a3=7，a4=9，猜想an=2n+1.

(2)Sn==n2+2n，使得Sn<2n成立的最小正整数n=6.

下证：n≥6(nN*)时都有2n>n2+2n.

n=6时，26>62+2×6，即64>48成立;

假设n=k(k≥6，kN*)时，2k>k2+2k成立，那么2k+1=2·2k>2(k2+2k)=k2+2k+k2+2k>k2+2k+3+2k=(k+1)2+2(k+1)，即n=k+1时，不等式成立;

由可得，对于任意的n≥6(nN*)都有2n>n2+2n成立.

12.(2014·舟山模拟)若不等式++…+>对一切正整数n都成立，求正整数a的最大值，并证明结论.

解：当n=1时，++>，即>，所以a<26.

而a是正整数，所以取a=25，下面用数学归纳法证明

++…+>.

(1)当n=1时，已证得不等式成立.

(2)假设当n=k(kN*)时，不等式成立，

即++…+>.

则当n=k+1时，有++…+

=++…++++-

>+.

因为+-=-

==>0，

所以当n=k+1时不等式也成立.由(1)(2)知，对一切正整数n，都有

++…+>，所以a的最大值等于25.

[冲击名校]

已知数列{an}满足a1=0，a2=1，当nN*时，an+2=an+1+an.求证：数列{an}的第4m+1项(mN*)能被3整除.

证明：(1)当m=1时，a4m+1=a5=a4+a3=(a3+a2)+(a2+a1)=(a2+a1)+2a2+a1=3a2+2a1=3+0=3.即当m=1时，第4m+1项能被3整除.故命题成立.

(2)假设当m=k时，a4k+1能被3整除，则当m=k+1时，

a4(k+1)+1=a4k+5=a4k+4+a4k+3=2a4k+3+a4k+2=2(a4k+2+a4k+1)+a4k+2=3a4k+2+2a4k+1.

显然，3a4k+2能被3整除，又由假设知a4k+1能被3整除.所以3a4k+2+2a4k+1能被3整除.

即当m=k+1时，a4(k+1)+1也能被3整除.命题也成立.

由(1)和(2)知，对于任意nN*，数列{an}中的第4m+1项能被3整除.

以上就是最新高二数学暑假作业，希望能帮助到大家。