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高二数学专项练习：余弦定理训练题

1．在△ABC中，已知a＝4，b＝6，C＝120°，则边c的值是()

A．8 B．217

C．62 D．219

解析：选D.根据余弦定理，c2＝a2＋b2－2abcos C＝16＋36－2×4×6cos 120°＝76，c＝219.

2．在△ABC中，已知a＝2，b＝3，C＝120°，则sin A的值为()

A.5719 B.217

C.338 D．－5719

解析：选A.c2＝a2＋b2－2abcos C

＝22＋32－2×2×3×cos 120°＝19.

∴c＝19.

由asin A＝csin C得sin A＝5719.

3．如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为__________．

解析：设底边边长为a，则由题意知等腰三角形的腰长为2a，故顶角的余弦值为4a2＋4a2－a22?2a?2a＝78.

答案：78

4．在△ABC中，若B＝60°，2b＝a＋c，试判断△ABC的形状．

解：法一：根据余弦定理得

b2＝a2＋c2－2accos B.

∵B＝60°，2b＝a＋c，

∴(a＋c2)2＝a2＋c2－2accos 60°，

整理得(a－c)2＝0，∴a＝c.

∴△ABC是正三角形．

法二：根据正弦定理，

2b＝a＋c可转化为2sin B＝sin A＋sin C.

又∵B＝60°，∴A＋C＝120°，

∴C＝120°－A，

∴2sin 60°＝sin A＋sin(120°－A)，

整理得sin(A＋30°)＝1，

∴A＝60°，C＝60°.

∴△ABC是正三角形．

课时训练

一、选择题

1．在△ABC中，符合余弦定理的是()

A．c2＝a2＋b2－2abcos C

B．c2＝a2－b2－2bccos A

C．b2＝a2－c2－2bccos A

D．cos C＝a2＋b2＋c22ab

解析：选A.注意余弦定理形式，特别是正负号问题．

2．(2011年合肥检测)在△ABC中，若a＝10，b＝24，c＝26，则最大角的余弦值是()

A.1213 B.513

C．0 D.23

解析：选C.∵c＞b＞a，∴c所对的角C为最大角，由余弦定理得cos C＝a2＋b2－c22ab＝0.

3．已知△ABC的三边分别为2,3,4，则此三角形是()

A．锐角三角形 B．钝角三角形

C．直角三角形 D．不能确定

解析：选B.∵42＝16＞22＋32＝13，∴边长为4的边所对的角是钝角，∴△ABC是钝角三角形．

4．在△ABC中，已知a2＝b2＋bc＋c2，则角A为()

A.π3 B.π6

C.2π3 D.π3或2π3

解析：选C.由已知得b2＋c2－a2＝－bc，

∴cos A＝b2＋c2－a22bc＝－12，

又∵0＜A＜π，∴A＝2π3，故选C.

5．在△ABC中，下列关系式

①asin B＝bsin A

②a＝bcos C＋ccos B

③a2＋b2－c2＝2abcos C

④b＝csin A＋asin C

一定成立的有()

A．1个 B．2个

C．3个 D．4个

解析：选C.由正、余弦定理知①③一定成立．对于②由正弦定理知sin A＝sin Bcos C＋sin Ccos B＝sin(B＋C)，显然成立．对于④由正弦定理sin B＝sin Csin A＋sin Asin C＝2sin Asin C，则不一定成立．

6．在△ABC中，已知b2＝ac且c＝2a，则cos B等于()

A.14 B.34

C.24 D.23

解析：选B.∵b2＝ac，c＝2a，

∴b2＝2a2，

∴cos B＝a2＋c2－b22ac＝a2＋4a2－2a22a?2a

＝34.

二、填空题

7．在△ABC中，若A＝120°，AB＝5，BC＝7，则AC＝________.

解析：由余弦定理，

得BC2＝AB2＋AC2－2AB?AC?cosA，

即49＝25＋AC2－2×5×AC×(－12)，

AC2＋5AC－24＝0.

∴AC＝3或AC＝－8(舍去)．

答案：3

8．已知三角形的两边分别为4和5，它们的夹角的余弦值是方程2x2＋3x－2＝0的根，则第三边长是________．

解析：解方程可得该夹角的余弦值为12，由余弦定理得：42＋52－2×4×5×12＝21，∴第三边长是21.

答案：21

9．在△ABC中，若sin A∶sin B∶sin C＝5∶7∶8，则B的大小是________．

解析：由正弦定理，

得a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C＝5∶7∶8.

不妨设a＝5k，b＝7k，c＝8k，

则cos B＝?5k?2＋?8k?2－?7k?22×5k×8k＝12，

∴B＝π3.

答案：π3

三、解答题

10．已知在△ABC中，cos A＝35，a＝4，b＝3，求角C.

解：A为b，c的夹角，

由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A，

∴16＝9＋c2－6×35c，

整理得5c2－18c－35＝0.

解得c＝5或c＝－75(舍)．

由余弦定理得cos C＝a2＋b2－c22ab＝16＋9－252×4×3＝0，

∵0°＜C＜180°，∴C＝90°.

11．在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C所对的边长，若(a＋b＋c)(sin A＋sin B－sin C)＝3asin B，求C的大小．

解：由题意可知，

(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，

于是有a2＋2ab＋b2－c2＝3ab，

即a2＋b2－c22ab＝12，

所以cos C＝12，所以C＝60°.

12．在△ABC中，b＝asin C，c＝acos B，试判断△ABC的形状．

解：由余弦定理知cos B＝a2＋c2－b22ac，代入c＝acos B，

得c＝a?a2＋c2－b22ac，∴c2＋b2＝a2，

∴△ABC是以A为直角的直角三角形．

又∵b＝asin C，∴b＝a?ca，∴b＝c，

∴△ABC也是等腰三角形．

综上所述，△ABC是等腰直角三角形．

以上就是“高二数学专项练习：余弦定理训练题”的所有内容，希望对大家有所帮助！

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