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高二数学专项练习：正弦定理测试题

1．在△ABC中，A＝60°，a＝43，b＝42，则()

A．B＝45°或135° B．B＝135°

C．B＝45° D．以上答案都不对

解析：选C.sin B＝22，∵a＞b，∴B＝45°.

2．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若c＝2，b＝6，B＝120°，则a等于()

A.6 B．2

C.3 D.2

解析：选D.由正弦定理6sin 120°＝2sin C?sin C＝12，

于是C＝30°?A＝30°?a＝c＝2.

3．在△ABC中，若tan A＝13，C＝150°，BC＝1，则AB＝__________.

解析：在△ABC中，若tan A＝13，C＝150°，

∴A为锐角，sin A＝110，BC＝1，

则根据正弦定理知AB＝BC?sin Csin A＝102.

答案：102

4．已知△ABC中，AD是∠BAC的平分线，交对边BC于D，求证：BDDC＝ABAC.

证明：如图所示，设∠ADB＝θ，

则∠ADC＝π－θ.

在△ABD中，由正弦定理得：

BDsin A2＝ABsin θ，即BDAB＝sinA2sin θ；①

在△ACD中，CDsin A2＝ACsin?π－θ?，

∴CDAC＝sinA2sin θ.②

由①②得BDAB＝CDAC，

∴BDDC＝ABAC.

一、选择题

1．在△ABC中，a＝5，b＝3，C＝120°，则sin A∶sin B的值是()

A.53 B.35

C.37 D.57

解析：选A.根据正弦定理得sin Asin B＝ab＝53.

2．在△ABC中，若sin Aa＝cos Cc，则C的值为()

A．30° B．45°

C．60° D．90°

解析：选B.∵sin Aa＝cos Cc，∴sin Acos C＝ac，

又由正弦定理ac＝sin Asin C.

∴cos C＝sin C，即C＝45°，故选B.

3．(2010年高考湖北卷)在△ABC中，a＝15，b＝10，A＝60°，则cos B＝()

A．－223 B.223

C．－63 D.63

解析：选D.由正弦定理得15sin 60°＝10sin B，

∴sin B＝10?sin 60°15＝10×3215＝33.

∵a＞b，A＝60°，∴B为锐角．

∴cos B＝1－sin2B＝1－?33?2＝63.

4．在△ABC中，a＝bsin A，则△ABC一定是()

A．锐角三角形 B．直角三角形

C．钝角三角形 D．等腰三角形

解析：选B.由题意有asin A＝b＝bsin B，则sin B＝1，即角B为直角，故△ABC是直角三角形．

5．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知A＝π3，a＝3，b＝1，则c＝()

A．1 B．2

C.3－1 D.3

解析：选B.由正弦定理asin A＝bsin B，可得3sinπ3＝1sin B，

∴sin B＝12，故B＝30°或150°.

由a＞b，得A＞B，∴B＝30°.

故C＝90°，由勾股定理得c＝2.

6．(2011年天津质检)在△ABC中，如果A＝60°，c＝4，a＝4，则此三角形有()

A．两解 B．一解

C．无解 D．无穷多解

解析：选B.因csin A＝23＜4，且a＝c，故有唯一解．

二、填空题

7．在△ABC中，已知BC＝5，sin C＝2sin A，则AB＝________.

解析：AB＝sin Csin ABC＝2BC＝25.

答案：25

8．在△ABC中，B＝30°，C＝120°，则a∶b∶c＝________.

解析：A＝180°－30°－120°＝30°，

由正弦定理得：

a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C＝1∶1∶3.

答案：1∶1∶3

9．(2010年高考北京卷)在△ABC中，若b＝1，c＝3，∠C＝2π3，则a＝________.

解析：由正弦定理，有3sin2π3＝1sin B，

∴sin B＝12.∵∠C为钝角，

∴∠B必为锐角，∴∠B＝π6，

∴∠A＝π6.

∴a＝b＝1.

答案：1

三、解答题

10．在△ABC中，已知sin A∶sin B∶sin C＝4∶5∶6，且a＋b＋c＝30，求a.

解：∵sin A∶sin B∶sin C＝a2R∶b2R∶c2R＝a∶b∶c，

∴a∶b∶c＝4∶5∶6.∴a＝30×415＝8.

11．在△ABC中，角A，B，C所对的三边分别为a，b，c.已知a＝5，b＝2，B＝120°，解此三角形．

解：法一：根据正弦定理asin A＝bsin B，得sin A＝asin Bb＝5×322＝534＞1.所以A不存在，即此三角形无解．

法二：因为a＝5，b＝2，B＝120°，所以A＞B＝120°.所以A＋B＞240°，这与A＋B＋C＝180°矛盾．所以此三角形无解．

法三：因为a＝5，b＝2，B＝120°，所以asin B＝5sin 120°＝532，所以b＜asin B．又因为若三角形存在，则bsin A＝asin B，得b＞asin B，所以此三角形无解．

12．在△ABC中，acos(π2－A)＝bcos(π2－B)，判断△ABC的形状．

解：法一：∵acos(π2－A)＝bcos(π2－B)，

∴asin A＝bsin B．由正弦定理可得：a?a2R＝b?b2R，

∴a2＝b2，∴a＝b，∴△ABC为等腰三角形．

法二：∵acos(π2－A)＝bcos(π2－B)，

∴asin A＝bsin B．由正弦定理可得：

2Rsin2A＝2Rsin2B，即sin A＝sin B，

∴A＝B.(A＋B＝π不合题意舍去)

故△ABC为等腰三角形．

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