数学充要条件训练题高二

数学充要条件训练题一、选择题(每小题6分，共42分)

1.已知A和B是两个命题，如果A是B的充分但不必要条件，那么 A是 B的(    )

A.充分但不必要条件                        B.必要但不充分条件

C.充要条件                                D.既不充分也不必要条件

答案：B

解析：“A B” “ B  A”,“B A”等价于“ A  B”.

2.(2010浙江杭州二中模拟，4)“a>2且b>2”是“a+b>4且ab>4”的(    )

A.充分非必要条件                          B.必要非充分条件

C.充要条件                                D.既不充分也不必要条件

答案：A

解析：充分性显然，当a=5,b=1时，有a+b>4,ab>4,但“a>2且b>2”不成立.

3.(2010北京西城区一模，5)设a、b∈R,则“a>b”是“a>|b|”的(    )

A.充分非必要条件                          B.必要非充分条件

C.充要条件                                D.既不是充分条件也不是必要条件

答案：B

解析：a>b并不能得到a>|b|.

如2>-5,但2<|-5|,且a>|b| a>b.故选B.

4.已知条件p:|x|=x,条件q:x2≥-x,则p是q的(    )

A.充分不必要条件                         B.必要不充分条件

C.充要条件                               D.?既不充分也不必要条件

答案：A

解析：p:A={0,1},q:B={x|x≤-1或x≥0}.

∵A B，∴p是q的充分不必要条件.

5.已知真命题：“a≥b是c>d的充分不必要条件”，和“a

A.充分非必要条件                         B.必要非充分条件

C.充分必要条件                           D.?既不充分也不必要条件

答案：A

解析：“a≥b是c>d的充分不必要条件”等价于“c≤d a

6.(2010全国大联考，2)不等式1

A.充分而不必要条件                       B.必要而不充分条件

C.充要条件                               D.?即不充分也不必要条件

答案：A

解析：当1

7.已知抛物线y=ax2+bx+c(a>0,b,c∈R)则“关于x的不等式ax2+bx+c

A.充分不必要条件                         B.必要不充分条件

C.充要条件                               D.既不充分又不必要条件

答案：B

解析：ax2+bx+c

二、填空题(每小题5分，共15分)

8.方程3x2-10x+k=0有两个同号且不相等的实根的充要条件是______________.

答案：0

解析：其充要条件为  0

9.已知p:|x+1|>2和q: >0,则 p是 q的__________________.(填“充分不必要”“必要不充分”“充要条件”“既不充分又不必要?条件”)

答案：充分不必要

解析：∵p:x<-3或x>1,

q:x<-4或x>1,

∴ p:-3≤x≤1,  q:-4≤x≤1.

∴ p是 q的充分不必要条件.

10.给出下列各组p与q:

(1)p:x2+x-2=0,q:x=-2;

(2)p:x=5,q:x>-3;

(3)p:内错角相等，q：两条直线互相平行;

(4)p：两个角相等，q:两个角是对顶角;

(5)p:x∈M,且x∈P,q:x∈M∪P(P,M≠ ).

其中p是q的充分不必要条件的组的序号是_____________________.

答案：(2)(5)

解析：(1)(4)中p是q的必要不充分条件;?(3)中p是q的充要条件;(2)(5)满足题意.

三、解答题(11—13题每小题10分，14题13分，共43分)

11.设x、y∈R,求证：|x+y|=|x|+|y|成立的充要条件是xy≥0.

证明：充分性：如果xy=0,那么①x=0,y≠0;②y=0,x≠0;③x=0,y=0.于是|x+y|=|x|+|y|.

如果xy>0,即x>0,y>0或x<0,y<0.

当x>0,y>0时，|x+y|=x+y=?|x|+|y|?;

当x<0,y<0时，|x+y|=-(x+y)=-x+(-y)=|x|+|y|.总之，当xy≥0时，有|x+y|=|x|+|y|.

必要性：解法一：由|x+y|=|x|+|y|及x,y∈R,得(x+y)2=(|x|+|y|)2,即x2+2xy+y2=x2+2|xy|+y2,|xy|=xy,∴xy≥0.

解法二：|x+y|=|x|+|y| (x+y)2=(|x|+|y|)2 x2+y2+2xy=x2+y2+2|xy| xy=|xy| xy≥0.

12.已知a,b是实数，求证：a4-b4=1+2b2成立的充分条件是a2-b2=1,该条件是否是必要条件?证明你的结论.

证明：该条件是必要条件.

当a2-b2=1即a2=b2+1时，

a4-b4=(b2+1)2-b4=2b2+1.

∴a4-b4=1+2b2成立的充分条件是a2-b2=1又a4-b4=1+2b2,故a4=(b2+1)2.

∴a2=b2+1，即a2-b2=1故该条件是必要条件.

13.已知关于x的方程：(a-6)x2-(a+2)x-1=0.(a∈R),求方程至少有一负根的充要条件.

解析：∵当a=6时，原方程为8x=-1,有负根x=- .

当a≠6时，方程有一正根，一负根的充要条件是：x1x2=- <0,即a>6.

方程有两负根的充要条件是：

即2≤a<6.

∴方程至少有一负根的充要条件是：2≤a<6或a=6或a>6,即a≥2.

14.(1)是否存在实数p，使“4x+p<0”是“x2-x-2>0”的充分条件?如果存在，求出p的取值范围;

(2)是否存在实数p，使“4x+p<0”是“x2-x-2>0”的必要条件?如果存在，求出p的取值范围.

解析：(1)当x>2或x<-1时，x2-x-2>0,

由4x+p<0得x<- ,故- ≤-1时,

“x<- ” “x<-1” “x2-x-2>0”.

∴p≥4时，“4x+p<0”是“x2-x-2>0”的充分条件.

(2)不存在实数p，使“4x+p<0”是“x2-x-2>0”的必要条件.

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