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本文题目：高三数学教案：抛物线复习

1 抛物线的定义：平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线.

2 抛物线的图形和性质：

①顶点是焦点向准线所作垂线段中点。

②焦准距：

③通径：过焦点垂直于轴的弦长为 。

④顶点平分焦点到准线的垂线段： 。

⑤焦半径为半径的圆：以P为圆心、FP为半径的圆必与准线相切。所有这样的圆过定点F、准线是公切线。

⑥焦半径为直径的圆：以焦半径 FP为直径的圆必与过顶点垂直于轴的直线相切。所有这样的圆过定点F、过顶点垂直于轴的直线是公切线。

⑦焦点弦为直径的圆：以焦点弦PQ为直径的圆必与准线相切。所有这样的圆的公切线是准线。

3 抛物线标准方程的四种形式：

4 抛物线 的图像和性质：

①焦点坐标是： ，

②准线方程是： 。

③焦半径公式：若点 是抛物线 上一点，则该点到抛物线的焦点的距离(称为焦半径)是： ，

④焦点弦长公式：过焦点弦长

⑤抛物线 上的动点可设为P 或 或P

5 一般情况归纳：

方程 图象 焦点 准线 定义特征

y2=kx k>0时开口向右 (k/4,0) x= ─k/4 到焦点(k/4,0)的距离等于到准线x= ─k/4的距离

k<0时开口向左

x2=ky k>0时开口向上 (0,k/4) y= ─k/4 到焦点(0,k/4)的距离等于到准线y= ─k/4的距离

k<0时开口向下

抛物线的定义：

例1：点M与点F (-4，0)的距离比它到直线l：x-6=0的距离4.2，求点M的轨迹方程.

分析：点M到点F的距离与到直线x=4的距离恰好相等，符合抛物线定义.

答案：y2=-16x

例2：斜率为1的直线l经过抛物线y2=4x的焦点，与抛物线相交于点A、B，求线段A、B的长.

分析：这是灵活运用抛物线定义的题目.基本思路是：把求弦长AB转化为求A、B两点到准线距离的和.

解：如图8-3-1，y2=4x的焦点为F (1，0)，则l的方程为y=x-1.

由 消去y得x2-6x+1=0.

设A (x1，y1)，B (x2，y2) 则x1+x2=6.

又A、B两点到准线的距离为 ， ，则

点评：抛物线的定义本身也是抛物线最本质的性质，在解题中起到至关重要的作用。

例3:(1) 已知抛物线的标准方程是y2=10x，求它的焦点坐标和准线方程;

(2) 已知抛物线的焦点是F (0，3)求它的标准方程;

(3) 已知抛物线方程为y=-mx2 (m>0)求它的焦点坐标和准线方程;

(4) 求经过P (-4，-2)点的抛物线的标准方程;

分析：这是为掌握抛物线四类标准方程而设计的基础题，解题时首先分清属哪类标准型，再录求P值(注意p>0).特别是(3)题，要先化为标准形式： ，则 .(4)题满足条件的抛物线有向左和向下开口的两条，因此有两解.

答案：(1) ， .(2) x2=12y (3) ， ;(4) y2=-x或x2=-8y.

例4 求满足下列条件的抛物线的标准方程，并求对应抛物线的准线方程：

(1)过点(-3，2);

(2)焦点在直线x-2y-4=0上

分析：从方程形式看，求抛物线的标准方程仅需确定一个待定系数p;从实际分析，一般需确定p和确定开口方向两个条件，否则，应展开相应的讨论

解：(1)设所求的抛物线方程为y2=-2px或x2=2py(p>0)，

∵过点(-3，2)，

∴4=-2p(-3)或9=2p•2

∴p= 或p=

∴所求的抛物线方程为y2=- x或x2= y，前者的准线方程是x= ，后者的准线方程是y=-

(2)令x=0得y=-2，令y=0得x=4，

∴抛物线的焦点为(4，0)或(0，-2)

当焦点为(4，0)时， =4，

∴p=8，此时抛物线方程y2=16x;

焦点为(0，-2)时， =2，

∴p=4，此时抛物线方程为x2=-8y

∴所求的抛物线的方程为y2=16x或x2=-8y，

对应的准线方程分别是x=-4，y=2

常用结论

① 过抛物线y2=2px的焦点F的弦AB长的最小值为2p

② 设A(x1，y)， 1B(x2，y2)是抛物线y2=2px上的两点， 则AB过F的充要条件是y1y2=-p2

③ 设A， B是抛物线y2=2px上的两点，O为原点， 则OA⊥OB的充要条件是直线AB恒过定点(2p，0)

例5：过抛物线y2=2px (p>0)的顶点O作弦OA⊥OB，与抛物线分别交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，求证：y1y2=-4p2.

分析：由OA⊥OB，得到OA、OB斜率之积等于-1，从而得到x1、x2，y1、y2之间的关系.又A、B是抛物线上的点，故(x1，y1)、(x2，y2)满足抛物线方程.从这几个关系式可以得到y1、y2的值.

证：由OA⊥OB，得 ，即y1y2=-x1x2，又 ， ，所以： ，即 . 而y1y2≠0.所以y1y2=-4p2.

弦的问题

例1 A,B是抛物线y2=2px(p>0)上的两点，满足OAOB(O为坐标原点) 求证：(1)A,B两点的横坐标之积，纵坐标之积为定值;

(2)直线AB经过一个定点

(3)作OMAB于M，求点M的轨迹方程

解：(1)设A(x1,y1), B(x2,y2), 则y12=2px1, y22=2px2,

∴y12y22=4p2x1x2,

∵OAOB, ∴x1x2+y1y2=0,

由此即可解得：x1x2=4p2, y1y2=─4p2 (定值)

(2)直线AB的斜率k= = = ,

∴直线AB的方程为y─y1= (x─ ),

即y(y1+y2)─y1y2=2px, 由(1)可得 y= (x─2p),

直线AB过定点C(2p,0)

(3)解法1:设M(x,y), 由(2)知y= (x─2p) (i),

又ABOM, 故两直线的斜率之积为─1, 即 • = ─1 (ii)

由(i),(ii)得x2─2px+y2=0 (x0)

解法2: 由OMAB知点M的轨迹是以原点和点(2p,0)为直径的圆(除去原点) 立即可求出

例2 定长为3的线段AB的两个端点在抛物线y2=x上移动，AB的中点为M，求点M到y轴的最短距离，并求此时点M的坐标

解：如图，设A(x1,y1), B(x2,y2),M(x,y), 则x= , y= ,

又设点A，B，M在准线 :x=─1/4上的射影分别为A/,B/,M/, MM/与y轴的交点为N，

则|AF|=|AA/|=x1+ ,|BF|=|BB/|=x2+ ,

∴x= (x1+x2)= (|AF|+|BF|─ ) (|AB|─ )=

等号在直线AB过焦点时成立，此时直线AB的方程为y=k(x─ )

由 得16k2x2─8(k2+2)x+k2=0

依题意|AB|= |x1─x2|= × = =3,

∴k2=1/2, 此时x= (x1+x2)= =

∴y= ± 即M( , ), N( ,─ )

例3 设一动直线过定点A(2, 0)且与抛物线 相交于B、C两点,点B、C在 轴上的射影分别为 , P是线段BC上的点,且适合 ,求 的重心Q的轨迹方程,并说明该轨迹是什么图形

解析: 设 ,

,

由 得

①

又 代入①式得 ②

由 得 代入②式得:

由 得 或 , 又由①式知 关于 是减函数且

, 且

所以Q点轨迹为一线段(抠去一点):

( 且 )

例4 已知抛物线 ,焦点为F,一直线 与抛物线交于A、B两点,且 ,且AB的垂直平分线恒过定点S(6, 0)

①求抛物线方程; ②求 面积的最大值

解: ①设 , AB中点

由 得

又 得

所以 依题意 ,

抛物线方程为

②由 及 ,

令 得

又由 和 得:

例5 定长为3的线段AB的两个端点在抛物线y2=x上移动，AB的中点为M，求点M到y轴的最短距离，并求此时点M的坐标

解：如图，设A(x1,y1), B(x2,y2),M(x,y), 则x= , y= ,

又设点A，B，M在准线 :x=─1/4上的射影分别为A/,B/,M/, MM/与y轴的交点为N，

则|AF|=|AA/|=x1+ ,|BF|=|BB/|=x2+ ,

∴x= (x1+x2)= (|AF|+|BF|─ ) (|AB|─ )=

等号在直线AB过焦点时成立，此时直线AB的方程为y=k(x─ )

由 得16k2x2─8(k2+2)x+k2=0

依题意|AB|= |x1─x2|= × = =3,

∴k2=1/2, 此时x= (x1+x2)= =

∴y= ± 即M( , ), N( ,─ )

综合类(几何)

例1 过抛物线焦点的一条直线与它交于两点P、Q，通过点P和抛物线顶点的直线交准线于点M，如何证明直线MQ平行于抛物线的对称轴?

解：思路一：求出M、Q的纵坐标并进行比较，如果相等，则MQ//x轴，为此，将方程 联立，解出

直线OP的方程为 即

令 ，得M点纵坐标 得证.

由此可见，按这一思路去证，运算较为繁琐.

思路二：利用命题“如果过抛物线 的焦点的一条直线和这条抛物线相交，两上交点的纵坐标为 、 ，那么 ”来证.

设 、 、 ，并从 及 中消去x，得到 ，则有结论 ，即 .

又直线OP的方程为 ， ，得 .

因为 在抛物线上，所以 .

从而 .

这一证法运算较小.

思路三：直线MQ的方程为 的充要条件是 .

将直线MO的方程 和直线QF的方程 联立，它的解(x ,y)就是点P的坐标，消去 的充要条件是点P在抛物线上，得证.这一证法巧用了充要条件来进行逆向思维，运算量也较小.

说明：本题中过抛物线焦点的直线与x轴垂直时(即斜率不存在)，容易证明成立.

例2 已知过抛物线 的焦点且斜率为1的直线交抛物线于A、B两点，点R是含抛物线顶点O的弧AB上一点，求△RAB的最大面积.

分析：求RAB的最大面积，因过焦点且斜率为1的弦长为定值，故可以 为三角形的底，只要确定高的最大值即可.

解：设AB所在的直线方程为 .

将其代入抛物线方程 ，消去x得

当过R的直线l平行于AB且与抛物线相切时，△RAB的面积有最大值.

设直线l方程为 .代入抛物线方程得

由 得 ，这时 .它到AB的距离为

∴△RAB的最大面积为 .

例3 直线 过点 ，与抛物线 交于 、 两点，P是线段 的中点，直线 过P和抛物线的焦点F，设直线 的斜率为k.

(1)将直线 的斜率与直线 的斜率之比表示为k的函数 ;

(2)求出 的定义域及单调区间.

分析： 过点P及F，利用两点的斜率公式，可将 的斜率用k表示出来，从而写出 ，由函数 的特点求得其定义域及单调区间.

解：(1)设 的方程为： ，将它代入方程 ，得

设 ，则

将 代入 得： ，即P点坐标为 .

由 ，知焦点 ，∴直线 的斜率

∴函数 .

(2)∵ 与抛物线有两上交点，∴ 且

解得 或

∴函数 的定义域为

当 时， 为增函数.

例4 如图所示：直线l过抛物线 的焦点，并且与这抛物线相交于A、B两点，求证：对于这抛物线的任何给定的一条弦CD，直线l不是CD的垂直平分线.

分析：本题所要证的命题结论是否定形式，一方面可根据垂直且平分列方程得矛盾结论;别一方面也可以根据l上任一点到C、D距离相等来得矛盾结论.

证法一：假设直线l是抛物线的弦CD的垂直平方线，因为直线l与抛物线交于A、B两点，所以直线l的斜率存在，且不为零;直线CD的斜率存在，且不为0.

设C、D的坐标分别为 与 .则

∴l的方程为

∵直线l平分弦CD

∴CD的中点 在直线l上，

即 ，化简得：

由 知 得到矛盾，所以直线l不可能是抛物线的弦CD的垂直平分线.

证法二：假设直线l是弦CD的垂直平分线

∵焦点F在直线l上，∴

由抛物线定义， 到抛物线的准线 的距离相等.

∵ ，

∴CD的垂直平分线l： 与直线l和抛物线有两上交点矛盾，下略.

例5 设过抛物线 的顶点O的两弦OA、OB互相垂直，求抛物线顶点O在AB上射影N的轨迹方程.

分析：求与抛物线有关的轨迹方程，可先把N看成定点 ;待求得 的关系后再用动点坐标 来表示，也可结合几何知识，通过巧妙替换，简化运算.

解法一：设

则： ，

， 即

， ①

把N点看作定点，则AB所在的直线方程为： 显然

代入 化简整理得：

， ②

由①、②得： ，化简得

用x、y分别表示 得：

解法二：点N在以OA、OB为直径的两圆的交点(非原点)的轨迹上，设 ，则以OA为直径的圆方程为：

①

设 ，OA⊥OB，则

在求以OB为直径的圆方程时以 代 ，可得

②

由①+②得：

例6如图所示，直线 和 相交于点M， ⊥ ，点 ，以A、B为端点的曲线段C上的任一点到 的距离与到点N的距离相等，若△AMN为锐角三角形， ， ，且 ，建立适当的坐标系，求曲线段C的方程.

分析：因为曲线段C上的任一点是以点N为焦点，以 为准线的抛物线的一段，所以本题关键是建立适当坐标系，确定C所满足的抛物线方程.

解：以 为x轴，MN的中点为坐标原点O，建立直角坐标系.

由题意，曲线段C是N为焦点，以 为准线的抛物线的一段，其中A、B分别为曲线段的两端点.

∴设曲线段C满足的抛物线方程为： 其中 、 为A、B的横坐标

令 则 ，

∴由两点间的距离公式，得方程组：

解得 或

∵△AMN为锐角三角形，∴ ，则 ，

又B在曲线段C上，

则曲线段C的方程为

例7如图所示，设抛物线 与圆 在x轴上方的交点为A、B，与圆 在x由上方的交点为C、D，P为AB中点，Q为CD的中点.(1)求 .(2)求△ABQ面积的最大值.

分析：由于P、Q均为弦AB、CD的中点，故可用韦达定理表示出P、Q两点坐标，由两点距离公式即可求出 .

解：(1)设

由 得： ，

由 得 ，

同 类似，

则 ，

(2)

，∴当 时， 取最大值 .

例8　已知直线 过原点，抛物线 的顶点在原点，焦点在 轴的正半轴上，且点 和点 关于直线 的对称点都在 上，求直线 和抛物线 的方程.

分析：设出直线 和抛物线 的方程，由点 、 关于直线 对称，求出对称点的坐标，分别代入抛物线方程.或设 ，利用对称的几何性质和三角函数知识求解.

解法一：设抛物线 的方程为 ，直线 的方程为 ，

则有点 ，点 关于直线 的对称点为 、 ，

则有 解得

解得

如图， 、 在抛物线上

∴

两式相除，消去 ，整理，得 ，故 ，

由 ， ，得 .把 代入，得 .

∴直线 的方程为 ，抛物线 的方程为 .

解法二：设点 、 关于 的对称点为 、 ，

又设 ，依题意，有 ， .

故 ， .

由 ，知 .

∴ ， .

又 ， ，故 为第一象限的角.

∴ 、 .

将 、 的坐标代入抛物线方程，得

∴ ，即 从而 ， ，

∴ ，得抛物线 的方程为 .

又直线 平分 ，得 的倾斜角为 .

∴ .

∴直线 的方程为 .

说明：

(1)本题属于点关于直线的对称问题.解法一是解对称点问题的基本方法，它的思路明确，但运算量大，若不仔细、沉着，难于解得正确结果.解法二是利用对称图形的性质来解，它的技巧性较强，一时难于想到.

(2)本题是用待定系数法求直线的方程和抛物线方程.在已知曲线的类型求曲线方程时，这种方法是最常规方法，需要重点掌握.

例9　如图，正方形 的边 在直线 上， 、 两点在抛物线 上，求正方形 的面积.

分析：本题考查抛物线的概念及其位置关系，方程和方程组的解法和数形结合的思想方法，以及分析问题、解决问题的能力.

解：∵直线 ， ，∴设 的方程为 ，且 、 .

由方程组 ，消去 ，得 ，于是

， ，∴ (其中 )

∴ .

由已知， 为正方形， ，

∴ 可视为平行直线 与 间的距离，则有

，于是得 .

两边平方后，整理得， ，∴ 或 .

当 时，正方形 的面积 .

当 时，正方形 的面积 .

∴正方形 的面积为18或50.

说明：运用方程(组)的思想和方法求某些几何量的值是解析几何中最基本的、贯穿始终的方法，本题应充分考虑正方形这一条件.

例10　设有一颗彗星围绕地球沿一抛物线轨道运行，地球恰好位于抛物线轨道的焦点处，当此彗星离地球为 时，经过地球与彗星的直线与抛物线的轴的夹角为 ，求这彗星与地球的最短距离.

分析：利用抛物线有关性质求解.

解：如图，设彗星轨道方程为 ， ，焦点为 ，

彗星位于点 处.直线 的方程为 .

解方程组 得 ，

故 .

.

故 ，得 .

由于顶点为抛物线上到焦点距离最近的点，所以顶点是抛物线上到焦点距离最近的点.焦点到抛物线顶点的距离为 ，所以彗星与地球的最短距离为 或 ，( 点在 点的左边与右边时，所求距离取不同的值).

说明：

(1)此题结论有两个，不要漏解;

(2)本题用到抛物线一个重要结论：顶点为抛物线上的点到焦点距离最近的点，其证明如下：设 为抛物线 上一点，焦点为 ，准线方程为 ，依抛物线定义，有 ，当 时， 最小，故抛物线上到焦点距离最近的点是抛物线的顶点.

例11　如图，抛物线顶点在原点，圆 的圆心是抛物线的焦点，直线 过抛物线的焦点，且斜率为2，直线 交抛物线与圆依次为 、 、 、 四点，求 的值.

分析：本题考查抛物线的定义，圆的概念和性质，以及分析问题与解决问题的能力，本题的关键是把 转化为直线被圆锥曲线所截得的弦长问题.

解：由圆的方程 ，即 可知，圆心为 ，半径为2，又由抛物线焦点为已知圆的圆心，得到抛物线焦点为 ，设抛物线方程为 ，

∵ 为已知圆的直径，∴ ，则 .

设 、 ，∵ ，而 、 在抛物线上，

由已知可知，直线 方程为 ，于是，由方程组

消去 ，得 ，∴ .

∴ ，因此， .

说明：本题如果分别求 与 则很麻烦，因此把 转化成 是关键所在，在求 时，又巧妙地运用了抛物线的定义，从而避免了一些繁杂的运算.

11.已知抛物线y2=2px(p>0)，过焦点F的弦的倾斜角为θ(θ≠0),且与抛物线相交于A、B两点.

(1)求证：|AB|= ;

(2)求|AB|的最小值.

(1)证明：如右图，焦点F的坐标为F( ,0).

设过焦点、倾斜角为θ的直线方程为y=tanθ•(x- ),与抛物线方程联立，消去y并整理，得

tan2θ•x2-(2p+ptan2θ)x+ =0.

此方程的两根应为交点A、B的横坐标，根据韦达定理，有x1+x2= .

设A、B到抛物线的准线x=- 的距离分别为|AQ|和|BN|，根据抛物线的定义，有|AB|=|AF|+|FB|=|AQ|+|BN|=x1+x2+p= .

(2)解析：因|AB|= 的定义域是0<θ<π，又sin2θ≤1，

所以，当θ= 时，|AB|有最小值2p.

12.已知抛物线y2=2px(p>0)的一条焦点弦AB被焦点F分成m、n两部分，求证： 为定值，本题若推广到椭圆、双曲线，你能得到什么结论?

解析：(1)当AB⊥x轴时，m=n=p，

∴ = .

(2)当AB不垂直于x轴时，设AB:y=k(x- ),

A(x1,y1),B(x2,y2),|AF|=m,|BF|=n,

∴m= +x1,n= +x2.

将AB方程代入抛物线方程，得

k2x2-(k2p+2p)x+ =0,

∴

∴ =

= .

本题若推广到椭圆，则有 = (e是椭圆的离心率);若推广到双曲线，则要求弦AB与双曲线交于同一支，此时，同样有 = (e为双曲线的离心率).

13.如右图，M是抛物线y2=x上的一点，动弦 ME、MF分别交x轴于A、B两点，且?|MA|=|MB|.

(1)若M为定点，证明：直线EF的斜率为定值;

(2)若M为动点，且∠EMF=90°，求△EMF的重心G的轨迹方程.

(1)证明：设M(y02,y0)，直线ME的斜率为?k(k>0),则直线MF的斜率为-k，

直线ME的方程为y-y0=k(x-y02).

由 得

ky2-y+y0(1-ky0)=0.

解得y0•yE= ,

∴yE= ,∴xE= .

同理可得yF= ,∴xF= .

∴kEF= (定值).

(2)解析：当∠EMF=90°时，∠MAB=45°，所以k=1，由(1)得E((1-y0)2,(1-y0))F((1+y0)2,-(1+y0)).

设重心G(x,y)，则有

消去参数y0,得y2= (x>0).

14.在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点M(1,-3)、N(5，1)，若点C满足 =?t +(1-t) (t∈R),点C的轨迹与抛物线y2=4x交于A、B两点.

(1)求证： ⊥ ;

(2)在x轴上是否存在一点P(m,0)，使得过点P任作抛物线的一条弦，并以该弦为直径的圆都过原点.若存在，请求出m的值及圆心的轨迹方程;若不存在，请说明理由.

(1)证明：由 =t +(1-t) (t∈R)知点C的轨迹是M、N两点所在的直线，故点C的轨迹方程是：y+3= •(x-1),即y=x-4.

由 (x-4)2=4x x2-12x+16=0.

∴x1x2=16，x1+x2=12，

∴y1y2=(x1-4)(x2-4)=x1x2-4(x1+x2)+16=-16.

∴x1x2+y1y2=0.故 ⊥ .

(2)解析：存在点P(4，0)，使得过点P任作抛物线的一条弦，以该弦为直径的圆都过原点.

由题意知：弦所在的直线的斜率不为零，

故设弦所在的直线方程为：x=ky+4，代入y2=x，得y2-4ky-16=0,

∴y1+y2=4k,y1y2=-16.

kOA•kOB= =-1.

∴OA⊥OB,故以AB为直径的圆都过原点.

设弦AB的中点为M(x,y)，

则x= (x1+x2),y= (y1+y2).

x1+x2=ky1+4+ky2+4=k(y1+y2)+8=k•(4k)+8=4k2+8.

∴弦AB的中点M的轨迹方程为： 消去k，得y2=2x-8.

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