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本文题目：高三数学教案：压轴题放缩法技巧全总结

证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩;其放缩技巧主要有以下几种：

一、裂项放缩

例1.(1)求 的值; (2)求证: .

解析:(1)因为 ,所以

(2)因为 ,所以

技巧积累:(1) (2)

(3)

例2.(1)求证:

(2)求证: (3)求证:

(4) 求证：

解析:(1)因为 ,所以

(2)

(3)先运用分式放缩法证明出 ,再结合 进行裂项,最后就可以得到答案

(4)首先 ,所以容易经过裂项得到

再证 而由均值不等式知道这是显然成立的，

所以

例3.求证:

解析: 一方面: 因为 ,所以

另一方面:

当 时, ,当 时, ,

当 时, ,

所以综上有

例4.(2008年全国一卷)设函数 .数列 满足 . .

设 ，整数 .证明: .

解析: 由数学归纳法可以证明 是递增数列,

故 若存在正整数 , 使 , 则 ,

若 ,则由 知 , ,

因为 ,于是

例5.已知 ,求证: .

解析:首先可以证明:

所以要证

只要证:

故只要证 ,

即等价于 ,

即等价于 而正是成立的,所以原命题成立.

例6.已知 , ,求证: .

解析:

所以

从而

例7.已知 , ,求证:

证明: ,

因为 ,所以

所以

二、函数放缩

例8.求证： .

解析:先构造函数有 ,从而

cause

所以

例9.求证:(1)

解析:构造函数 ,得到 ,再进行裂项 ,求和后可以得到答案

函数构造形式: ,

例10.求证:

解析:提示:

函数构造形式:

当然本题的证明还可以运用积分放缩

如图,取函数 ,

首先: ,从而,

取 有, ,

所以有 , ,…, , ,相加后可以得到:

另一方面 ,从而有

取 有, ,

所以有 ,所以综上有

例11.求证: 和 .解析:构造函数后即可证明

例12.求证: 解析: ,叠加之后就可以得到答案

函数构造形式: (加强命题)

例13.证明:

解析:构造函数 ,求导,可以得到:

,令 有 ,令 有 ,

所以 ,所以 ,令 有,

所以 ,所以

例14. 已知 证明 .

解析: ,

然后两边取自然对数,可以得到

然后运用 和裂项可以得到答案)

放缩思路：

。于是 ，

即

注：题目所给条件 ( )为一有用结论，可以起到提醒思路与探索放缩方向的作用;当然，本题还可用结论 来放缩：

，

即

例16.(2008年福州市质检)已知函数 若

解析:设函数

∴函数 )上单调递增，在 上单调递减.∴ 的最小值为 ，即总有

而

即

令 则

例15.(2008年厦门市质检) 已知函数 是在 上处处可导的函数,若 在 上恒成立.

(I)求证：函数 上是增函数; (II)当 ;

(III)已知不等式 时恒成立，

求证：

解析:(I) ,所以函数 上是增函数

(II)因为 上是增函数,所以

两式相加后可以得到

(3)

……

相加后可以得到:

所以

令 ,有

所以

(方法二)

所以

又 ,所以

三、分式放缩

姐妹不等式: 和

记忆口诀”小者小,大者大”

解释:看b,若b小,则不等号是小于号,反之.

例19. 姐妹不等式: 和

也可以表示成为

和

解析: 利用假分数的一个性质 可得

即

例20.证明:

解析: 运用两次次分式放缩:

(加1)

(加2)

相乘,可以得到:

所以有

四、分类放缩

例21.求证:

解析:

例22.(2004年全国高中数学联赛加试改编) 在平面直角坐标系 中, 轴正半轴上的点列 与曲线 ( ≥0)上的点列 满足 ，直线 在x轴上的截距为 .点 的横坐标为 , .

(1)证明 > >4， ; (2)证明有 ，使得对 都有 < .

解析:(1) 依题设有： ，由 得：

,又直线 在 轴上的截距为 满足

显然，对于 ，有

(2)证明：设 ，则

设 ，则当 时，

。

所以，取 ，对 都有：

故有 < 成立。

例23.(2007年泉州市高三质检) 已知函数 ，若 的定义域为[-1，0]，值域也为[-1，0].若数列 满足 ，记数列 的前 项和为 ，问是否存在正常数A，使得对于任意正整数 都有 ?并证明你的结论。

解析:首先求出 ,∵

∴ ,∵ , ,…

,故当 时, ,

因此，对任何常数A，设 是不小于A的最小正整数，

则当 时,必有 .

故不存在常数A使 对所有 的正整数恒成立.

例24.(2008年中学教学参考)设不等式组 表示的平面区域为 ,

设 内整数坐标点的个数为 .设 , 当 时,求证: .

解析:容易得到 ,所以,要证 只要证 ,因为 ,所以原命题得证

五、迭代放缩

例25. 已知 ,求证:当 时,

解析:通过迭代的方法得到 ,然后相加就可以得到结论

例26. 设 ,求证:对任意的正整数k,若k≥n恒有:|Sn+k-Sn|<1n

解析:

又 所以

六、借助数列递推关系

例27.求证:

解析: 设 则

,从而

,相加后就可以得到

所以

例28. 求证:

解析: 设 则

,从而

,相加后就可以得到

例29. 若 ,求证:

解析:

所以就有

七、分类讨论

例30.已知数列 的前 项和 满足 证明：对任意的整数 ，有

解析:容易得到 ,

由于通项中含有 ，很难直接放缩，考虑分项讨论：

当 且 为奇数时

(减项放缩)，于是

①当 且 为偶数时

②当 且 为奇数时 (添项放缩)由①知 由①②得证。

八、线性规划型放缩

例31. 设函数 .若对一切 ， ，求 的最大值。

解析:由 知 即

由此再由 的单调性可以知道 的最小值为 ，最大值为

因此对一切 ， 的充要条件是， 即 ， 满足约束条件 ，

由线性规划得， 的最大值为5.

九、均值不等式放缩

例32.设 求证

解析: 此数列的通项为

， ，

即

注：①应注意把握放缩的“度”：上述不等式右边放缩用的是均值不等式 ，若放成 则得 ，就放过“度”了!

②根据所证不等式的结构特征来选取所需要的重要不等式，这里

其中， 等的各式及其变式公式均可供选用。

例33.已知函数 ，若 ，且 在[0，1]上的最小值为 ，求证：

解析:

例34.已知 为正数，且 ，试证：对每一个 ， .

解析: 由 得 ，又 ，故 ，而 ，

令 ，则 = ，因为 ，倒序相加得 = ，

而 ，

则 = ，所以 ，即对每一个 ， .

例35.求证

解析: 不等式左 = ，

原结论成立.

例36.已知 ,求证:

解析:

经过倒序相乘,就可以得到

例37.已知 ,求证:

解析:

其中: ,因为

所以

从而 ,所以 .

例38.若 ,求证: .

解析:

因为当 时, ,所以 ,所以 ,当且仅当 时取到等号.

所以

所以 所以

例39.已知 ,求证: .

解析: .

例40.已知函数f(x)=x2-(-1)k•2lnx(k∈N*).k是奇数, n∈N*时,

求证: [f’(x)]n-2n-1•f’(xn)≥2n(2n-2).

解析: 由已知得 ，

(1)当n=1时，左式= 右式=0.∴不等式成立.

(2) , 左式=

令

由倒序相加法得：

，

所以

所以 综上，当k是奇数， 时，命题成立

例41. (2007年东北三校)已知函数

(1)求函数 的最小值，并求最小值小于0时的 取值范围;

(2)令 求证：

★例42. (2008年江西高考试题)已知函数 , .对任意正数 ,证明： .

解析:对任意给定的 , ,由 ,

若令 ，则 ① ,而 ②

(一)、先证 ;因为 ， ， ，

又由 ，得 .

所以

.

(二)、再证 ;由①、②式中关于 的对称性，不妨设 .则

(ⅰ)、当 ，则 ，所以 ，因为 ，

，此时 .

(ⅱ)、当 ③，由①得 , ， ，

因为 所以 ④

同理得 ⑤ ，于是 ⑥

今证明 ⑦, 因为 ，

只要证 ，即 ，也即 ，据③，此为显然.

因此⑦得证.故由⑥得 .

综上所述，对任何正数 ，皆有 .

例43.求证:

解析:一方面:

(法二)

另一方面:

十、二项放缩

, ,

例44. 已知 证明

解析:

，

即

45.设 ，求证：数列 单调递增且

解析: 引入一个结论：若 则 (证略)

整理上式得 ( )

以 代入( )式得

即 单调递增。

以 代入( )式得

此式对一切正整数 都成立，即对一切偶数有 ，又因为数列 单调递增，所以对一切正整数 有 。

注：①上述不等式可加强为 简证如下：

利用二项展开式进行部分放缩：

只取前两项有 对通项作如下放缩：

故有

②上述数列 的极限存在，为无理数 ;同时是下述试题的背景：已知 是正整数，且 (1)证明 ;(2)证明 (01年全国卷理科第20题)

简析 对第(2)问：用 代替 得数列 是递减数列;借鉴此结论可有如下简捷证法：数列 递减，且 故 即 。

当然，本题每小题的证明方法都有10多种,如使用上述例5所提供的假分数性质、贝努力不等式、甚至构造“分房问题”概率模型、构造函数等都可以给出非常漂亮的解决!详见文[1]。

例46.已知a+b=1,a>0,b>0,求证：

解析: 因为a+b=1,a>0,b>0,可认为 成等差数列，设 ，

从而

例47.设 ，求证 .

解析: 观察 的结构，注意到 ，展开得

，即 ，得证.

例48.求证: . 解析:参见上面的方法,希望读者自己尝试!)

例42.(2008年北京海淀5月练习) 已知函数 ，满足：

①对任意 ，都有 ;

②对任意 都有 .

(I)试证明： 为 上的单调增函数;

(II)求 ;

(III)令 ，试证明：.

解析:本题的亮点很多,是一道考查能力的好题.

(1)运用抽象函数的性质判断单调性:

因为 ,所以可以得到 ,

也就是 ,不妨设 ,所以,可以得到 ,也就是说 为 上的单调增函数.

(2)此问的难度较大,要完全解决出来需要一定的能力!

首先我们发现条件不是很足,,尝试探索看看按(1)中的不等式可以不可以得到什么结论,一发现就有思路了!

由(1)可知 ,令 ,则可以得到

,又 ,所以由不等式可以得到 ,又

,所以可以得到 ①

接下来要运用迭代的思想:

因为 ,所以 , , ②

, , ,

在此比较有技巧的方法就是:

,所以可以判断 ③

当然,在这里可能不容易一下子发现这个结论,所以还可以列项的方法,把所有项数尽可能地列出来,然后就可以得到结论.

所以,综合①②③有 =

(3)在解决 的通项公式时也会遇到困难.

,所以数列 的方程为 ,从而 ,

一方面 ,另一方面

所以 ,所以,综上有

.

例49. 已知函数fx的定义域为[0,1]，且满足下列条件：

① 对于任意 [0,1]，总有 ，且 ;② 若 则有

(Ⅰ)求f0的值;(Ⅱ)求证：fx≤4;

(Ⅲ)当 时，试证明： .

解析: (Ⅰ)解：令 ，由①对于任意 [0,1]，总有 ， ∴

又由②得 即 ∴

(Ⅱ)解：任取 且设 则

因为 ，所以 ，即 ∴ .

∴当 [0,1]时， .

(Ⅲ)证明：先用数学归纳法证明：

(1) 当n=1时， ，不等式成立;

(2) 假设当n=k时，

由

得

即当n=k+1时，不等式成立

由(1)、(2)可知，不等式 对一切正整数都成立.

于是，当 时， ，

而 [0,1]， 单调递增 ∴ 所以，

例50. 已知： 求证：

解析:构造对偶式：令

则 =

又 (

十一、积分放缩

利用定积分的保号性比大小

保号性是指，定义在 上的可积函数 ，则 .

例51.求证： .

解析: ，∵ ，

时， ， ， ∴ ， .

利用定积分估计和式的上下界

定积分产生和应用的一个主要背景是计算曲边梯形的面积，现在用它来估计小矩形的面积和.

例52. 求证： ， .

解析: 考虑函数 在区间 上的定积分.

如图，显然 -①

对 求和，

.

例53. 已知 .求证： .

解析:考虑函数 在区间 上的定积分.

∵ -②

∴ .

例54. (2003年全国高考江苏卷)设 ，如图，已知直线 及曲线 ： ， 上的点 的横坐标为 ( ).从 上的点 作直线平行于 轴，交直线 于点 ，再从点 作直线平行于 轴，交曲线 于点 . 的横坐标构成数列 .

(Ⅰ)试求 与 的关系，并求 的通项公式;

(Ⅱ)当 时，证明 ;

(Ⅲ)当 时，证明 .

解析: (过程略).

证明(II)：由 知 ，∵ ，∴ .

∵当 时， ，

∴ .

证明(Ⅲ)：由 知 .

∴ 恰表示阴影部分面积，

显然 ④

∴ .

奇巧积累: 将定积分构建的不等式略加改造即得“初等”证明，如：

① ;

② ;

③ ;

④ .

十二、部分放缩(尾式放缩)

例55.求证:

解析:

例56. 设 求证：

解析:

又 (只将其中一个 变成 ，进行部分放缩)， ，

于是

例57.设数列 满足 ，当 时

证明对所有 有 ;

解析: 用数学归纳法：当 时显然成立，假设当 时成立即 ，则当 时

，成立。

利用上述部分放缩的结论 来放缩通项，可得

注：上述证明 用到部分放缩，当然根据不等式的性质也可以整体放缩： ;证明 就直接使用了部分放缩的结论

十三、三角不等式的放缩

例58.求证: .

解析:(i)当 时,

(ii)当 时,构造单位圆,如图所示:

因为三角形AOB的面积小于扇形OAB的面积

所以可以得到

当 时

所以当 时 有

(iii)当 时, ,由(ii)可知:

所以综上有

十四、使用加强命题法证明不等式

(i)同侧加强

对所证不等式的同一方向(可以是左侧,也可以是右侧)进行加强.如要证明 ,只要证明 ,其中 通过寻找分析,归纳完成.

例59.求证:对一切 ,都有 .

解析:

从而

当然本题还可以使用其他方法,如:

所以 .

(ii)异侧加强(数学归纳法)

(iii)双向加强

有些不等式,往往是某个一般性命题的特殊情况,这时,不妨”返璞归真”,通过双向加强还原其本来面目,从而顺利解决原不等式.其基本原理为:

欲证明 ,只要证明: .

例60.已知数列 满足: ,求证:

解析: ,从而 ,所以有

,所以

又 ,所以 ,所以有

所以

所以综上有

引申:已知数列 满足: ,求证: .

解析:由上可知 ,又 ,所以

从而

又当 时, ,所以综上有 .

同题引申: (2008年浙江高考试题)已知数列 , , , .

记 , .求证:当 时.

(1) ; (2) ; ★(3) .

解析:(1) ,猜想 ,下面用数学归纳法证明:

(i)当 时, ,结论成立;

(ii)假设当 时, ,则 时,

从而 ,所以

所以综上有 ,故

(2)因为 则 , ,…, ,相加后可以得到: ,所以

,所以

(3)因为 ,从而 ,有 ,所以有

,从而

,所以

,所以

所以综上有 .

例61.(2008年陕西省高考试题)已知数列 的首项 , , .

(1)证明:对任意的 , , ;

(2)证明: .

解析:(1)依题,容易得到 ,要证 , , ,

即证

即证 ,设 所以即证明

从而 ,即 ,这是显然成立的.

所以综上有对任意的 , ,

(法二)

, 原不等式成立.

(2)由(1)知，对任意的 ，有

.

取 ，

则 .

原不等式成立.

十四、经典题目方法探究

探究1.(2008年福建省高考)已知函数 .若 在区间 上的最小值为 ,

令 .求证: .

证明:首先:可以得到 .先证明

(方法一) 所以

(方法二)因为 ,相乘得:

,从而 .

(方法三)设A= ,B= ,因为A

所以 , 从而 .

下面介绍几种方法证明

(方法一)因为 ,所以 ,所以有

(方法二) ,因为 ,所以

令 ,可以得到 ,所以有

(方法三)设 所以 ,

从而 ,从而

又 ,所以

(方法四)运用数学归纳法证明:

(i)当 时,左边= ,右边= 显然不等式成立;

(ii)假设 时, ,则 时, ,

所以要证明 ,只要证明 ,这是成立的.

这就是说当 时,不等式也成立,所以,综上有

探究2.(2008年全国二卷)设函数 .如果对任何 ，都有 ，求 的取值范围.

解析:因为 ,所以

设 ,则 ,

因为 ,所以

(i)当 时, 恒成立,即 ,所以当 时, 恒成立.

(ii)当 时, ,因此当 时,不符合题意.

(iii)当 时,令 ，则 故当 时, .

因此 在 上单调增加.故当 时, ,

即 .于是，当 时，

所以综上有 的取值范围是

变式：若 ,其中

且 , ,求证:

.

证明：容易得到

由上面那个题目知道

就可以知道

★同型衍变:(2006年全国一卷)已知函数 .若对任意 x∈(0,1) 恒有 f (x) >1, 求 a的取值范围.

解析:函数f (x)的定义域为(-∞, 1)∪(1, +∞), 导数为 .

(ⅰ) 当0< a≤2时, f (x) 在区间 (-∞, 1) 为增函数, 故对于任意x∈(0, 1) 恒有 f (x) > f (0) =1, 因而这时a满足要求.

(ⅱ) 当a>2时, f (x) 在区间 (- , )为减函数, 故在区间(0, ) 内任取一点, 比如取 , 就有 x0∈(0, 1) 且 f (x0) < f (0) =1, 因而这时a不满足要求.

(ⅲ) 当a≤0时, 对于任意x∈(0, 1) 恒有

≥ , 这时a满足要求.

综上可知, 所求 a的取值范围为 a≤2.

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