【摘要】鉴于大家对精品学习网十分关注，小编在此为大家搜集整理了此文“高三数学教案：函数的综合问题”，供大家参考!

本文题目：高三数学教案：函数的综合问题

2.12 函数的综合问题

●知识梳理

函数的综合应用主要体现在以下几方面：

1.函数内容本身的相互综合，如函数概念、性质、图象等方面知识的综合.

2.函数与其他数学知识点的综合，如方程、不等式、数列、解析几何等方面的内容与函数的综合.这是高考主要考查的内容.

3.函数与实际应用问题的综合.

●点击双基

1.已知函数f(x)=lg(2x-b)(b为常数)，若x∈[1，+∞)时，f(x)≥0恒成立，则

A.b≤1 B.b<1 C.b≥1 D.b=1

解析：当x∈[1，+∞)时，f(x)≥0，从而2x-b≥1，即b≤2x-1.而x∈[1，+∞)时，2x-1单调增加，

∴b≤2-1=1.

答案：A

2.若f(x)是R上的减函数，且f(x)的图象经过点A(0，3)和B(3，-1)，则不等式|f(x+1)-1|<2的解集是___________________.

解析：由|f(x+1)-1|<2得-2

又f(x)是R上的减函数，且f(x)的图象过点A(0，3)，B(3，-1)，

∴f(3)

∴0

答案：(-1，2)

●典例剖析

【例1】 取第一象限内的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，使1，x1，x2，2依次成等差数列，1，y1，y2，2依次成等比数列，则点P1、P2与射线l:y=x(x>0)的关系为

A.点P1、P2都在l的上方 B.点P1、P2都在l上

C.点P1在l的下方，P2在l的上方 D.点P1、P2都在l的下方

剖析：x1= +1= ，x2=1+ = ，y1=1× = ，y2= ，∵y1

∴P1、P2都在l的下方.

答案：D

【例2】 已知f(x)是R上的偶函数，且f(2)=0，g(x)是R上的奇函数，且对于x∈R，都有g(x)=f(x-1)，求f(2002)的值.

解：由g(x)=f(x-1)，x∈R，得f(x)=g(x+1).又f(-x)=f(x)，g(-x)=-g(x)，

故有f(x)=f(-x)=g(-x+1)=-g(x-1)=-f(x-2)=-f(2-x)=-g(3-x)=

g(x-3)=f(x-4)，也即f(x+4)=f(x)，x∈R.

∴f(x)为周期函数，其周期T=4.

∴f(2002)=f(4×500+2)=f(2)=0.

评述：应灵活掌握和运用函数的奇偶性、周期性等性质.

【例3】 函数f(x)= (m>0)，x1、x2∈R，当x1+x2=1时，f(x1)+f(x2)= .

(1)求m的值;

(2)数列{an}，已知an=f(0)+f( )+f( )+…+f( )+f(1)，求an.

解：(1)由f(x1)+f(x2)= ，得 + = ，

∴4 +4 +2m= [4 +m(4 +4 )+m2].

∵x1+x2=1，∴(2-m)(4 +4 )=(m-2)2.

∴4 +4 =2-m或2-m=0.

∵4 +4 ≥2 =2 =4，

而m>0时2-m<2，∴4 +4 ≠2-m.

∴m=2.

(2)∵an=f(0)+f( )+f( )+…+f( )+f(1)，∴an=f(1)+f( )+ f( )+…+f( )+f(0).

∴2an=[f(0)+f(1)]+[f( )+f( )]+…+[f(1)+f(0)]= + +…+ = .

∴an= .

深化拓展

用函数的思想处理方程、不等式、数列等问题是一重要的思想方法.

【例4】 函数f(x)的定义域为R，且对任意x、y∈R，有f(x+y)=f(x)+f(y)，且当x>0时，f(x)<0，f(1)=-2.

(1)证明f(x)是奇函数;

(2)证明f(x)在R上是减函数;

(3)求f(x)在区间[-3，3]上的最大值和最小值.

(1)证明：由f(x+y)=f(x)+f(y)，得f[x+(-x)]=f(x)+f(-x)，∴f(x)+ f(-x)=f(0).又f(0+0)=f(0)+f(0)，∴f(0)=0.从而有f(x)+f(-x)=0.

∴f(-x)=-f(x).∴f(x)是奇函数.

(2)证明：任取x1、x2∈R，且x10.∴f(x2-x1)<0.

∴-f(x2-x1)>0，即f(x1)>f(x2)，从而f(x)在R上是减函数.

(3)解：由于f(x)在R上是减函数，故f(x)在[-3，3]上的最大值是f(-3)，最小值是f(3).由f(1)=-2，得f(3)=f(1+2)=f(1)+f(2)=f(1)+f(1+1)=f(1)+f(1)+f(1)=3f(1)=3×(-2)=-6，f(-3)=-f(3)=6.从而最大值是6，最小值是-6.

深化拓展

对于任意实数x、y，定义运算x*y=ax+by+cxy，其中a、b、c是常数，等式右边的运算是通常的加法和乘法运算.现已知1*2=3，2*3=4，并且有一个非零实数m，使得对于任意实数x，都有x*m=x，试求m的值.

提示：由1*2=3，2*3=4，得

∴b=2+2c，a=-1-6c.

又由x*m=ax+bm+cmx=x对于任意实数x恒成立，

∴ ∴b=0=2+2c.

∴c=-1.∴(-1-6c)+cm=1.

∴-1+6-m=1.∴m=4.

答案：4.

●闯关训练

夯实基础

1.已知y=f(x)在定义域[1，3]上为单调减函数，值域为[4，7]，若它存在反函数，则反函数在其定义域上

A.单调递减且最大值为7 B.单调递增且最大值为7

C.单调递减且最大值为3 D.单调递增且最大值为3

解析：互为反函数的两个函数在各自定义区间上有相同的增减性，f-1(x)的值域是[1，3].

答案：C

2.关于x的方程|x2-4x+3|-a=0有三个不相等的实数根，则实数a的值是___________________.

解析：作函数y=|x2-4x+3|的图象，如下图.

由图象知直线y=1与y=|x2-4x+3|的图象有三个交点，即方程|x2-4x+3|=1也就是方程|x2-4x+3|-1=0有三个不相等的实数根，因此a=1.

答案：1

3.若存在常数p>0，使得函数f(x)满足f(px)=f(px- )(x∈R)，则f(x)的一个正周期为__________.

解析：由f(px)=f(px- )，

令px=u，f(u)=f(u- )=f[(u+ )- ]，∴T= 或 的整数倍.

答案： (或 的整数倍)

4.已知关于x的方程sin2x-2sinx-a=0有实数解，求a的取值范围.

解：a=sin2x-2sinx=(sinx-1)2-1.

∵-1≤sinx≤1，∴0≤(sinx-1)2≤4.

∴a的范围是[-1，3].

5.记函数f(x)= 的定义域为A，g(x)=lg[(x-a-1)(2a-x)](a<1)的定义域为B.

(1)求A;

(2)若B A，求实数a的取值范围.

解：(1)由2- ≥0，得 ≥0，

∴x<-1或x≥1，即A=(-∞，-1)∪[1，+∞).

(2)由(x-a-1)(2a-x)>0，得(x-a-1)(x-2a)<0.

∵a<1，∴a+1>2a.∴B=(2a，a+1).

∵B A，∴2a≥1或a+1≤-1，即a≥ 或a≤-2.

而a<1，∴ ≤a<1或a≤-2.

故当B A时，实数a的取值范围是(-∞，-2]∪[ ，1).

培养能力

6.(理)已知二次函数f(x)=x2+bx+c(b≥0，c∈R).

若f(x)的定义域为[-1，0]时，值域也是[-1，0]，符合上述条件的函数f(x)是否存在?若存在，求出f(x)的表达式;若不存在，请说明理由.

解：设符合条件的f(x)存在，

∵函数图象的对称轴是x=- ，

又b≥0，∴- ≤0.

①当- <- ≤0，即0≤b<1时，

函数x=- 有最小值-1，则

或 (舍去).

②当-1<- ≤- ，即1≤b<2时，则

(舍去)或 (舍去).

③当- ≤-1，即b≥2时，函数在[-1，0]上单调递增，则 解得

综上所述，符合条件的函数有两个，

f(x)=x2-1或f(x)=x2+2x.

(文)已知二次函数f(x)=x2+(b+1)x+c(b≥0，c∈R).

若f(x)的定义域为[-1，0]时，值域也是[-1，0]，符合上述条件的函数f(x)是否存在?若存在，求出f(x)的表达式;若不存在，请说明理由.

解：∵函数图象的对称轴是

x=- ，又b≥0，∴- ≤- .

设符合条件的f(x)存在，

①当- ≤-1时，即b≥1时，函数f(x)在[-1，0]上单调递增，则

②当-1<- ≤- ，即0≤b<1时，则

(舍去).

综上所述，符合条件的函数为f(x)=x2+2x.

7.已知函数f(x)=x+ 的定义域为(0，+∞)，且f(2)=2+ .设点P是函数图象上的任意一点，过点P分别作直线y=x和y轴的垂线，垂足分别为M、N.

(1)求a的值.

(2)问：|PM|•|PN|是否为定值?若是，则求出该定值;若不是，请说明理由.

(3)设O为坐标原点，求四边形OMPN面积的最小值.

解：(1)∵f(2)=2+ =2+ ，∴a= .

(2)设点P的坐标为(x0，y0)，则有y0=x0+ ，x0>0，由点到直线的距离公式可知，|PM|= = ，|PN|=x0，∴有|PM|•|PN|=1，即|PM|•|PN|为定值，这个值为1.

(3)由题意可设M(t，t)，可知N(0，y0).

∵PM与直线y=x垂直，∴kPM•1=-1，即 =-1.解得t= (x0+y0).

又y0=x0+ ，∴t=x0+ .

∴S△OPM= + ，S△OPN= x02+ .

∴S四边形OMPN=S△OPM+S△OPN= (x02+ )+ ≥1+ .

当且仅当x0=1时，等号成立.

此时四边形OMPN的面积有最小值1+ .

探究创新

8.有一块边长为4的正方形钢板，现对其进行切割、焊接成一个长方体形无盖容器(切、焊损耗忽略不计).有人应用数学知识作了如下设计：如图(a)，在钢板的四个角处各切去一个小正方形，剩余部分围成一个长方体，该长方体的高为小正方形边长，如图(b).

(1)请你求出这种切割、焊接而成的长方体的最大容积V1;

(2)由于上述设计存在缺陷(材料有所浪费)，请你重新设计切、焊方法，使材料浪费减少，而且所得长方体容器的容积V2>V1.

解：(1)设切去正方形边长为x，则焊接成的长方体的底面边长为4-2x，高为x，

∴V1=(4-2x)2•x=4(x3-4x2+4x)(0

∴V1′=4(3x2-8x+4).

令V1′=0，得x1= ，x2=2(舍去).

而V1′=12(x- )(x-2)，

又当x< 时，V1′>0;当

∴当x= 时，V1取最大值 .

(2)重新设计方案如下：

如图①，在正方形的两个角处各切下一个边长为1的小正方形;如图②，将切下的小正方形焊在未切口的正方形一边的中间;如图③，将图②焊成长方体容器.

新焊长方体容器底面是一长方形，长为3，宽为2，此长方体容积V2=3×2×1=6，显然V2>V1.

故第二种方案符合要求.

●思悟小结

1.函数知识可深可浅，复习时应掌握好分寸，如二次函数问题应高度重视，其他如分类讨论、探索性问题属热点内容，应适当加强.

2.数形结合思想贯穿于函数研究的各个领域的全部过程中，掌握了这一点，将会体会到函数问题既千姿百态，又有章可循.

●教师下载中心

教学点睛

数形结合和数形转化是解决本章问题的重要思想方法，应要求学生熟练掌握用函数的图象及方程的曲线去处理函数、方程、不等式等问题.

拓展题例

【例1】 设f(x)是定义在[-1，1]上的奇函数，且对任意a、b∈[-1，1]，当a+b≠0时，都有 >0.

(1)若a>b，比较f(a)与f(b)的大小;

(2)解不等式f(x- )

(3)记P={x|y=f(x-c)}，Q={x|y=f(x-c2)}，且P∩Q= ，求c的取值范围.

解：设-1≤x1

∴ >0.

∵x1-x2<0，∴f(x1)+f(-x2)<0.

∴f(x1)<-f(-x2).

又f(x)是奇函数，∴f(-x2)=-f(x2).

∴f(x1)

∴f(x)是增函数.

(1)∵a>b，∴f(a)>f(b).

(2)由f(x- )

∴- ≤x≤ .

∴不等式的解集为{x|- ≤x≤ }.

(3)由-1≤x-c≤1，得-1+c≤x≤1+c，

∴P={x|-1+c≤x≤1+c}.

由-1≤x-c2≤1，得-1+c2≤x≤1+c2，

∴Q={x|-1+c2≤x≤1+c2}.

∵P∩Q= ，

∴1+c<-1+c2或-1+c>1+c2，

解得c>2或c<-1.

【例2】已知函数f(x)的图象与函数h(x)=x+ +2的图象关于点A(0，1)对称.

(1)求f(x)的解析式;

(2)(文)若g(x)=f(x)•x+ax，且g(x)在区间(0，2]上为减函数，求实数a的取值范围.

(理)若g(x)=f(x)+ ，且g(x)在区间(0，2]上为减函数，求实数a的取值范围.

解：(1)设f(x)图象上任一点坐标为(x，y)，点(x，y)关于点A(0，1)的对称点(-x，2-y)在h(x)的图象上.

∴2-y=-x+ +2.

∴y=x+ ，即f(x)=x+ .

(2)(文)g(x)=(x+ )•x+ax，

即g(x)=x2+ax+1.

g(x)在(0，2]上递减 - ≥2，

∴a≤-4.

(理)g(x)=x+ .

∵g′(x)=1- ，g(x)在(0，2]上递减，

∴1- ≤0在x∈(0，2]时恒成立，

即a≥x2-1在x∈(0，2]时恒成立.

∵x∈(0，2]时，(x2-1)max=3，

∴a≥3.

【例3】在4月份(共30天)，有一新款服装投放某专卖店销售，日销售量(单位：件)f(n)关于时间n(1≤n≤30，n∈N*)的函数关系如下图所示，其中函数f(n)图象中的点位于斜率为5和-3的两条直线上，两直线的交点的横坐标为m，且第m天日销售量最大.

(1)求f(n)的表达式，及前m天的销售总数;

(2)按规律，当该专卖店销售总数超过400件时，社会上流行该服装，而日销售量连续下降并低于30件时，该服装的流行会消失.试问该服装在社会上流行的天数是否会超过10天?并说明理由.

解：(1)由图形知，当1≤n≤m且n∈N*时，f(n)=5n-3.

由f(m)=57，得m=12.

∴f(n)=

前12天的销售总量为

5(1+2+3+…+12)-3×12=354件.

(2)第13天的销售量为f(13)=-3×13+93=54件，而354+54>400，

∴从第14天开始销售总量超过400件，即开始流行.

设第n天的日销售量开始低于30件(1221.

∴从第22天开始日销售量低于30件，

即流行时间为14号至21号.

∴该服装流行时间不超过10天.

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