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本文题目：高三数学复习教案：数列的通项公式复习教案

一、课前检测

1.等差数列 是递增数列，前n项和为 ，且 成等比数列， 。求数列 的通项公式。

解：设数列 公差为

∵ 成等比数列，∴ ，

即

∵ ， ∴ ………………………………①

∵ ∴ …………②

由①②得： ，

∴

2.已知数列 的前 项和 满足 。求数列 的通项公式。

解：由

当 时，有

……，

经验证 也满足上式，所以

二、知识梳理

(一)数列的通项公式

一个数列{an}的 与 之间的函数关系，如果可用一个公式an=f(n)来表示，我们就把这个公式叫做这个数列的通项公式.

解读：

(二)通项公式的求法(7种方法)

1.定义法与观察法(合情推理：不完全归纳法)：直接利用等差数列或等比数列的定义求通项的方法叫定义法，这种方法适应于已知数列类型的题目;有的数列可以根据前几项观察出通项公式。

解读：

2.公式法：在数列{an}中，前n项和Sn与通项an的关系为：

(数列 的前n项的和为 ).

解读：

3.周期数列

解法：由递推式计算出前几项，寻找周期。

4.由递推式求数列通项

类型1 递推公式为

解法：把原递推公式转化为 ，利用累加法(逐差相加法)求解。

类型2 (1)递推公式为

解法：把原递推公式转化为 ，利用累乘法(逐商相乘法)求解。

(2)由 和 确定的递推数列 的通项可如下求得：

由已知递推式有 ， ， ， 依次向前代入，得 ，这就是叠(迭)代法的基本模式。

类型3 递推公式为 (其中p，q均为常数， )。

解法：把原递推公式转化为： ，其中 ，再利用换元法转化为等比数列求解。

三、典型例题分析

题型1 周期数列

例1 若数列 满足 ，若 ，则 =____。答案： 。

变式训练1 (2005，湖南文5)已知数列 满足 ，则 =( B )

A.0 B. C. D.

小结与拓展：由递推式计算出前几项，寻找周期。

题型2 递推公式为 ，求通项

例2 已知数列 ，若满足 ， ，求 。

答案：

变式训练2 已知数列 满足 ， ，求 。

解：由条件知：

分别令 ，代入上式得 个等式累加之，即

所以，小结与拓展：在运用累加法时,要特别注意项数,计算时项数容易出错.

题型3 递推公式为 ，求通项

例3 已知数列 满足 ， ，求 。

解：由条件知 ，分别令 ，代入上式得 个等式累乘之，即

又 ，

变式训练3 已知 ， ，求 。

解：

小结与拓展：在运用累乘法时,还是要特别注意项数,计算时项数容易出错.

题型4 递推公式为 (其中p，q均为常数， )，求通项

例4 在数列 中， ，当 时，有 ，求 的通项公式。

解法1：设 ，即有 ，对比 ，得 ，于是得 ，数列 是以 为首项，以3为公比的等比数列，所以有 。

解法2：由已知递推式，得 ，上述两式相减，得 ，因此，数列 是以 为首项，以3为公比的等比数列。所以 ，即 ，所以 。

变式训练4 在数列{an｝中，若a1=1,an+1=2an+3 (n≥1),则该数列的通项an=__2n+1-3___.

小结与拓展：此类数列解决的办法是将其构造成一个新的等比数列，再利用等比数列的性质进行求解，构造的办法有两种，一是待定系数法构造，设 ，展开整理 ，比较系数有 ，所以 ，所以 是等比数列，公比为 ，首项为 。二是用做差法直接构造， ， ，两式相减有 ，所以 是公比为 的等比数列。也可用“归纳—猜想—证明”法来求，这也是近年高考考得很多的一种题型.

四、归纳与总结(以学生为主，师生共同完成)

总结方法比做题更重要!方法产生于具体数学内容的学习过程中.

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