高三数列基础概念练习

1.数列1，12，14，…，12n，…是(　　)

A.递增数列　　　　　　　 B.递减数列

C.常数列 D.摆动数列

答案：B

2.已知数列{an}的通项公式an=12[1+(-1)n+1]，则该数列的前4项依次是(　　)

A.1,0,1,0 B.0,1,0,1

C.12，0，12，0 D.2,0,2,0

答案：A

3.数列{an}的通项公式an=cn+dn，又知a2=32，a4=154，则a10=__________.

答案：9910

4.已知数列{an}的通项公式an=2n2+n.

(1)求a8、a10.

(2)问：110是不是它的项?若是，为第几项?

解：(1)a8=282+8=136，a10=2102+10=155.

(2)令an=2n2+n=110，∴n2+n=20.

解得n=4.∴110是数列的第4项.

一、选择题

1.已知数列{an}中，an=n2+n，则a3等于(　　)

A.3 B.9

C.12 D.20

答案：C

2.下列数列中，既是递增数列又是无穷数列的是(　　)

A.1，12，13，14，…

B.-1，-2，-3，-4，…

C.-1，-12，-14，-18，…

D.1，2，3，…，n

解析：选C.对于A，an=1n，n∈N*，它是无穷递减数列;对于B，an=-n，n∈N*，它也是无穷递减数列;D是有穷数列;对于C，an=-(12)n-1，它是无穷递增数列.

3.下列说法不正确的是(　　)

A.根据通项公式可以求出数列的任何一项

B.任何数列都有通项公式

C.一个数列可能有几个不同形式的通项公式

D.有些数列可能不存在最大项

解析：选B.不是所有的数列都有通项公式，如0,1,2,1,0，….

4.数列23，45，67，89，…的第10项是(　　)

A.1617 B.1819

C.2021 D.2223

解析：选C.由题意知数列的通项公式是an=2n2n+1，

∴a10=2×102×10+1=2021.故选C.

5.已知非零数列{an}的递推公式为an=nn-1•an-1(n>1)，则a4=(　　)

A.3a1 B.2a1

C.4a1 D.1

解析：选C.依次对递推公式中的n赋值，当n=2时，a2=2a1;当n=3时，a3=32a2=3a1;当n=4时，a4=43a3=4a1.

6.(2011年浙江乐嘉调研)已知数列{an}满足a1>0，且an+1=12an，则数列{an}是(　　)

A.递增数列 B.递减数列

C.常数列 D.摆动数列

解析：选B.由a1>0，且an+1=12an，则an>0.

又an+1an=12<1，∴an+1<an.< p="">

因此数列{an}为递减数列.

二、填空题

7.已知数列{an}的通项公式an=19-2n，则使an>0成立的最大正整数n的值为__________.

解析：由an=19-2n>0，得n<192，∵n∈N*，∴n≤9.

答案：9

8.已知数列{an}满足a1=2，a2=5，a3=23，且an+1=αan+β，则α、β的值分别为________、________.

解析：由题意an+1=αan+β，得a2=αa1+βa3=αa2+β⇒5=2α+β23=5α+β⇒α=6，β=-7.

答案：6　-7

9.已知{an}满足an=-1nan-1+1(n≥2)，a7=47，则a5=________.

解析：a7=-1a6+1，a6=1a5+1，∴a5=34.

答案：34

三、解答题

10.写出数列1，23，35，47，…的一个通项公式，并判断它的增减性.

解：数列的一个通项公式an=n2n-1.

又∵an+1-an=n+12n+1-n2n-1=-12n+12n-1<0，

∴an+1<an.< p="">

∴{an}是递减数列.

11.在数列{an}中，a1=3，a17=67，通项公式是关于n的一次函数.

(1)求数列{an}的通项公式;

(2)求a2011;

(3)2011是否为数列{an}中的项?若是，为第几项?

解：(1)设an=kn+b(k≠0)，则有k+b=3，17k+b=67，

解得k=4，b=-1.∴an=4n-1.

(2)a2011=4×2011-1=8043.

(3)令2011=4n-1，解得n=503∈N*，

∴2011是数列{an}的第503项.

12.数列{an}的通项公式为an=30+n-n2.

(1)问-60是否是{an}中的一项?

(2)当n分别取何值时，an=0，an>0，an<0?

解：(1)假设-60是{an}中的一项，则-60=30+n-n2.

解得n=10或n=-9(舍去).

∴-60是{an}的第10项.

(2)分别令30+n-n2=0;>0;<0，

解得n=6;0<n<6;n>6，

即n=6时，an=0;

0<n<6时，an>0;

n>6时，an<0.

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