此套教程为复数的概念系统复习，涉及知识点较全面，供同学们查阅。

★ 知 识 梳理 ★

1.复数的定义：形如 的数叫复数， 叫复数的实部， 叫复数的虚部.全体复数所成的集合叫做复数集，用字母 表示

2.复数的代数形式: 复数通常用字母 表示，即 ，把复数表示成 的形式，叫做复数的代数形式.

3.复数与实数、虚数、纯虚数及 的关系：对于复数 ，当且仅当 时，复数 是实数 ;当 时，复数 叫做虚数;当 且 时， 叫做纯虚数;当且仅当 时， 就是实数

4.复数集与其它数集之间的关系：

5.两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等.这就是说，如果 ， ， ， ，那么 ,

6.复数的模：设 = ,则向量 的长度叫做复数 的模(或绝对值)，记作 .

(1) ;

(2) = ;

(3) ;

7.共扼复数：如果两个复数的实部相等，而虚部互为相反数，则这两个复数互为共扼复数.

★ 重 难 点 突 破 ★

1.重点：理解并掌握复数的有关概念(复数集、代数形式、虚数、纯虚数、实部、虚部、复数相等)

2.难点：复数的有关概念的应用

3.重难点：.

(1) 复数与实数的区别.

问题1: 判断下列命题是否正确

(1)若 , 则

(2)若 且 ，则

(3)若 ，则

点拨：(1)认为任何一个实数的平方大于零可推广到复数中，从而(1)是正

确的

(2)认为两实数之差大于零等价于前一个大于后一个实数，也可推到复

数中来.认为两复数差为实数则这两个复数也为实数.而认为命题(2)是正确的.

(3)把不等式性质错误的推广到复数中，忽略不等式是在实数中成立的

前提条件.

正解：(1)错，反例设 则

(2)错，反例设 ， ，满足 ，但

不能比较大小.

(3)错， ， ，故 ， 都是虚数，不能比较大小.

(2)正确理解复数的相关概念

问题2: 两个共扼复数的差是( )

.实数 .纯虚数 .零 .零或纯虚数

点拨:当得到 时就错误的选B，忽略了b可以为零的条件.

正解：设互为共扼的两复数分别为 及 则 或

当 时， ， 为纯虚数

当 时， ， ，因此应选D.

★ 热 点 考 点 题 型 探 析★

考点一：复数的概念

题型1.考查基本概念

[例1] 

下面四个命题

(1) 比 大

(2)两个复数互为共轭复数,当且仅当其和为实数

(3) 的充要条件为

(4)如果让实数 与 对应，那么实数集与纯虚数集一一对应，其中正确的命题个数是( )

A B C D

[解题思路]：抓住基本概念，以概念为辨析的依据。

解析：答案：A

(1) 比 大，实数与虚数不能比较大小;

(2)两个复数互为共轭复数时其和为实数，但是两个复数的和为实数不一定是共轭复数;

(3) 的充要条件为 是错误的，因为没有表明 是否是实数;

(4)当 时，没有纯虚数和它对应

[例2] 实数 分别取什么值时，复数 是

(1)实数;(2)虚数;(3)纯虚数.

[解题思路]：正确理解复数的相关概念.要特别注意复数z=a+bi(a，b∈R)为纯虚数的充要条件是a=0且b≠0.

解析：实部 ，虚部 .

(1)当 时， 是实数;

(2)当 ，且 时， 是虚数;

(3) 当 或 时是纯虚数.

【名师指引】解决与复数基本概念相关问题的基本思想是：利用复数的概念，联系以前学过的实数的性质，对复数的知识要有较完整的认识，以及能利用转化的思想将复数问题转化为实数问题

【新题导练】

1.如果复数 为纯虚数，那么实数 的值为( ).

A.-2 B.1 C.2 D.1或 -2

解析： 即 ，故选择答案A

2.计算： ( 表示虚数单位)

答案：95+2i

解析：用好 的周期性： 4n+1=i, 4n+2=-1, 4n+3=-i, 4n=1

题型2。与模相关的问题

[例3]设复数 满足 ，则 =( )

A. B. C. D.

[解题思路]：解法1利用复数相等的条件;解法2利用复数模的性质;解法3考虑选择题的特点.

解析：

，所以 ，代入①得 ，故选 .

解法3：选择支中的复数的模均为 ，又 ，而方程右边为2+i，它的实部，虚部均为正数，因此复数z的实部，虚部也必须为正，故选择B.

【名师指引】要认真审题，看清题设条件，结论. 学会全面辩证的思考问题，准确记忆有关概念及性质.

【新题导练】

3. 设复数 满足 ,且 是纯虚数,求解析：设 ，由 得 ;

是纯虚数，则，

4.复数z1=a+|b|i，z2=c+|d|i(a、b、c、d∈R)，则z1=z2的充要条件是______.

答案：a=c且b2=d2

解析：z1=z2 a=c且b2=d2.