此套教程为15高考数学二轮平面向量专题复习题，涉及知识点较全面，供同学们下载使用。

一、选择题

1.已知向量OA→=(3，-4)，OB→=(6，-3)，OC→=(2m， m+1).若AB→∥OC→，则实数m的值为(　　)

A.-3 B.-17

C.-35 D.35

解析　AB→=OB→-OA→=(3,1)，因为AB→∥OC→，

所以3(m+1)-2m=0，解得m=-3.

答案　A

2.已知|a|=|b|=2，(a+2b)•(a-b)=-2，则a与b的夹角为(　　)

A.π6 B.π3

C.π2 D.2π3

解析　由(a+2b)•(a-b)=|a|2+ a•b-2|b|2=-2，得a•b=2，即|a||b|cos〈a，b〉=2，cos〈a，b〉=12.故〈a，b〉=π3.

答案　B

3.(2014•四川卷)平面向量a=(1,2)，b=(4,2)，c=ma+b(m∈R)，且c与a的夹角等于c与b的夹角，则m=(　　)

A.-2 B.-1

C.1 D.2

解析　∵a=(1,2)，b=(4,2)，∴c=m(1,2)+(4,2)=(m+4,2m+2).又∵c与a的夹角等于c与b的夹角 ，∴cos〈c，a〉=cos〈c，b〉.∴c•a|c||a|=c•b|c||b|.即5m+85|c|=8m+2025|c|，解得m=2.

答案　D

4.(2014•全国大纲卷)若向量a，b满足：|a|=1，(a+b)⊥a，(2a+b)⊥b，则|b|=(　　)

A.2 B.2

C.1 D.22

解析　∵(a+b)⊥a，|a|=1，∴(a+b)•a=0，

∴|a|2+a•b=0，∴a•b=-1.

又∵(2a+b)⊥b，∴(2a+b)•b= 0.

∴2a•b+|b|2=0.∴|b|2=2.

∴|b|=2，选B.

答案　B

5.设△ABC的三个内角为A，B，C，向量m=(3sinA，sinB)，n=(cosB，3cosA)，若m•n=1+cos(A+B)，则C=(　　)

A.π6 B.π3

C.2π3 D.5π6

解析　依题意得 3sinAcosB+3cosAsinB=1+cos(A+B)，

3sin(A+B)=1+cos(A+B)，3sinC+cosC=1，

2sinC+π6=1，sinC+π6=12.又π6<c+Π6<7Π6，< p="">

因此C+π6=5π6，C=2π3，选C.

答案　C

6.在平面上，AB1→⊥AB2→，|OB1→|=|OB2→|=1，AP→=AB1→+AB2→.若|OP→|<12，则|OA→|的取值范围是(　　)

A.0，52 B .52，72

C.52，2 D.72，2

解析 　由题意得点B1，B2在以O为圆心，半径为1的圆上，点P在以O为圆心半径为12的圆内，又AB1→⊥AB2→，AP→=AB1→+AB2→，所以点A在以B1B2为直径的圆上，当P与O点重合时，|OA→|最大为2，当P在半径为12的圆周上，|OA→|最小为72.∵P在圆内，∴|OA→|∈72，2.

答案　D

二、填空题

7.(2014•北京卷)已知向量a，b满足|a|=1，b=(2,1)，且λ a+b=0(λ∈R)，则|λ|=________.

解析　|b|=22+12=5，由λa+b=0，得b=-λa，

故|b|=|-λa|=|λ||a|，所以|λ|=|b||a|=51=5.

答案　5

8.如图，在△ABC中，BO为边AC上的中线，BG→=2GO→，若CD→∥AG→，且AD→=15AB→+λAC→(λ∈R)，则λ的值为________.

解析　因为CD→∥AG→，所以存在实数k，使得CD→=kAG→.CD→=AD→-AC→=15AB→+(λ-1)AC→，又由BO是△ABC的边AC上的中线，BG→=2GO→，得点G为△ABC的重心，所以AG→=13(AB→+AC→)，所以15AB→+(λ-1)AC→=k3(AB→+AC→)，由平 面向量基本定理可得15=k3，λ-1=k3，解得λ=65.

答案　65

9.在△ABC所在的平面上有一点P满足PA→+PB→+PC→=AB→，则△PBC与△ABC的面积之比是________.

解析　因为PA→+PB→+PC→=AB→，所以PA→+PB→+PC→+BA→=0，即PC→=2AP→，所以点P是CA边上靠近A点的一个三等分点，故S△PBCS△ABC=PCAC=23.

答案　23

三、解答题

10.已知向量AB→=(3,1)，AC→=(-1，a)，a∈R

(1)若D为BC中点，AD→=(m,2)，求a，m的值;

(2)若△ABC是直角三角形，求a的值.

解　(1)因为AB→=(3,1)，AC→=(-1，a)，

所以AD→=12(AB→+AC→)=1，1+a2.

又AD→=(m,2)，所以m=1，1+a=2×2，解得a=3，m=1.

(2)因为△ABC是直角三角形，所以A=90°或B=90°或C=90°.

当A=90°时，由AB→⊥AC→，

得3×(-1)+1•a=0，所以a=3;

当B=90°时，因为BC→=AC→-AB→=(-4，a-1)，

所以由AB→⊥BC→，

得3×(-4)+1•(a-1)=0，所以a=13;

当C=90° 时，由BC→⊥AC→，

得-1×(-4)+a•(a-1)=0，

即a2-a+4=0，因为a∈R，所以无解.

综上所述，a=3或a=13.

11.在△ABC中，已知2AB→•AC→=3|AB→|•|AC→|=3BC→2，求角A、B、C的大小.

解　设BC=a，AC=b，AB=c.

由2AB→•AC→=3|AB→|•|AC→|，得2bccosA=3bc，

所以cosA=32.

又A∈(0，π)，因此A=π6.

由3|AB→|•|AC→|=3BC→2，得cb=3a2.

于是sinC•sinB=3sin2A=34.

所以sinC•sin5π6-C=34.

sinC•12cosC+32sinC=34，

因此2sinC•cosC+23sin2C=3，

sin2C-3cos2C=0，

即2sin2C-π3=0.

由A=π6知0<c<5Π6，< p="">

所以-π3<2C-π3<4π3，

从而2C-π3=0，或2C-π3=π，

即C=π6或C=2π3，

故A=π6，B=2π3，C=π6，或A=π6，B=π6，C=2π3.

B级——能力提高组

1.

已知正三角形ABC的边长为1，点P是AB边上的动点，点Q是AC边上的动点，且AP→=λAB→，AQ→=(1-λ)AC→ ，λ∈R，则BQ→•CP→的最大值为(　　)

A.32 B.-32

C.38 D.-38

解析　如图，BQ→•CP→=(BA→+AQ→)•(CA→+AP→)=[BA→+(1-λ)AC→]•(CA→+λAB→)=AB→•AC→-λAB→ 2-(1-λ)AC→2+λ(1-λ)AB→•AC→=(λ-λ2+1)×cos60°-λ+λ-1=-12λ-122-38，0≤λ≤1，所以当λ=12时，BQ→•CP→的最大值为-38，选D.

答案　D

2.(2014•安徽卷)已知两个不相等的非零向量a，b，两组向量x1，x2，x3，x4，x5和y1，y2，y3，y4，y5均由2个a和3个b排列而成.记S=x1•y1+x2•y2+x3•y3+x4•y4+x5•y5，Smin表示S所有可能取值中的最小值. 则下列命题正确的是________(写出所有正确命题的编号).

①S有5个不同的值;

②若a⊥b，则Smin与|a|无关;

③若a∥b，则Smin与|b|无关;

④若|b|>4|a|，则Smin>0;

⑤若|b|=2|a|，Smin=8|a|2，则a与b的夹角为π4.

解析　对于①，若a，b有0组对应乘积，则S1=2a2+3b2，若a，b有2组对应乘积，则S2=a2+2b2+2a•b，若a，b有4组对应乘积，则S3=b2+4a•b，所以S最多有3个不同的值，①错误;因为a，b是不等向量，所以S1-S3=2a2+2b2-4a•b=2(a-b)2>0，S1-S2=a2 +b2-2a•b=(a-b)2>0，S2-S3=(a-b)2>0，所以S3<s216|a|2+16|a|2cosθ=16|a|2(1+cosθ)≥0，故Smin>0，④正确;对于⑤，|b|=2|a|，Smin=4|a|2+8|a|2cosθ=8|a|2，所以cosθ=12，又θ∈[0，π]，所以θ=π3，⑤错误.因此正确命题是②④.

答案　②④

3.已知向量m=3sinx4，1，n=cosx4，cos2x4.

(1)若m•n=1，求cos2π3-x的值;

(2)记f(x)=m•n，在△ABC中，角A ，B，C的对边分别是a，b，c，且满足(2a-c)cosB=bcosC，求函数f(A)的取值范围.

解　(1)m•n=3sinx4cosx4+cos2x4

=32sin x2+12•cosx2+12=sinx2+π6+12.

又∵m•n=1，∴sinx2+π6=12.

cosx+π3=1-2sin2x2+π6=12，

cos2π3-x=- cosx+π3=-12.

(2)∵(2a-c)cosB=bcosC，

由正弦定理得(2sinA-sinC)cosB=sinBcosC，

∴2sinAcosB-sinCcosB=sinBcosC.

∴2sinAcosB=sin(B+C).

∵A+B+C=π，∴sin(B+C)=sinA，且sinA≠0.

∴cosB=12.又∵0<b<Π，∴b=Π3.< p="">

∴0<a<2Π3.< p="">

∴π6<a2+Π6<Π2，12<sina2+Π6<1.< p="">

又∵f(x)=m•n=sinx2+π6+12，

∴f(A)=sinA2+π6+12.

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