【摘要】鉴于大家对精品学习网十分关注，小编在此为大家整理了此文“高考理科数学第一次模拟试题”，供大家参考!

本文题目：高考理科数学第一次模拟试题

数学(理科)

本试卷共4页，21题，满分150分，测试用时120分钟.

参考公式：锥体的体积公式 ，其中 是锥体的底面积， 是锥体的高.

如果事件 、 互斥，那么 .

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

⒈已知函数 定义域为 ， 定义域为 ，则

A. B. C. D.

⒉在复平面内， 是原点，向量 对应的复数是 (其中， 是虚数单位)，如果点 关于实轴的对称点为点 ，则向量 对应的复数是

A. B. C. D.

⒊采用系统抽样方法从1000人中抽取50人做问卷调查，为此将他们随机编号为1，2，…，1000，适当分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为8.抽到的50人中，编号落入区间[1，400]的人做问卷A，编号落入区间[401，750]的人做问卷B，其余的人做问卷C.则抽到的人中，做问卷C的人数为

A.12 B.13 C.14 D.15

⒋ 右图是某个四面体的三视图，该四面体的体积为

A.72 B.36 C.24 D.12

⒌在 中，若 ， ，

，则

A. B. C. D.

⒍若 、 ，则 是 的

A.充分非必要条件 B.必要非充分条件

C.充要条件 D.非充分非必要条件

⒎已知 、 满足 ，则 的取值范围是

A. B. C. D.

⒏设 是定义在 上的周期为2的偶函数，当 时， ，则 在区间 内零点的个数为

A.2013 B.2014 C.3020 D.3024

二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分.

(一)必做题(9～13题)

⒐已知数列 的首项 ，若 ， ，

则 .

⒑执行程序框图，如果输入 ，那么输出 .

⒒如图，在棱长为2的正方体 内

(含正方体表面)任取一点 ，

则 的概率

.

⒓在平面直角坐标系 中，若双曲线 的焦距为 ，则 .

⒔在平面直角坐标系 中，直线 ( )与抛物线 所围成的封闭图形的面积为 ，则 .

(二)选做题(14、15题，考生只能从中选做一题)

⒕(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系 ( )中，曲线 与 的交点的极坐标为 .

⒖(几何证明选讲选做题)如图，圆 内的两条弦 、

相交于 ， ， .若 到 的

距离为 ，则 到 的距离为 .

三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.

⒗(本小题满分12分)

已知函数 ( ， )的最小值为 .

⑴求 ;

⑵若函数 的图象向左平移 ( )个单位长度，得到的曲线关于 轴对称，求 的最小值.

⒘(本小题满分14分)

春节期间，某商场决定从3种服装、2种家电、3种日用品中，选出3种商品进行促销活动。

⑴)试求选出的3种商品中至少有一种是家电的概率;

⑵商场对选出的某商品采用抽奖方式进行促销，即在该商品现价的基础上将价格提高100元，规定购买该商品的顾客有3次抽奖的机会：若中一次奖，则获得数额为 元的奖金;若中两次奖，则共获得数额为 元的奖金;若中3次奖，则共获得数额为 元的奖金。假设顾客每次抽奖中获的概率都是 ，请问：商场将奖金数额m最高定为多少元，才能使促销方案对商场有利?

⒙(本小题满分14分)

如图，直角梯形 中， ， ， ， ， ，过 作 ，垂足为 。 、 分别是 、 的中点。现将 沿 折起，使二面角 的平面角为 .

⑴求证：平面 平面 ;

⑵求直线 与面 所成角的正弦值.

⒚(本小题满分12分)

已知椭圆 的中心在原点 ，离心率 ，右焦点为 .

⑴求椭圆 的方程;

⑵设椭圆的上顶点为 ，在椭圆 上是否存在点 ，使得向量 与 共线?若存在，求直线 的方程;若不存在，简要说明理由.

⒛(本小题满分14分)

已知数列 的前 项和为 ， ， ， 、 、 总成等差数列.

⑴求 ;

⑵对任意 ，将数列 的项落入区间 内的个数记为 ，求 .

21(本小题满分14分)

已知 ( ， 是常数)，若对曲线 上任意一点 处的切线 ， 恒成立，求 的取值范围.

江门市2013年高考模拟考试

数学(理科)评分参考

一、选择题 BCAD DBAC

二、填空题 ⒐ ，或 ⒑ ⒒

⒓ (未排除 ，给3分) ⒔

⒕ (只对一个坐标，或书写错误，给2分) ⒖

三、解答题

⒗解：⑴因为函数 ( ， )的最小值为 ，

所以 ， ……2分， ……4分

⑵函数 的图象向左平移 ( )个单位长度，

得 ……6分

因为 的图像关于 轴对称，

所以 ……8分

解得 ……10分

因为 ，所以 的最小值为 ……12分

⒘解：⑴设选出的3种商品中至少有一种是家电为事件A，从3种服装、2种家电、3种日用品中，选出3种商品，一共有 种不同的选法……1分，

选出的3种商品中，没有家电的选法有 种……2分

所以，选出的3种商品中至少有一种是家电的概率为 ……4分

⑵设顾客三次抽奖所获得的奖金总额为随机变量 ，其所有可能的取值为0， ， ， 。(单元：元)……5分

表示顾客在三次抽奖都没有获奖，所以 ……6分

同理， ……7分

……8分

……9分

顾客在三次抽奖中所获得的奖金总额的期望值是

……12分(列式2分，计算1分)

由 ，解得 ……13分

所以故m最高定为 元，才能使促销方案对商场有利……14分。

⒙⑴证明： DE AE，CE AE， ，

AE 平面 ， 3分

AE 平面 ，

平面 平面 . 5分

⑵(方法一)以E为原点，EA、EC分别为 轴，建立空间直角坐标系 6分

DE AE，CE AE，

是二面角 的平面角，即 = ，……7分

， ， ，

A(2，0，0)，B(2,1,0)，C(0,1,0)，E(0,0,0)，D(0， ,1)。 9分

、 分别是 、 的中点，

F ，G 10分

= , = ， 11分

由⑴知 是平面 的法向量， 12分

设直线 与面 所成角 ，

则 ，

故求直线 与面 所成角的正弦值为 . 14分(列式1分，计算1分)

(方法二)作 ，与 相交于 ，连接 ……6分

由⑴知AE 平面 ，所以 平面 ， 是直线 与平面 所成角……7分

是 的中点， 是 的中位线， ， ……8分

因为DE AE，CE AE，所以 是二面角 的平面角，即 = ，……9分

在 中，由余弦定理得，

(或 )……11分(列式1分，计算1分)

平面 ，所以 ，在 中，

……13分(列式1分，计算1分)

所以直线 与面 所成角的正弦值为 ……14分

⒚解：⑴设椭圆 的方程为 ， 1分

椭圆 的离心率 ，右焦点为 ，

，

，

， 3分

故椭圆 的方程为 . 4分

⑵假设椭圆 上是存在点 ( )，使得向量 与 共线， 5分

， ，

，即 ，(1) 6分

又 点 ( )在椭圆 上， (2) 7分

由⑴、⑵组成方程组解得 ，或 ， 9分

，或 ， 10分

当点 的坐标为 时，直线 的方程为 ，

当点 的坐标为 时，直线 的方程为 ，

故直线 的方程为 或 . 12分

⒛解：⑴ ， 、 、 总成等差数列，

所以， =( )+( )……1分

因为 ，所以 =( )+( )，

即 ……3分

又因为 ， ， ， ，

所以数列 是首项等于1，公比 =3的等比数列……6分

，即 ……7分

⑵由⑴得 ， ……8分

时， ，所以，任意 ， ……9分

任意 ，由 ，即 ……11分，

( ， ……12分

因为 ，所以“若学生直接列举，省略括号内这一段解释亦可”)

可取 、 、……、 ……13分，所以 ……14分

21.解：依题意， ……1分

，曲线 在点 处的切线为

……2分，

即 ，所以 ……3分

直接计算得 ……5分，

直接计算得 等价于 ……7分

记 ，则

……8分

若 ，则由 ，得 ……9分，且当 时， ，当 时， ……10分，所以 在 处取得极小值，从而也是最小值，即 ，从而 恒成立……11分。

若 ，取 ，则 且当 时 ， 单调递增……12分，所以当 时， ，与 恒成立矛盾，所以 ……13分，从而 的取值范围为 ……14分

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